Pada sebuah benda yang bergerak melingkar beraturan berlaku

Lihat Foto

Table of Contents Show

Turunan dan integral
Hubungan antar besaran sudut dan tangensial
Gerak melingkar beraturan
Gerak melingkar berubah beraturan
Hubungan antar besaran linier dan angular
Kecepatan tangensial dan kecepatan sudut
Percepatan tangensial dan kecepatan sudut
Kecepatan sudut tidak tetap
Video yang berhubungan
Video yang berhubungan

Encyclopedia Britannica, Inc.

Bukti keberadaan gaya sentripetal dan setrifugal adalah saat seseorang memutarkan ember berisi air. Air di dalam ember tidak akan tumpah disebabkan gaya pada kerangka inersia air.

KOMPAS.com - Pada gerak melingkar, terdapat hal fisis berupa gerak sentripetal dan sentrifugal. Namun pembahasan berikut hanya akan mengkaji mengenai percepatan sentripetal.

Dilansir Encyclopedia Britannica (2007), berdasarkan konsep gerak lurus, percepatan suatu benda disebabkan karena berubahnya kelajuan benda tersebut, tetapi arahnya tetap. Namun hal ini tidak terjadi pada percepatan benda di gerak melingkar.

Benda yang bergerak melingkar beraturan memiliki kelajuan linear tetap, tetapi kecepatan linearnya selalu berubah-ubah akibat lintasanya yang tidak lurus. Maka benda yang bergerak melingkar beraturan memiliki percepatan, yang disebut percepatan sentripetal.

Gaya sentripetal merupakan gaya yang menyebabkan timbulnya percepatan sentripetal. Adapun percepatan sentripetal merupakan percepatan yang arahnya menuju pusat lingkaran.

Baca juga: Kecepatan Linear dan Kecepatan Sudut dalam Gerak Melingkar

Percepatan sentripetal juga disebut percepatan radial. Percepatan sentripetal berfungsi untuk mengubah arah kecepatan benda yang bergerak.

Perhatikan gambar di bawah. Arah percepatan sentripetal selalu menuju pusat dan selalu tegak lurus dengan vektor kecepatannya.

Gambar percepatan sentripetal

Gambar arah percepatan sentripetal pada gerak melingkar.

Percepatan sentripetal berbandung lurus dengan kuadrat kelajuan suatu benda. Maka percepatan sentripetal juga berbanding lurus dengan kuadrat kelajuan angulernya.

Baca juga: Gerak Melingkar dengan Jari-Jari Konstan

Persamaan dari percepatan sentripetal dirumuskan sebagai berikut.

Lihat Foto

AFP/TIZIANA FABI

Pebalap Spanyol Jorge Lorenzo (Depan) mengendarai Honda-nya diikuti oleh pebalap Italia Valentino Rossi yang mengendarai Yamaha-nya selama latihan bebas 4 di depan Grand Prix Moto GP Italia di trek balap Mugello pada 1 Juni 2019 di Scarperia e San Piero.

Rumus percepatan sentripetal

Keterangan:

Keterangan percepatan sentripetal

Agar lebih memahami pembahasan ini, mari kita simak soal di bawah.

Baca juga: Gerak Melingkar dengan Kelajuan dan Jari-jari Konstan

Seorang siswa akan pergi ke sekolah dengan mengendarai mobil. Siswa tersebut melewati tikungan berbentuk lingkaran dengan jari-jari 50 m. Jika kecepatan mobil siswa adalah 20 m/s. Tentukan percepatan sentripetal siswa tersebut saat melewati tikungan.

Diketahui:

r = 50 m,
v = 20 m/s.

Ditanyakan:

percepatan sentripetal.

Jawab:

Jawaban percepatan sentripetal

Baca juga: Kecepatan Linear dan Kecepatan Sudut dalam Gerak Melingkar

Dapatkan update berita pilihan dan breaking news setiap hari dari Kompas.com. Mari bergabung di Grup Telegram "Kompas.com News Update", caranya klik link https://t.me/kompascomupdate, kemudian join. Anda harus install aplikasi Telegram terlebih dulu di ponsel.

Lihat Foto

Encyclopedia Britannica, Inc.

Bukti keberadaan gaya sentripetal dan setrifugal adalah saat seseorang memutarkan ember berisi air. Air di dalam ember tidak akan tumpah disebabkan gaya pada kerangka inersia air.

KOMPAS.com - Pada gerak melingkar, terdapat hal fisis berupa gerak sentripetal dan sentrifugal. Namun pembahasan berikut hanya akan mengkaji mengenai percepatan sentripetal.

