Show
Diagram diatas bukanlah fungsi karena ada anggota domain yang dipasangkan lebih dari satu kali. Relasi R disebut fungsi, jika setiap anggota dari himpunan A dapat dipasangkan tepat dengan satu anggota himpunan B. Bentuk relasi tersebut dapat dituliskan dalam notasi fungsi: f : A → B. Jika x anggota A dipetakan ke y anggota B oleh fungsi f, maka fungsi f dapat dinyatakan dengan f : x → y atau y = f(x). Bentuk penulisan bentuk $y = f(x)$, x disebut variabel bebas dan y disebut variabel terikat. Variabel bebas adalah variabel yang nilainya bebas untuk dipilih dan ditentukan dari domain fungsi f. Variabel terikat adalah variabel yang nilainya tergantung dari variabel bebas. Sama seperti relasi, suatu fungsi juga dapat dinyatakan dalam tiga bentuk, yaitu diagram panah, pasangan berurutan, dan koordinat Cartesius. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B ditentukan oleh banyaknya anggota himpunan A dan himpunan B. Jika banyak anggota himpunan A adalah p, dan banyak anggota himpunan B adalah q, maka banyaknya pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah $q^p$. Sedangkan banyaknya pemetaan dari himpunan B ke himpunan A adalah $p^q$. Berdasarkan cara berpasangan antara anggota domain dengan anggota kodomain, fungsi memiliki sifat-sifat yang dapat dibagi atas 4 bagian, yaitu fungsi into, fungsi surjektif atau onto, fungsi injektif, dan fungsi bijektif. Pengertian Fungsi IntoFungsi Into dapat dikenali dengan mengamati daerah kodomain. Seperti yang sudah dijelaskan diatas, bahwa range adalah himpunan bagian dari kodomain. Jadi anggota kodomain belum tentu semuanya masuk anggota range. Jika anggota kodomain tidak seluruhnya berpasangan dengan anggota domain, maka fungsi tersebut adalah fungsi into atau fungsi ke dalam. Perhatikan diagram berikut!Pengertian Fungsi Surjektif atau OntoFungsi Surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada adalah suatu fungsi dimana seluruh anggota kodomain memiliki pasangan. Anggota kodomain boleh berpasangan lebih dari sekali. Seluruh anggota kodomain merupakan range (daerah hasil). Perhatikan diagram berikut!Pengertian Fungsi InjektifFungsi injektif atau fungsi satu-satu adalah fungsi yang memasangkan anggota domain dengan anggota kodomain sehingga setiap anggota domain memiliki pasangan yang berbeda dan pasangannya hanya satu di kodomain. Perhatikan diagram berikut!Pengertian Fungsi BijektifFungsi bijektif adalah fungsi injektif sekaligus fungsi surjektif. Fungsi Bijektif disebut juga fungsi korespondensi satu-satu. Semua anggota kodomain berpasangan dengan anggota domain dan setiap anggota domain memiliki pasangan yang berbeda. Masing-masing anggota hanya berpasangan satu kali. Perhatikan diagram berikut!Contoh soal 1. Jika A = {a, b, c, d, e} dan B = {3, 4, 5}, maka banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah . . . .Pembahasan: Banyak