Menentukan vektor yang diketahui titik pangkal dan titik ujungnya

Top 1: Soal Komponen vektor dengan titik pangkal P(-2 , 3) dan titik ujung Q(4.

Top 1: Tentukan panjang dari vektor yang memiliki titik pangkal dan titik ujung ...

Pengarang: brainly.co.id - Peringkat 112

Ringkasan: . tolong jawab yg a b c nya dongterserah boleh make cara boleh gak make cara​ . tentukan nilai dari (-2×17)+(-2×23)=​ . fungsi g ditentukan oleh g:x --> x^2 + 2x, X∈ bilangan asli kurang dari 4. tentukan nilai fungsi g(x) dan g(x+3)​ . fungsi f ditentukan oleh f:x --> 2x - 5 dan X∈R. tentukan bentuk fungsi paling sederhana dari f(x^2) - f(x)​ . X dua dikurang Y =plis hri ni ngntar​ . manakah pernyataan yg benar di bawah in

Hasil pencarian yang cocok: Untuk mencari panjang vektor harus diketahui koordinat vektor tersebut. koordinat suatu vektor dicari dengan menjumlahkan vektor posisi titik- ... ...

Top 2: Menentukan vektor jika diketahui koordinat titik pangkal dan titik ujung

Pengarang: m.youtube.com - Peringkat 113

Hasil pencarian yang cocok: Jawaban paling sesuai dengan pertanyaan Tentukan panjang dari vektor yang memiliki titik pangkal dan titik ujung berikut. ...

Top 3: Soal Tentukan panjang dari vektor yang memiliki titik pangkal dan titik ...

Pengarang: zenius.net - Peringkat 135

Hasil pencarian yang cocok: Komponen vektor dengan titik pangkal P(-2 , 3) dan titik ujung Q(4,-1) adalah... exp_icon Pembahasan. 0:00/1:57. 1X. Kamu merasa terbantu gak, ... ...

Top 4: Soal Komponen vektor dengan titik pangkal P(-2 , 3) dan titik ujung Q(4

Pengarang: zenius.net - Peringkat 131

Hasil pencarian yang cocok: Vektor satuan dari suatu vektor dengan titik pangkal P(6, 4) dan titik ujung Q(2, 1) adalah .... ...

Top 5: Vektor satuan dari suatu vektor dengan titik pangk... - Roboguru

Pengarang: roboguru.ruangguru.com - Peringkat 191

Ringkasan: DIketahui suatu vektor dengan titik pangkal  dan titik ujung . Akan dicari vektor satuan dari vektor tersebut. Terlebih dahulu dicari vektor tersebut yaitu vektor .   diperoleh . Selanjutnya dicari panjang vektor .   Sehingga vektor satuan dari  adalah , yaitu   diperoleh ..   Jadi, jawaban yang benar adalah B..

Hasil pencarian yang cocok: Tentukan panjang vektor dengan titik pangkal P(9,2) dan titik ujung Q(3,5)! ...

Top 6: Tentukan panjang vektor dengan titik pangkal P(9,2... - Roboguru

Pengarang: roboguru.ruangguru.com - Peringkat 177

Ringkasan: Tentukan panjang vektor dengan titik pangkal P(9,2) dan titik ujung Q(3,5)!.

Hasil pencarian yang cocok: 29 Agu 2018 — dimana PQ adalah suatu vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q. Contoh 4. Diketahui A(2, 3) , B(1, 4) dan C(5, 0) adalah titik-titik ... ...

Top 7: Vektor dalam Kajian Matematika - SMAtika

Pengarang: smatika.blogspot.com - Peringkat 116

Ringkasan: . Vektor adalah segmen garis berarah yang dikarakteristikkan berdasarkan dua hal, yaitu panjang dan arahnya. Vektor digambarkan menyerupai anak panah. Panjang anak panah merepresentasikan besar/nilai vektor, sedangkan arah anak panah merepresentasikan arah vektor. Yang membedakan suatu vektor dengan vektor yang lain adalah panjang dan arah masing-masing vektor, bukan dimana posisi ia ditempatkan. Oleh sebab itu, vektor dapat dipindah-pindah posisinya selama panjang dan arahnya tid

Hasil pencarian yang cocok: Top 9: Top 10 komponen invers dari vektor posisi dengan titik ujung 3 7 . — Contoh soal menentukan vektor jika ... titik ujungnya atau sebaliknya ... ...

Top 8: Top 9 siswa mampu menentukan komponen vektor yang diketahui ...