Gaya sentripetal merupakan gaya yang menyebabkan timbulnya percepatan sentripetal. Adapun percepatan sentripetal merupakan percepatan yang arahnya menuju pusat lingkaran.

Baca juga: Kecepatan Linear dan Kecepatan Sudut dalam Gerak Melingkar

Percepatan sentripetal juga disebut percepatan radial. Percepatan sentripetal berfungsi untuk mengubah arah kecepatan benda yang bergerak.

Perhatikan gambar di bawah. Arah percepatan sentripetal selalu menuju pusat dan selalu tegak lurus dengan vektor kecepatannya.

Gambar percepatan sentripetal

Gambar arah percepatan sentripetal pada gerak melingkar.

Percepatan sentripetal berbandung lurus dengan kuadrat kelajuan suatu benda. Maka percepatan sentripetal juga berbanding lurus dengan kuadrat kelajuan angulernya.

Baca juga: Gerak Melingkar dengan Jari-Jari Konstan

Persamaan dari percepatan sentripetal dirumuskan sebagai berikut.

Gerak melingkar (atau gerak sirkuler; bahasa Inggris: circular motion) adalah gerak suatu benda yang membentuk lintasan berupa lingkaran mengelilingi suatu titik tetap. Agar suatu benda dapat bergerak melingkar ia membutuhkan adanya gaya yang selalu membelokkan-nya menuju pusat lintasan lingkaran. Gaya ini dinamakan gaya sentripetal. Suatu gerak melingkar beraturan dapat dikatakan sebagai suatu gerak dipercepat beraturan, mengingat perlu adanya suatu percepatan yang besarnya tetap dengan arah yang berubah, yang selalu mengubah arah gerak benda agar menempuh lintasan berbentuk lingkaran.[1]

Gerak melingkar.

Besaran-besaran yang mendeskripsikan suatu gerak melingkar adalah θ {\displaystyle \theta \!} , ω {\displaystyle \omega \!} dan α {\displaystyle \alpha \!} atau berturur-turut berarti sudut, kecepatan sudut dan percepatan sudut. Besaran-besaran ini bila dianalogikan dengan gerak linier setara dengan posisi, kecepatan dan percepatan atau dilambangkan berturut-turut dengan r {\displaystyle r\!} , v {\displaystyle v\!} dan a {\displaystyle a\!} .

Besaran gerak lurus dan melingkar Gerak lurus Gerak melingkar Besaran Satuan (SI) Satuan (SI)

posisi r {\displaystyle r\!}	m	rad
kecepatan v {\displaystyle v\!}	m/s	rad/s
percepatan a {\displaystyle a\!}	m/s2	rad/s2
-	-	s
-	-	m

Turunan dan integral

Seperti halnya kembarannya dalam gerak linier, besaran-besaran gerak melingkar pun memiliki hubungan satu sama lain melalui proses integrasi dan diferensiasi.

∫ ω d t = θ ↔ ω = d θ d t {\displaystyle \int \omega \ dt=\theta \quad \leftrightarrow \quad \omega ={\frac {d\theta }{dt}}} ∫ α d t = ω ↔ α = d ω d t {\displaystyle \int \alpha \ dt=\omega \quad \leftrightarrow \quad \alpha ={\frac {d\omega }{dt}}} ∫ ∫ α d t 2 = θ ↔ α = d 2 θ d t 2 {\displaystyle \int \int \alpha \ dt^{2}=\theta \quad \leftrightarrow \quad \alpha ={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}}

Hubungan antar besaran sudut dan tangensial

Antara besaran gerak linier dan melingkar terdapat suatu hubungan melalui R {\displaystyle R\!} khusus untuk komponen tangensial, yaitu

θ = r T R ω = v T R α = a T R {\displaystyle \theta ={\frac {r_{T}}{R}}\ \,\ \ \omega ={\frac {v_{T}}{R}}\ \,\ \ \alpha ={\frac {a_{T}}{R}}}

Perhatikan bahwa di sini digunakan r T {\displaystyle r_{T}\!} yang didefinisikan sebagai jarak yang ditempuh atau tali busur yang telah dilewati dalam suatu selang waktu dan bukan hanya posisi pada suatu saat, yaitu

r T ≈ | r → ( t + Δ t ) − r → ( t ) | {\displaystyle r_{T}\approx |{\overrightarrow {r}}(t+\Delta t)-{\overrightarrow {r}}(t)|\!}

untuk suatu selang waktu kecil atau sudut yang sempit.

Gerak melingkar dapat dibedakan menjadi dua jenis, atas keseragaman kecepatan sudutnya ω {\displaystyle \omega \!} , yaitu:

gerak melingkar beraturan, dan
gerak melingkar berubah beraturan.