anggota himpunan A = 5, banyak anggota himpunan B = 3. Banyak pemetaan dari A ke B = $3^5 = 243$.Contoh soal 2. Jika n(A) = n(B) = 5, maka banyaknya korespondensi satu-satu dari A ke B adalah . . . .Pembahasan: Contoh soal 3. Suatu fungsi dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan R = {(3,2),(1,3),(2,5),(5,6),(7,3)}. Domain dari fungsi tersebut adalah . . . .Pembahasan: Domain adalah {1, 2, 3, 5, 7}. Kodomain adalah {2, 3, 5, 6}Contoh soal 4. Diketahui $y = x^2 - 2x - 3$, $y = 3x + 1$, $y = 5$, $y^2 = 4 - x^2$. Yang bukan fungsi adalah . . . .Pembahasan: Suatu relasi disebut fungsi jika anggota domain dipetakan tepat dengan satu anggota kodomain. x adalah anggota domain dan y adalah anggota kodomain. Perhatikan $y^2 = 4 - x^2$ ! jika x = 0, maka ada dua nilai dari y, yaitu y = 2 dan y = -2. Ada beberapa nilai x yang berpasangan dua kali. Jadi $y^2 = 4 - x^2$ bukanlah fungsi. Cara alternatif: Sketsakan grafik dan tarik garis sejajar sumbu y memotong grafik. Jika garis memotong grafik lebih dari sekali, berarti grafik bukanlah fungsi.Contoh soal 5. Diketahui P = {(5,2),(6,2),(5,1),(7,1),(2,5)}, P bukanlah sebuah fungsi, tetapi jika salah satu pasangan terurut dibalik, maka P akan menjadi fungsi. Pasangan terurut yang harus dibalik adalah . . . .Pembahasan: P merupakan fungsi jika semua anggota domain berpasangan, dan memiliki satu pasangan di kodomain. Domain = {2, 5, 6, 7}, anggota domain yaitu 5 berpasangan dua kali, yaitu (5, 2) dan (5, 1). Salah satu harus dibalik. Jika (5, 2) dibalik menjadi (2, 5), akan ada anggota domain yaitu 2 yang berpasangan dua kali. Jika (5, 1) dibalik menjadi (1, 5), semua anggota domain hanya berpasangan satu kali.Contoh soal 6. Pembahasan: Kita bisa menguji sembarang nilai x, misalkan x = 1, x = -1 dan lain-lain. Kita juga bisa membuat sketsa. Jika garis yang ditarik sejajar sumbu x atau garis yang ditarik sejajar sumbu y memotong grafik lebih dari sekali, maka grafik bukanlah korespondensi satu-satu. A. Jika x = 1 maka f(x) = 1, jika x = -1 maka f(x) = 1, x = 1 dan x = -1 memiliki peta yang sama. Jadi $f(x) = x^4$ bukanlah korespondensi satu-satu. B. Jika x = 1 maka f(x) = 5, jika x = -1 maka f(x) = 5. Jadi $f(x) = x^2 + 4$ bukanlah korespondensi satu-satu. C. Jika x = 1 maka f(x) = |1 + 1| = 2, jika x = -3 maka f(x) = |-3 + 1| = 2. Jadi f(x) = |x + 1| bukanlah korespondensi satu-satu. D. f(x) = 3x - 5 adalah korespondensi satu-satu. E. Sama seperti A dan B, $f(x) = x^2$ bukanlah korespondensi satu-satu.Contoh soal 7. Domain dari fungsi $f(x) = \sqrt{\dfrac{x + 7}{3 - x}}$ adalah . . . .Pembahasan: $\sqrt{\dfrac{x + 7}{3 - x}}$ akan terdefinisi jika $\dfrac{x + 7}{3 - x} ≥ 0$ $\dfrac{x + 7}{3 - x} ≥ 0$ → $x ≠ 3$ $(x + 7)(3 - x) ≥ 0$ $(x + 7)(x - 3) ≤ 0$ $-7 ≤ x < 3$.Contoh soal 8. Tentukan range dari fungsi $f(x) = x^2 - 2x - 3$ untuk -2 < x < 5.Pembahasan: Persamaan sumbu simetri: $x = -\dfrac{b}{2a}$ $x = -\dfrac{-2}{2.1}$ $x = 1$ a = 1 > 0, kurva terbuka keatas sehingga yang ada adalah nilai minimum. Nilai minimum pada x = 1. $f(1) = 1^2 - 2.1 - 3$ = $-4$. Kita akan menentukan nilai pada batas kiri dan batas kanan interval. $f(-2) = (-2)^2 - 2.