Pengarang: dimanakahletak.com - Peringkat 199

Ringkasan: Top 1: TENTUKAN komponen vektor yang mempunyai titik pangkal A(3 - Brainly.Top 1: Soal Komponen vektor dengan titik pangkal P(-2 , 3) dan titik ujung Q(4Pengarang: zenius.net - Peringkat131Hasil pencarian yang cocok:Diketahui titik P ( 2 , 3 , − 1 ) P(2,3,-1) P(2,3,−1) dan Q ( 1 , 5 , 6 ) Q(1,5,6) Q(1,5,6) vektor ( P Q ) (P Q) (PQ) -adalah .... icon Lihat Jawaban>..Top 2: Komponen vektor dengan titik pangkal P(−2, 3) dan ... - RoboguruPengarang: roboguru.ruangguru.com - Peringkat178Hasil

Hasil pencarian yang cocok: 3 Agu 2015 — Jika titik pangkal dan titik ujungnya terletak pada titik asal, maka v disebut ... garis berarah menjadi bentuk komponen, atau sebaliknya. ...

Top 9: Vektor pada Bidang | Pendidikan Matematika | Laman 2

Pengarang: yos3prens.wordpress.com - Peringkat 116

Ringkasan: Ruas garis berarah yang memiliki titik pangkal pada titik asal seringkali menjadi representasi yang paling mudah dari himpunan ruas-ruas garis berarah yang ekuivalen, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3 sebelumnya. Representasi v ini dikatakan dalam posisi baku. Suatu ruas garis yang titik pangkalnya pada titik asal dapat direpresentasikan secara unik koordinat dari titik ujungnya, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.. Definisi Bentuk Komponen Suatu Vektor pada Bidang. Jika v adalah suatu

Hasil pencarian yang cocok: N/A ...

(1)

001

Vektor Vektor adalah ruas garis berarah yang ditentukan oleh panjang

danarahnya.Duavektor dikatakan sama jika panjang dan arahnya sama.

Vektor digambarkan sebagai ruas garis dari titik pangkal ke titik ujung dengan tanda panah diujung, dan diberi lambang huruf kecil cetak tebal.

Panjang vektor Panjang vektor v adalah jarak dari titik pangkal ke titik

ujungnya, dan ditulis ||v||.

Vektor satuan Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1 satuan.

Untuksebarangvektor vdiperolehvektor satuan || ||vv yangpanjangnya1.

v titik ujung ||v|| titik

pangkal

v

u

u=v

v

u

u u

v v uπv

z

v3

v=(v1,v2,v3) k

j v2 0 y

v1 (v1,v2,0)

x

1 2 3

v v v

= + +

v i j k

2 2 2

1 2 3

|| ||v = v + +v v

Vektor posisi Jika titik pangkal vektor v adalah

(0,0,0) dan titik ujungnya (v1,v2,v3), maka v

dina-makan vektor posisi, dan ditulis v = ·v1,v2,v3Ò. Panjang vektorv=·v1,v2,v3Ò ∫ || ||v = v12+ +v22 v32.

Vektor basis Vektor satuan i=·1,0,0Ò, j=·0,1,0Ò,

dan k=·0,0,1Ò sebagai pembentuk ruang

dinama-kan vektor basis untuk ruang \3. Vektor v dapat

dinyatakan sebagai v = v1i+v2j+v3k.

i

Vektor di bidang Vektor posisi di bidang adalah v = ·v1,v2Ò, vektor

de-ngan titik pangkal (0,0) dan titik ujung (v1,v2). Panjang vektor ini adalah

2 2 1 2

|| ||v = v +v . Basis baku di bidang terdiri dari vektor satuan i = ·1,0Ò

dan j = ·0,1Ò. Vektor v = ·v1,v2Ò di bidang ditulis v=v1i+v2j.

Vektor nol Vektor nol adalah vektor dengan titik pangkal berimpit

de-ngan titik ujung, arahnya sebarang. Vektor nol di \3 adalah 0 = ·0,0,0Ò.

Kesamaan dua vektor posisi Vektor u=·u1,u2,u3Ò=u1i+u2j+u3k dan

v=·v1,v2,v3Ò=v1i+v2j+v3k sama, ditulis u=v ¤ u1=v1, u2=v2, u3=v3.

Vektor dari ruas garis Jika P dan Q adalah titik di bidang (ruang),

ma-ka vektor dengan titik pangma-kal P dan titik ujung Q ditulis PQJJJG. Jika titik

pangkalnya Q dan titik ujungnya P, maka diperoleh vektor QPJJJG.