Gerak melingkar beraturan

Gerak Melingkar Beraturan (GMB) adalah gerak melingkar dengan besar kecepatan sudut ω {\displaystyle \omega \!} tetap. Besar Kecepatan sudut diperolah dengan membagi kecepatan tangensial v T {\displaystyle v_{T}\!} dengan jari-jari lintasan R {\displaystyle R\!} .

ω = v T R {\displaystyle \omega ={\frac {v_{T}}{R}}}

Arah kecepatan linier v {\displaystyle v\!} dalam GMB selalu menyinggung lintasan, yang berarti arahnya sama dengan arah kecepatan tangensial v T {\displaystyle v_{T}\!} . Tetapnya nilai kecepatan v T {\displaystyle v_{T}\!} akibat konsekuensi dar tetapnya nilai ω {\displaystyle \omega \!} . Selain itu terdapat pula percepatan radial a R {\displaystyle a_{R}\!} yang besarnya tetap dengan arah yang berubah. Percepatan ini disebut sebagai percepatan sentripetal, di mana arahnya selalu menunjuk ke pusat lingkaran.

a R = v 2 R = v T 2 R {\displaystyle a_{R}={\frac {v^{2}}{R}}={\frac {v_{T}^{2}}{R}}}

Bila T {\displaystyle T\!} adalah waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan satu putaran penuh dalam lintasan lingkaran θ = 2 π R {\displaystyle \theta =2\pi R\!} , maka dapat pula dituliskan

v T = 2 π R T {\displaystyle v_{T}={\frac {2\pi R}{T}}\!}

Kinematika gerak melingkar beraturan adalah

θ ( t ) = θ 0 + ω t {\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}+\omega \ t}

dengan θ ( t ) {\displaystyle \theta (t)\!} adalah sudut yang dilalui pada suatu saat t {\displaystyle t\!} , θ 0 {\displaystyle \theta _{0}\!} adalah sudut mula-mula dan ω {\displaystyle \omega \!} adalah kecepatan sudut (yang tetap nilainya).

Ciri-ciri gerak melingkar beraturan:

Besar kelajuan linearnya tetap
Besar kecepatan sudutnya tetap
Besar percepatan sentripetalnya tetap
Lintasannya berupa lingkaran

Gerak melingkar berubah beraturan

Gerak Melingkar Berubah Beraturan (GMBB) adalah gerak melingkar dengan percepatan sudut α {\displaystyle \alpha \!} tetap. Dalam gerak ini terdapat percepatan tangensial a T {\displaystyle a_{T}\!} (yang dalam hal ini sama dengan percepatan linier) yang menyinggung lintasan lingkaran (berhimpit dengan arah kecepatan tangensial v T {\displaystyle v_{T}\!} ).

α = a T R {\displaystyle \alpha ={\frac {a_{T}}{R}}}

Kinematika GMBB adalah

ω ( t ) = ω 0 + α t {\displaystyle \omega (t)=\omega _{0}+\alpha \ t\!} θ ( t ) = θ 0 + ω 0 t + 1 2 α t 2 {\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}+\omega _{0}\ t+{\frac {1}{2}}\alpha \ t^{2}\!} ω 2 ( t ) = ω 0 2 + 2 α ( θ ( t ) − θ 0 ) {\displaystyle \omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}+2\alpha \ (\theta (t)-\theta _{0})\!}

dengan α {\displaystyle \alpha \!} adalah percepatan sudut yang bernilai tetap dan ω 0 {\displaystyle \omega _{0}\!} adalah kecepatan sudut mula-mula.

Ciri-ciri gerak melingkar berubah beraturan:

Besar kelajuan linearnya berubah
Besar kecepatan sudutnya berubah
Besar percepatan sentripetalnya berubah
Lintasannya berupa lingkaran

Gerak melingkar dapat pula dinyatakan dalam persamaan parametrik dengan terlebih dahulu mendefinisikan:

titik awal gerakan dilakukan ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})\!}
kecepatan sudut putaran ω {\displaystyle \omega \!} (yang berarti suatu GMB)
pusat lingkaran ( x c , y c ) {\displaystyle (x_{c},y_{c})\!}

untuk kemudian dibuat persamaannya.[2]

Hal pertama yang harus dilakukan adalah menghitung jari-jari lintasan R {\displaystyle R\!} yang diperoleh melalui:

R = ( x 0 − x c ) 2 + ( y 0 − y c ) 2 {\displaystyle R={\sqrt {(x_{0}-x_{c})^{2}+(y_{0}-y_{c})^{2}}}\!}

