Tanpa menggambar sebutkan sifat-sifat grafik fungsi kuadrat berikut 12x 1 = 0

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Bentuk umum: ax2 + bx + c = 0 dengan a, b, c, ∈ R dan a ≠ 0.

a, b dan c adalah bilangan real.

1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:

Jadi, himpunan penyelesaiannya {-4, -3}.

b)       melengkapkan kuadrat sempurna

           Untuk menyelesaikan ax2 + bx + c = 0 dengan cara melengkapkan kuadrat:

             - Pindahkan konstanta c ke ruas kanan.

             - Bagi kedua ruas dengan koefisien suku-x2, a.

             - Hitung [1/2 ∙ (b/a)]2 dan jumlahkan kedua ruas dengan hasilnya.

             - Faktorkan ruas kanan sebagai kuadrat binomial; sederhanakan ruas kanan.

             - Selesaikan dengan menggunakan sifat akar kuadrat dari suatu persamaan.

           Carilah akar-akar persamaan kuadrat x² + 3x - 10 = 0.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-5, 2}.

2. ) Jenis- Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Ada 3 jenis akar persamaan kuadrat yang dapat ditentukan dari nilai diskriminannya (D)

Jenis – jenis akar persamaan kuadrat yaitu :

a. Dua akar real yang berlainan atau berbeda jika D > 0

b. Dua akar kembar atau sama jika D > 0

c. Tidak mempunyai akar real atau imajiner jika D < 0

3. Sifat-sifat grafik fungsi

   1. Jika dilihat dari nilai a

   Grafik terbuka ke atas jika a > 0 (positif)

   Grafik terbuka ke bawah jika a < 0 (negatif)

2   2. Jika dilihat dari nilai diskriminan  (D)

   Grafik akan memotong sumbu x di dua titik jika D > 0 (positif)

   Grafik akan memotong sumbu x di satu titik jika D = 0

   Grafik tidak memotong sumbu x jika D < 0 (negatif)

Perhatikan gambar berikut :

Tanpa membuat gambar sebutkan sifat-sifat grafik fungsi kuadrat berikut .

    x2 + x - 45 = 0 (a = 1 , b = 1 , c = -45 )

Karena  a = 1 (positif) maka grafik terbuka ke atas

      Kesimpulan : Grafik terbuka ke atas dan memotong sumbu x didua titik.

b. -3x2 + 12x + 1 = 0 (a = -3 , b = 12 , c = 1 )

Karena a = -3 (negative) maka grafik terbuka ke bawah

Kesimpulan : Grafik terbuka ke bawah dan memotong sumbu x di dua titik 

Dengan titik puncak = (-b/2a, -D/4a)

4. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain

Misal akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2.  ®  x1 + x2 =  2  ,  x1 x2 = 3.

Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x1 + 3 dan  q =  x2 +3

p + q = (x1 + 3) + (x2 + 3)                                 p q = (x1 + 3) (x2 + 3)

= x1 + x2 + 6                                                            = x1 x2 + 3(x1 + x2) + 9

= 2 + 6 = 8                                                                = 3 + 2(2) = 9 = 18

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 – (p + q) + pq = 0.

Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 8x + 18 = 0.

Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan  disebut fungsi kuadrat.

Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat  ax2 + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.

Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.

Ditentukan: f(x) = x2 – 6x – 7

nilai pembuat nol fungsi f

nilai f untuk x = 0 , x = –2

Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0

Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7  dan –1

Untuk  x = 0   maka f(0) = –7

x = –2  maka f(–2) = (–2)2 – 6 (–2) – 7 = 9

6. Menyusun fungsi kuadrat

    Untuk menyusun fungsi kuadrat ada 3 cara

1. Jika memotong di x = p dan q maka

2. Jika memiliki puncak (p, q)

3.Jika diketahui ketiga titik yang dilalui

Subtitusikan ketiga titik ke dalam persamaan y = ax2 + bx + c sehingga diperoleh sistem persamaan linear dalam a, b, dan c