Penjumlahan vektor Pengurangan vektor

u+v

v

v

u

u+v

v

v

u

v

v

u -v u-v

v u-v

v

u

u-v

Perkalian vektor dengan skalar u

Penjumlahan vektor Untuk vektor u dan v dengan titik ujungu ∫ titik

pangkalv, jumlah u dan v (ditulis u+v) adalah vektor dari titik pangkal

u ke titik ujung v. Jumlah dari vektoru= ·u1,u2,u3Òdanv=·v1,v2,v3Ò ada-lah u+v=·u1+v1,u2+v2,u3+v3Ò.

Perkalian vektor dengan skalar Hasilkalivektoru dengan skalar c (di-tulis cu) adalah vektor yang searah u jika c > 0, berlawanan arah dengan

u jika c > 0, dan vektor nol jika c = 0. Hasil kali skalar dari u=·u1,u2,u3Ò

dengan skalar c adalah cu=·cu1,cu2,cu3Ò dan panjangnya |c|||u||.

Pengurangan vektor Selisih dari vektor u dan v (ditulis u-v) adalah vektor u+(-v). Selisih dari vektor u =·u1,u2,u3Ò dan v=·v1,v2,v3Òadalah

u-v=·u1-v1,u2-v2,u3-v3Ò.

-v

3u

Sifat Vektor Untuk sebarang vektor u, v, w dan skalar a, b berlaku:

¾ u+v = v+u ¾ u+(-u) = 0 ¾ (a+b)u = au+bu ¾ (u+v)+w = u+(v+w) ¾ a(bu) = (ab)u ¾ 1u = u

¾ u+0 = 0+u = u ¾ a(u+v) = au+av ¾ ||au|| = |a|||u||.

Contoh

C

D

Q E B

A

Pada gambar diperlihatkan jajargenjang ABCD

de-ngan diagonal AC dan BD yang berpotongan di E,

P titik-tengah BC, dan Q titik-tengah ED.

Jika AB = u dan AD = v, nyatakan ruas garis

ber-arah AP, AQ, dan CQ dalam vektor u dan v.

¾Dari sifat jajargenjang diperoleh

DC=AB=u, BC=AD=v, CD BA= = -u, dan CB DA= = -v.

¾Karena P titik-tengah BC, maka 1 1

2 2

AP=AB BP+ = +u BC= +u v.

¾Karena Q titik-tengah ED dan E titik potong diagonal AC dan BD, maka

3 4

BQ= BD, sehingga

3 3 3 1 3

4 4

(

)

AQ=AB BQ+ = +u BD= +u BA AD+ = + - + =u u v u+ v.

¾Dengan argumentasi yang sama diperoleh

3 3 3 3 1

4 4

(

)

CQ CB BQ= + = - +v BD= - +v BA AD+ = - + - + = -v u v u- v

Contoh Jika u = (1,0,0), v = (1,1,0), w = (1,1,1), dan x = (2,-3,4),

ten-tukan konstanta a, b, dan c agar memenuhi x=au+bv+cw.

Dari x=au+bv+cw diperoleh (2,-3,4)=a(1,0,0)+b(1,1,0)+c(1,1,1), atau

(2,-3,4) = (a+b+c,b+c,c) Berdasarkan kesamaan dua vektor diperoleh

a+b+c = 2, b+c = -3, dan c = 4.

Akibatnya b = -3 - c = -3 - 4 = -7, dan a = 2 - b - c = 2 - (-7) - 4 = 5.

Jadi konstanta a, b, dan c yang memenuhi x=au+bv+cw adalah

a = 5, b = -7, dan c= 4.

Contoh Jikau=·8,1,-4Ò danv=·6,-2,-3Ò, tentukan panjang vektor u,

v,dan u-2v.

¾Panjang vektor u adalah || ||u = 82+ + -12 ( 4)2= 81 9= .

¾Panjang vektor v adalah || ||v = 22+ - + -( 3)2 ( 6)2= 49 7= .

¾Karena u-2v = ·8,1,-4Ò-2·6,-2,-3Ò = ·8,1,-4Ò-·12,-4,-6Ò=·4, 5,-2Ò,

maka panjang vektor u-2v adalah ||u-2 ||v = - + + =( 4)2 5 22 2 45 3 5.=

60∞ 45∞

v

60∞ 45∞

w

Contoh Pada gambar diperlihatkan sebuah benda dengan berat 200 newton yang

digan-tung dua kawat bersudut 60∞ dan 45∞ dengan

horisontal. Jika semua gaya terletak di dalam satu bidang dan benda dalam keadaan setim-bang, tentukan besarnya gaya tegangan pada setiap kawat.