Setelah diperoleh nilai jari-jari lintasan, persamaan dapat segera dituliskan, yaitu

x ( t ) = x c + R cos ⁡ ( ω t + ϕ x ) {\displaystyle x(t)=x_{c}+R\cos(\omega t+\phi _{x})\!} y ( t ) = y c + R sin ⁡ ( ω t + ϕ y ) {\displaystyle y(t)=y_{c}+R\sin(\omega t+\phi _{y})\!}

dengan dua konstanta ϕ x {\displaystyle \phi _{x}\!} dan ϕ y {\displaystyle \phi _{y}\!} yang masih harus ditentukan nilainya. Dengan persyaratan sebelumnya, yaitu diketahuinya nilai ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})\!} , maka dapat ditentukan nilai ϕ x {\displaystyle \phi _{x}\!} dan ϕ y {\displaystyle \phi _{y}\!} :

ϕ x = arccos ⁡ ( x 0 − x c R ) {\displaystyle \phi _{x}=\arccos \left({\frac {x_{0}-x_{c}}{R}}\right)\!} ϕ y = arcsin ⁡ ( y 0 − y c R ) {\displaystyle \phi _{y}=\arcsin \left({\frac {y_{0}-y_{c}}{R}}\right)\!}

Perlu diketahui bahwa sebenarnya

ϕ x = ϕ y {\displaystyle \phi _{x}=\phi _{y}\!}

karena merupakan sudut awal gerak melingkar.

Hubungan antar besaran linier dan angular

Dengan menggunakan persamaan parametrik, telah dibatasi bahwa besaran linier yang digunakan hanyalah besaran tangensial atau hanya komponen vektor pada arah angular, yang berarti tidak ada komponen vektor dalam arah radial. Dengan batasan ini hubungan antara besaran linier (tangensial) dan angular dapat dengan mudah diturunkan.

Kecepatan tangensial dan kecepatan sudut

Kecepatan linier total dapat diperoleh melalui

v = v x 2 + v y 2 {\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}

dan karena batasan implementasi persamaan parametrik pada gerak melingkar, maka

v T = v = v x 2 + v y 2 {\displaystyle v_{T}=v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}

dengan

v x = x ˙ = d x d t {\displaystyle v_{x}={\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}} v y = y ˙ = d y d t {\displaystyle v_{y}={\dot {y}}={\frac {dy}{dt}}}

diperoleh

v x = − ω R sin ⁡ ( ω t + ϕ x ) {\displaystyle v_{x}=-\omega R\sin(\omega t+\phi _{x})\!} v y = ω R cos ⁡ ( ω t + ϕ x ) {\displaystyle v_{y}=\omega R\cos(\omega t+\phi _{x})\!}

sehingga

v T = ( − ω ) 2 R 2 sin 2 ⁡ ( ω t + ϕ x ) + ω 2 R 2 cos 2 ⁡ ( ω t + ϕ x ) {\displaystyle v_{T}={\sqrt {(-\omega )^{2}R^{2}\sin ^{2}(\omega t+\phi _{x})+\omega ^{2}R^{2}\cos ^{2}(\omega t+\phi _{x})}}\!} v T = ω R sin 2 ⁡ ( ω t + ϕ x ) + cos 2 ⁡ ( ω t + ϕ x ) {\displaystyle v_{T}=\omega R{\sqrt {\sin ^{2}(\omega t+\phi _{x})+\cos ^{2}(\omega t+\phi _{x})}}\!} v T = ω R {\displaystyle v_{T}=\omega R\!}

Percepatan tangensial dan kecepatan sudut

Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, percepatan linier total dapat diperoleh melalui

a = a x 2 + a y 2 {\displaystyle a={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}

dan karena batasan implementasi persamaan parametrik pada gerak melingkar, maka

a T = a = a x 2 + a y 2 {\displaystyle a_{T}=a={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}

dengan

a x = x ¨ = d 2 x d t 2 {\displaystyle a_{x}={\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}} a y = y ¨ = d 2 y d t 2 {\displaystyle a_{y}={\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}}

diperoleh

a x = − ω 2 R cos ⁡ ( ω t + ϕ x ) {\displaystyle a_{x}=-\omega ^{2}R\cos(\omega t+\phi _{x})\!} a y = − ω 2 R sin ⁡ ( ω t + ϕ x ) {\displaystyle a_{y}=-\omega ^{2}R\sin(\omega t+\phi _{x})\!}

