Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A 5, 3 = 0 dan sejajar sumbu z

geometri analitik universitas

Artikel ini akan mengkontruksi persamaan dari garis lurus pada dimensi tiga. Alat yang digunakan dalam hal ini adalah vektor pada ruang dimensi \(\mathbb{R}^{3}\).

Pertama akan dikontruksi garis yang sejajar dengan suatu vektor yang diberikan namun mempunyai panjang vektor yang berbeda.

Misalkan sebuah garis \(L\) melalui sebuah titik \(P_{1} (x_{1},y_{1},z_{1})\) dan sejajar dengan vektor tak nol yang diberikan\[\boldsymbol{V}=A\boldsymbol{i}+B\boldsymbol{j}+C\boldsymbol{k}\]Jika sebarang titik \(P(x,y,z)\) berada di garis, maka vektor \(\overrightarrow{P_{1}P}\) sejajar dengan vektor \(\boldsymbol{V}\). Sebaliknya jika vektor \(\overrightarrow{P_{1}P}\) sejajar dengan vektor \(\boldsymbol{V}\) maka titik \(P\) terletak pada garis \(L\).

Oleh karena itu jika \(P\) terletak di dalam garis \(L\) maka vektor \(\overrightarrow{P_{1}P}\) bisa dinyatakan sebagai perkalian vektor \(\boldsymbol{V}\) dengan suatu skalar.

Hal ini dikarenakan vektor \(\boldsymbol{V}\) dan vektor \(\overrightarrow{P_{1}P}\) sejajar dan berbeda panjang.

Jadi \[ \overrightarrow{P_{1}P}=t\boldsymbol{V} \]atau\[(x-x_{1})\boldsymbol{i}+(y-y_{1})\boldsymbol{j}+(z-z_{1})\boldsymbol{k}=At\boldsymbol{i}+Bt\boldsymbol{j}+Ct\boldsymbol{k}\]Karena kedua vektor sama, maka dapat dilihat bahwa koefisien yang seletak sama. Jadi\[x-x_{1}=At, \quad y-y_{1}=Bt, \quad z-z_{1}=Ct\]selanjutnya variabel \(x, y\) dan \(z\) dicari sehingga\[x=x_{1}+At,\quad y=y_{1}+Bt, \quad z=z_{1}+Ct \qquad (1)\]Ketika nilai \(t\) diberikan dengan sebarang bilangan riil, maka akan ditemukan koordinat titik \((x,y,z)\) yang terletak di garis \(L\).

Persamaan 1 di atas dinamakan persamaan parametrik dari garis.

Dengan menyamakan nilai \(t\) pada ketiga persamaan diperoleh persamaan garis berikut\[\frac{x-x_{1}}{A}=\frac{y-y_{1}}{B}=\frac{z-z_{1}}{C} \qquad (2)\]Persamaan 2 ini dinamakan persamaan simetri dari garis lurus di dimensi tiga.

Sebuah bidang yang memuat garis dan tegak lurus ke bidang koordinat disebut bidang proyeksi. Persamaan 2 di atas menunjukkan tiga bidang proyeksi. Untuk membuktikan hal ini, persamaan dapat ditulis dengan\[\frac{x-x_{1}}{A}=\frac{y-y_{1}}{B},\quad \frac{x-x_{1}}{A}=\frac{z-z_{1}}{C}, \quad \frac{y-y_{1}}{B}=\frac{z-z_{1}}{C}\]Masing-masing persamaan tersebut merupakan persamaan bidang yang tegak lurus dengan bidang \(xy, xz\) dan \(yz\). Perhatikan persamaan bidang \[ \begin{eqnarray} \frac{x-x_{1}}{A}&=&\frac{y-y_{1}}{B}\\ B(x-x_{1})&=&A(y-y_{1})\\ B(x-x_{1})-A(y-y_{1})&=&0 \end{eqnarray}\]yang tegak lurus vektor normal \(\boldsymbol{N}=B\boldsymbol{i}-A\boldsymbol{j}+0\boldsymbol{k}\). Karena vektor \(\boldsymbol{N}\) berada di bidang \(xy\) maka bidang \(\frac{x-x_{1}}{A}=\frac{y-y_{1}}{B}\) juga tegak lurus dengan bidang \(xy\).