¾Misalkan gaya tegangan pada kawat kiri adalah vektor u, pada kawat

ka-nan adalahvektor v, dangaya berat benda adalahvektor w. Uraikan gaya

tegangan u dan v atas komponen horisontal dan vertikal.

¾Dalam keadaan setimbang besarnya gaya horisontal ke arah kiri dan

ka-nan harus sama, akibatnya || || cos 60u =|| || cos 45 .v Dari sini diperoleh

1 1

2|| ||u = 2 2 || ||v , sehingga || ||u = 2 || ||v .

¾Dalam keadaan setimbang besarnya gaya horisontal ke arah atas dan

ba-wah harus sama, akibatnya || || sin 60u +|| || sin 45v =|| || 200w = .

¾Selesaikan persamaan ini dengan data soal dan || ||u = 2 || ||v , diperoleh

1 1

2 3◊ 2 || ||v + 2 2 || || 200v = ,

400 400 6 2

6 2 6 2 6 2

|| || - 100

(

)

+ +

-= = ◊ = - ª

v newton.

dan

|| ||u = 2 || ||v = 2 100◊

(

)

(

)

u

Perkalian titik Hasilkali titik dari vektor u dan v, ditulis u vi , didefini-sikan sebagai berikut.

¾ Untuk vektor di bidang: u vi = ·u u1 2, Ò ·i v v1 2, Ò = u v1 1+u v2 2.

¾ Untuk vektor di ruang : u vi = ·u u u1 2, , 3Ò ·i v v v1 2 3, , Ò =u v1 1+u v2 2+u v3 3.

Sifat Perkalian titik Untuk vektor u, v, w dan skalar c berlaku

¾ u vi = v ui ¾ u v wi( + ) =u v u wi + i ¾ c(u vi ) = ( )cu vi

¾ 0 ui = 0 ¾ u ui =|| ||u 2≥ 0, u ui > ¤ π0 u 0, u ui = ¤ =0 u 0 Kaitan hasilkali titik dengan sudut antara dua vektornya Jika u,vπ0

dan q = sudut terkecil dari u dan v, maka u vi =|| || || || cos .u v q

Kriteria dua vektor saling tegak lurus u v^ ¤u vi = 0.

(Dua vektor saling tegak lurus jika dan hanya jika hasilkali titiknya nol)

Dua vektor yang saling tegak lurus dinamakan ortogonal.

u-v

u v

q

Bukti dari sifat u vi =|| || || || cos .u v q

Rumus kosinus dari segitiga pada gambar memberikan

2 2 2

||u v- || =|| ||u +|| ||v -2 || || || || cos .u v q

Dari sifat perkalian titik diperoleh

2

2 2

|| || ( ) ( ) ( ) ( )

|| || || || 2

- = - - = - -

-= - - + = +

-u v u v u v u u v v u v

u u u v v u v v u v u v

i i i

i i i i i

Samakan kedua bentuk dari ||u v- ||2 ini, diperoleh u vi =|| || || || cos .u v q

Contoh Tentukan sudut antara vektor u=·8,4,-1Òdanv=·4,-4,-2Ò.

Jika u,vπ0 dan q= sudut terkecil dari u dan v, maka

|| |||| ||

cosq = uu vi v . Untuk

soal ini, || ||u = 82+ + - =42 ( 1)2 81 9= , || ||v = 42+ - + -( 4)2 ( 2)2= 36 6= ,

dan u vi =8(4) 4( 4) ( 1)( 2) 18+ - + - - = , sehingga 18 1

9 6 3

cosq = ◊ = . Akibatnya

sudut antara vektor u dan v adalah q =cos-113 ª 71 .

Ilustrasi Vektor u=·8,-1,-4Ò danv=·1,-4,3Ò saling tegak lurus karena

8, 1, 4 1, 4,3 8 4 12 0

= · - - Ò · - Ò = + - =

Contoh Tentukan semua vektor satuan yang tegak lurus u=·1,6,4Ò dan

v= ·1,2,2Ò.

¾Misalkan w = ·a,b,cÒ adalah suatu vektor yang tegak lurus u dan v, maka

·a,b,cÒ ∑ ·1,6,4Ò = 0 dan ·a,b,cÒ ∑ ·1,2,2Ò = 0. Dari sini diperoleh persamaan

6 4 0

a+ b+ c = dan a+2b+2c = 0.

¾Selisih duapersamaaninimemberikan 4b+2c= 0,sehingga c = -2b dan

2 2 2 4 2

a = - -b c= - +b b = b.