Tentukan fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di (3, 0) dan (7, 0) serta melalui (2, 10)

titik potomg dg sumbu x adalah x = 3 dan x = 7 sehingga

Karena melalui (2, 10) maka

Rumus Jumlah Persamaan Kuadrat

Rumus Jumlah akar persamaan kuadrat itu diperoleh dari rumus kuadrat :

x1 = (-b - √(b2 – 4ac))/2a   atau x2 = (-b + √(b2 – 4ac))/2a

Jadi ktika x1 dan x2 dijumlahkan akan menghasilkan rumus jumlah persamaan kuadrat :

x1 + x2 = ((-b - √(b2 – 4ac))/2a) + ((-b + √(b2 – 4ac))/2a)

x1 + x2 = (-b - b - √(b2 – 4ac) + √(b2 – 4ac))2a

Maka rumus jumlah persamaan kuadrat adalah :

Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat x2 + 2x - 3 = 0, maka tentukanlah x1 + x2 !!!

Jadi hasil jumlah akar dari persamaan x2 + 2x - 3 = 0 adalah x1 + x2 = -2

2. Rumus Hasil Kali Persamaan Kuadrat

Rumus hasil kali akar persamaan kuadrat juga diperoleh dari rumus kuadrat :

x1 = (-b - √(b2 – 4ac))/2a   atau x2 = (-b + √(b2 – 4ac))/2a

Jadi ktika x1 dan x2 dikalikan akan menghasilkan rumus hasil kali persamaan kuadrat :

x1 . x2 = ((-b - √(b2 – 4ac))/2a) x ((-b + √(b2 – 4ac))/2a)

x1 . x2 = (-b x - b) + (- √(b2 – 4ac) x √(b2 – 4ac))/4a2

x1 + x2 = (b2 - (b2 –  4ac)/4a2

x1 + x2 = (b2 - b2 + 4ac)/4a2

Maka rumus jumlah persamaan kuadrat adalah :

Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat x2 + 2x - 3 = 0, maka tentukanlah x1 . x2 !!!

Jadi hasil hasil kali akar dari persamaan x2 + 2x - 3 = 0 adalah x1 . x2 = -3

1. Bila x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 - 6x - 5 = 0, maka  x12 + x22 adalah.....

A. 26    B. 31     C. 37     D. 41     E. 46 

2. Jika 2 dan 3 akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat yang dimaksud adalah.....
A. x2 + x + 5 = 0     B. x2 + 6x + 5 = 0     C. x2 + 5x - 6 = 0
D. x2 - 5x + 6 = 0     E. x2 + x + 5 = 0

3. Persamaan kuadrat x2 + 7x + 1 = 0 akar-akarnya α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + 4) dan (β + 4) adalah ….

A.   x2 +7x−43=0

4. Persamaan kuadrat x2 + 4px + 4 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x1x22 + x12x2 = 32 maka nilai p adalah ….

A. −4

5. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + mx + 16 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan α, β positif maka nilai m adalah ….

A.  −12

1. Persamaan  x2 - 6x - 5 = 0 memiliki koefisien a =1, b = -6, dan c = -5

x1 + x2= (-b)/a = -(-6)/1 = 6

x1 . x2 = c/a = (-5)/1 = -5

x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1.x2

2. Misalkan x1 = 2 dan x2 = 3, maka:

Persamaan kuadrat yang dimaksud adalah

x2- (x1 + x2)x + x1.x2 =0

x2- 5x + 6 = 0 -------------> Jawaban: D

3. Nilai koefisien persamaan kuadrat x2 + 7x + 1 = 0 adalah:

Penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:

Jika persamaan kuadrat baru tersebut dinyatakan

Dengan demikian, persamaan kuadrat baru tersebut adalah

4. Nilai koefisien persamaan kuadrat x2 + 4px + 4 = 0 adalah:

Penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:

Nah, sekarang kita masuk ke pertanyaan.

Jadi, nilai p adalah −2 (B).

5. Dari persamaan kuadrat 2x2 + mx + 16 = 0 diperoleh: 

a = 2 

Perkalian akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:

α.β = c/a

Susbstitusi α = 2β diperoleh:

2β.β = 16/2

Karena disebutkan bahwa α dan β bernilai positif maka 

Sementara itu, penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:

 α+β=−b/a

diperoleh:

3×2=−m/2

Jadi, nilai m adalah −12 (A).