Contoh soal 1

Tulis persamaan garis yang melalui \((2, -1, 3)\) yang sejajar dengan vektor \(\boldsymbol{V}=-2\boldsymbol{i}+4\boldsymbol{j}+6\boldsymbol{k}\).

Pembahasan Soal 1

Persamaan garis dalam bentuk simetri adalah\[\frac{x-2}{-2}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-3}{6}\]Sedangkan persamaan parametrik garis dalam bidangnya adalah\[x=2-2t, y=-1+4t, z=3+6t\]Contoh Soal 2 Tulis persamaan garis yang melalui dua titik \(P(2,-4,5)\) dan \(Q(-1,3,1)\).

Pembahasan Soal 2

Vektor dari titik \(Q\) ke \(P\)\[\overrightarrow{QP}=3\boldsymbol{i}-73\boldsymbol{j}+43\boldsymbol{k}\]sejajar dengan garis yang dicari. Jadi persamaan simetri dari garis dalam ruang yang diinginkan adalah\[\frac{x-2}{3}=\frac{y+4}{-7}=\frac{z-5}{4}\]Jika mengggunakan vektor \(\overrightarrow{PQ}\) bisa yang akan berlainan tanda pada penyebut persamaan di atas.

Contoh Soal 3

Temukan persamaan simetri dari persamaan garis berikut\[x+y-z-7=0, \quad x+5y+5z+5=0\]Pembahasan Soal 3
Persamaan pertama dikali dengan 5 sehingga dapat ditulis dengan\[5x+5y-5z-35=0, \quad x+5y+5z+5=0\]Jika persamaan pertama dijumlahkan dengan persamaan kedua maka\[6x+10y-30=0\]Jika persamaan kedua dikurangi dengan persamaan pertama maka diperoleh\[4y+6z+12=0\]Jadi didapatkan dua persamaan\[y=\frac{-3x+15}{5},\quad y=\frac{-3z-6}{2}\]Jika kedua persamaan dibagi dengan \(-3\) maka didapatkan persamaan garis dalam bentuk simetri\[\frac{y}{-3}=\frac{x-5}{5}=\frac{z+2}{2}\]Contoh Soal 4 Tuliskan persamaan garis pada ruang yang melalui titik \(A(2,,6,4)\) dan \(B(3,-2,4)\)!

Pembahasan Soal 4

Vektor dari \(A\) ke \(B\) adalah\[\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{i}-8\boldsymbol{j}\]Jadi persamaan garis yang dicari sejajar dengan bidang \(xy\). Bidang \(z=4\) yang sejajar dengan bidang \(xy\) memuat garis yang dimaksud karena garis melewati titik dengan koordinat bagian \(z\) adalah 4.

Jadi persamaan simetri dari garis adalah dengan menggunakan dua bagian pertama variabel \(x\) dan \(y\) dan ditambah dengan persamaan \(z=4\) sehingga\[z=4, \frac{x-3}{1}, \frac{y+2}{-8}\]atau\[z=4, 8x+y-22=0\]Contoh Soal 5

Temukan persamaan garis yang melalui \((2,-1,3)\) dan sejajar dengan bidang \(2x-y+4z-5=0\) dan \(3x+y+z-4=0\).