(-2) - 3$ = $5$ $f(5) = 5^2 - 2.5 - 3$ = $12$ Terlihat bahwa pada interval $-2 < x < 5$, range adalah $-4 < y < 12$.Jenis-jenis Fungsi KhususFungsi khusus adalah fungsi yang memiliki ciri-ciri khusus atau ciri-ciri yang khas. Beberapa fungsi khusus adalah fungsi konstan, fungsi identitas, fungsi linier, fungsi kuadrat, fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak, fungsi genap, dan fungsi ganjil.A. Fungsi KonstanFungsi konstan adalah suatu fungsi f : A → B dimana setiap anggota A dipasangkan dengan satu anggota B yang sama. Akibatnya range dari fungsi tersebut hanyalah satu anggota. Fungsi konstan diformulasikan dengan $f(x) = k$ dengan x ∈ R, dan k merupakan sebuah konstanta atau tetapan. Contoh fungsi konstan: $a.\ f(x) = 3.$ $b.\ y = 2$. $c.\ f(x) = -5.$B. Fungsi IdentitasFungsi identitas adalah fungsi f : A → A dengan A sembarang himpunan tidak kosong. Fungsi identitas diformulasikan dengan $f(x) = x$C. Fungsi LinierFungsi linier adalah fungsi berderajat satu. Suatu fungsi f : R → R yang diformulasikan dengan $f(x) = ax + b$ dengan a, b, dan c adalah konstanta dengan a ≠ 0.D. Fungsi KuadratFungsi kuadrat adalah fungsi polinom berderajat dua. Fungsi kuadrat diformulasikan dengan $f(x) = ax^2 + bx + c$ dengan a, b, dan c adalah konstanta dengan a ≠ 0. Materi tentang fungsi kuadrat lihat DISINI.E. Fungsi Modulus atau Fungsi Nilai Mutlak.Fungsi modulus adalah suatu fungsi nilai mutlak yang diformulasikan dengan $y = |f(x)|$. Contoh fungsi modulus: $a.\ f(x) = |x^2 - x + 5|$ $b.\ f(x) = |3x - 1|$F. Fungsi GenapFungsi genap adalah suatu fungsi y = f(x) dimana $f(x) = f(-x)$ untuk semua bilangan real x anggota domain $(D_f)$. Contoh fungsi genap: $a.\ f(x) = 2x^2$ $f(x) = 2x^2$ $f(-x) = 2.(-x)^2$ $= 2x^2$ karena $f(x) = f(-x)$, maka $f(x) = 2x^2$ adalah fungsi genap. $b.\ f(x) = |3x|$ $f(x) = |3x|$ $f(-x) = |3.(-x)|$ $= |-3x|$ $= |3x|$ Karena $f(x) = f(-x)$, maka $f(x) = |3x|$ adalah fungsi genap. Ciri-ciri fungsi genap adalah kesimetrisan terhadap sumbu $y$.G. Fungsi GanjilFungsi ganjil adalah suatu fungsi $y = f(x)$ dimana $f(x) = -f(x)$ Contoh fungsi ganjil: $a.\ f(x) = x^3$ $f(-x) = -x^3$ $= -f(x)$ Karena $f(x) = -f(x)$, maka $f(x) = x^3$ adalah fungsi ganjil. $b. f(x) = 3x$ $f(-x) = 3.(-x)$ $= -3x$ $= -f(x)$ Karena $f(x) = -f(x)$, maka $f(x) = 3x$ adalah fungsi ganjil. Ciri-ciri fungsi ganjil adalah kesimetrisan terhadap titik asal $O(0, 0)$. Demikianlah pembahasan kita tentang Relasi dan Fungsi. Masih banyak kekurangan. Silahkan adik-adik dan rekan-rekan menambahkan dan melengkapi.SHARE THIS POST www.maretong.com |