sehingga

a T = ( − ω ) 4 R 2 cos 2 ⁡ ( ω t + ϕ x ) + ω 4 R 2 sin 2 ⁡ ( ω t + ϕ x ) {\displaystyle a_{T}={\sqrt {(-\omega )^{4}R^{2}\cos ^{2}(\omega t+\phi _{x})+\omega ^{4}R^{2}\sin ^{2}(\omega t+\phi _{x})}}\!} a T = ω 2 R cos 2 ⁡ ( ω t + ϕ x ) + sin 2 ⁡ ( ω t + ϕ x ) {\displaystyle a_{T}=\omega ^{2}R{\sqrt {\cos ^{2}(\omega t+\phi _{x})+\sin ^{2}(\omega t+\phi _{x})}}\!} a T = ω 2 R {\displaystyle a_{T}=\omega ^{2}R\!}

Kecepatan sudut tidak tetap

Persamaan parametric dapat pula digunakan apabila gerak melingkar merupakan GMBB, atau bukan lagi GMB dengan terdapatnya kecepatan sudut yang berubah beraturan (atau adanya percepatan sudut). Langkah-langkah yang sama dapat dilakukan, akan tetapi perlu diingat bahwa

ω → ω ( t ) = ∫ α d t = ω 0 + α t {\displaystyle \omega \rightarrow \omega (t)=\int \alpha dt=\omega _{0}+\alpha t\!}

dengan α {\displaystyle \alpha \!} percepatan sudut dan ω 0 {\displaystyle \omega _{0}\!} kecepatan sudut mula-mula. Penurunan GMBB ini akan menjadi sedikit lebih rumit dibandingkan pada kasus GMB di atas.

Persamaan parametrik di atas, dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih umum, yaitu:

x ( t ) = x c + R cos ⁡ θ {\displaystyle x(t)=x_{c}+R\cos \theta \!} y ( t ) = y c + R sin ⁡ θ {\displaystyle y(t)=y_{c}+R\sin \theta \!}

di mana θ = θ ( t ) {\displaystyle \theta =\theta (t)\!} adalah sudut yang dilampaui dalam suatu kurun waktu. Seperti telah disebutkan di atas mengenai hubungan antara θ {\displaystyle \theta \!} , ω {\displaystyle \omega \!} dan α {\displaystyle \alpha \!} melalui proses integrasi dan diferensiasi, maka dalam kasus GMBB hubungan-hubungan tersebut mutlak diperlukan.

Kecepatan sudut

Dengan menggunakan aturan rantai dalam melakukan diferensiasi posisi dari persamaan parametrik terhadap waktu diperoleh

v x ( t ) = − R sin ⁡ θ d θ d t = − ω ( t ) R sin ⁡ θ {\displaystyle v_{x}(t)=-R\sin \theta \ {\frac {d\theta }{dt}}=-\omega (t)R\sin \theta \!} v y ( t ) = R cos ⁡ θ d θ d t = ω ( t ) R cos ⁡ θ {\displaystyle v_{y}(t)=R\cos \theta \ {\frac {d\theta }{dt}}=\omega (t)R\cos \theta \!}

dengan

d θ d t = ω ( t ) = ω 0 + α t {\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=\omega (t)=\omega _{0}+\alpha \ t\!}

Dapat dibuktikan bahwa

v ( t ) = v T ( t ) = v x 2 ( t ) + v y 2 ( t ) = ω ( t ) R {\displaystyle v(t)=v_{T}(t)={\sqrt {v_{x}^{2}(t)+v_{y}^{2}(t)}}=\omega (t)R\!}

sama dengan kasus pada GMB.

Gerak melingkar dapat dipandang sebagai gerak berubah beraturan. Bedakan dengan gerak lurus berubah beraturan (GLBB). Konsep kecepatan yang berubah kadang hanya dipahami dalam perubahan besarnya, dalam gerak melingkar beraturan (GMB) besarnya kecepatan adalah tetap, akan tetapi arahnya yang berubah dengan beraturan, bandingkan dengan GLBB yang arahnya tetap akan tetapi besarnya kecepatan yang berubah beraturan.

Gerak berubah beraturan Kecepatan GLBB GMB Besar Arah

berubah	tetap
tetap	berubah

Gerak jatuh bebas
Gerak lurus
Gerak peluru
Gerak vertikal

^ Richard S. Westfall, Circular Motion in Seventeenth-Century Mechanics, Isis, Vol. 63, No. 2. (Jun., 1972), pp. 184-189.
^ Chapter 22 Parametric Equation,, Department of Mathematics, University of Washington, Math 124 Materials (Autumn), ch 22, pp. 308 Diarsipkan 2006-09-03 di Wayback Machine..