Pembahasan Soal 5

Vektor normal dari kedua bidang adalah\[\begin{eqnarray}\boldsymbol{N}_{1}&=&=2\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+4\boldsymbol{k}\\ \boldsymbol{N}_{2}&=&3\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}\end{eqnarray}\]Maka garis yang dimaksud akan tegak lurus dengan kedua vektor normal tersebut. Jika vektor \(\boldsymbol{V}=A\boldsymbol{i}+B\boldsymbol{j}+C\boldsymbol{k}\) sejajar dengan garis, maka\[\begin{eqnarray}\boldsymbol{N}_{1} \cdot \boldsymbol{V}&=&2A-B+4C=0\\ \boldsymbol{N}_{2} \cdot \boldsymbol{V}&=& 3A+B+C=0\end{eqnarray}\]Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut diperoleh solusi\[A=-c, B=2C\]Jadi vektor \(\boldsymbol{V}=-C\boldsymbol{i}+2C\boldsymbol{j}+C\boldsymbol{k}\). Jika \(C=1\) maka \(\boldsymbol{V}=-\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}\). Oleh karena itu persamaan garis yang diminta adalah\[\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{1}\] Sudut \(\alpha, \beta\) dan \(\gamma\) antara garis berarah dengan sumbu \(x\), sumbu \(y\) dan sumbu\(z\) negatif disebut sudut arah dari garis tersebut. Sedangkan kosinus dari sudut arah dinamakan kosinus arah dari garis tersebut.

Contoh Soal 6

Temukan arah postif dari garis yang direpresentasikan dengan persamaan\[\frac{x-1}{4}=\frac{y+3}{-3}=\frac{z-5}{-2}\]dan temukan kosinus arah dari garis tersebut

Pembahasan Soal 6

Berdasarkan definisi persamaan garis di dimensi tiga, vektor \(4\boldsymbol{i}-3\boldsymbol{j}-2\boldsymbol{k}\) dan \(-4\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{k}\) sejajar dengan garis yang dimaksud. Kita pilih arah positif dari garis yang mengarah ke atas sedemikian sehingga \(\gamma\) meruapakan sudut lancip. Maka vektor \(-4\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{k}\) menghadap arah positif dari garis. Selanjutnya dengan menggunakan perkalian titik diperoleh\[\begin{eqnarray}\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{V}&=& |\boldsymbol{i}| |\boldsymbol{V}| \cos \alpha\\ -4&=& \sqrt{29} \cos \alpha \\ \cos \alpha &=& -\frac{4}{\sqrt{29}}\end{eqnarray}\]Secara serupa, untuk perkalian titik \(\boldsymbol{j}\cdot \boldsymbol{V}\) dan \(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{V}\) menghasilkan\[\cos \beta = \frac{3}{\sqrt{29}}, \qquad \cos \gamma = \frac{2}{\sqrt{29}}\] Pada nomor 1 sampai 4 berikut, tentukan garis yang sejajar dengan garis yang diberikan dan tentukan titik potong garis dengan bidang koordinat.
1. \(\frac{x-6}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+3}{3}\)
2. \(\frac{x}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{1}\)
3. \(\frac{x-3}{3}=\frac{y}{-1}=\frac{z-4}{2}\)
4. \(\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-4}{3}\) Tulis persamaan garis dalam dimensi tiga dalam dua bentuk dari garis yang melalui titik dan sejajar garis yang diberikan

5. \(P(4, -3, 5); -2\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}+4\boldsymbol{k}\)

6. \(P(3, 3, 3); \boldsymbol{i}+\boldsymbol{k}\)
7. \(P(0, 0, 0); \boldsymbol{k}\) Tulis persamaan garis dalam dimensi 3 yang melalui dua titik berikut

8. \((1, 2, 3), (-2, 4, 0)\)

9. \((0, 0, 0), (3, 4, 5)\)
10. \((0, 0, 2), (0, 0, 4)\)

11. Temukan bentuk simetri dari masing-masing pasangan persamaan berikut\[\begin{eqnarray} x-y-2z+1&=&0\\ x-36y-3z+7&=&0 \end{eqnarray}\]12. Temukan kosinus arah dari soal 1 sampai 4

Temukan kosinus dari sudut lancip yang dibentuk oleh masing-masing pasangan garis berikut

13. \(\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{2},\quad \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-3}{1}\)

14. \(x=3+t, y=5-8t, z=2+4t; \quad x=3+4t, y=5-2t, z=2-4t\)

15. Temukan persamaan garis yang melewati \((2,1,3)\) dan sejajar dengan bidang \(2x-3y+2z=5\) dan \(3x+2y-2z=7\)

Persamaan Garis Pada Dimensi Tiga

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq December 11, 2019