¾Jadi w = ·a,b,cÒ = ·2b,b,-2bÒ = b·2,1,-2Ò dan || ||w = b2(4 1 4)+ + =3| |b ,

sehingga semua vektor satuan yang tegak lurus u dan v adalah

2,1, 2 1

|| || 3| | 3 2,1, 2

b b · - Ò

= ww = = ± · - Ò

s .

Sudut arah dan kosinus arah

z

v

k

g a b j

0 y

i x

Sudut tak negatif terkecil antara vektor ruang

vπ0 dengan vektor basis i, j, k dinamakan su

-dut arah dari v,dinyatakan dengana,b, dang; di sini a =–(v,i), b =–(v,j), dan g =–(v,j).

Dalam kaitan ini, cos a, cosb, dan cosg

dina-makan kosinus arah dari v.

Jika v = v1i+v2 j+v3k, maka

1

|| |||| || || ||

cosa = v iv ii = vv , cosb = || |||| ||vv ji j = || ||vv2 , dan cosg = || |||| ||v kv ki = || ||vv3

Catatlah bahwa

2

2 2

3

1 2

2 2 2

2 2 2

|| || || || || ||

cos a +cos b +cos g = v + v + v =1

v v v dan vektor

(cosa,cosb,cosg) adalah suatu vektor satuan yang searah dengan v.

Contoh Tentukan sudut arah vektor v= ·2,3,-6Ò.

Karena || ||v = 4 9 36+ + = 7, maka cosa =27, cosb =37, dan cosg = -67,

sehingga sudut arah dari vektor v= ·2,3,-6Ò adalah

Vektor Proyeksi Proyeksi vektor u pada v adalah vektor 2

Contoh Jikasudutantaratanjakanjalandanhorisontal

adalah 25

∞

me-nahan mobil seberat 2 ton dalam keadaan setimbang.

Buatlahsistem koordinat xoy dengan titik asal sebagai

ti-tik pusat massa mobil. Dalam sistem koordinat ini,

W=·0,-2Ò dan T=·-a,atan25∞Ò,a>0.

Gaya tegangan tali untuk menahan mobil dalam keadaan

setimbang adalah panjang proyeksi dari w pada T, yaitu

Contoh Jika g ∫ ax+ by+ c = 0, a dan b tak semua 0, tunjukkan vektor

Untuk a dan b tak semua 0, terdapat tiga kasus yang mungkin terjadi

Ilustrasi Jika u=·1,6,4Ò dan v= ·1,2,2Ò, maka

Torsi Padagambarkiri diperlihatkan sebuah benda dengan titik tetap O

dan P titik lain pada benda. Di P bekerja gaya F yang memutar benda

terhadap sumbu yang melalui O dan tegak lurus bidang (OP,F). Vektor

OP

t = ¥F dinamakan torsi, yangsearah dengansumbu putar dan

besar-nya ||OP|| || || sin ,F q q = –(OP, )F .

Arti geometri perkalian silang Padagambartengah diperlihatkan

sebu-ah jajargenjang yang dibentuk oleh vektor v dan w dengan q = –(v,w).

Arti geometri Perkalian tripel skalar Padagambar kanandiperlihatkan

n

Q(x,y,z)

P(x1,y1,z1)

1, 1, 1

PQ= · -x x y y z z- - Ò

Persamaan kartesis bidang di ruang Pada gambar

diperlihatkan bidang a yang tegak lurus vektor

tak-nol n = ·a,b,cÒ dan melalui titik P(x1,y1,z1). Jika titik

Q(x,y,z) pada a, maka vektor PQ= · -x x y y z z1, - 1, - Ò1

terletak pada a . Karena PQ ^n, maka PQin =0,

akibatnya a: a(x-x1) + b(y-y1) + c(z-z1) = 0.

Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk ax+by+cz=ax1+by1+cz1=k,

k konstanta. Jadi persamaan bidang a adalah

a: ax+by+cz=d; a, b, dan c tak semua nol.

Vektor yang terletak pada bidang a adalah

(1,1,3) (2, 2, 1) 1,3, 4 Sudut antara dua bidang adalah sudut antara dua vektor normalnya. Di sini

Tampilan parameter kurva bidang Suatu kurva bidang dapat

ditulis-kan dalam persamaan parameter x = x(t), y = y(t), t ΠI, kedua fungsi ini

kontinupada suatuselang I.Cara penulisanlainnyaadalah bentuk vektor

r(t) = x(t)i + y(t)j, tΠI = [a,b].

Kurva tutup dan kurva sederhana Pada persamaan parameter x= x(t),

y=y(t),tŒ[a,b], titik ujung kurva adalah P

(

)

kurva adalahQ

(

)

¾ Suatu kurva dengan titik pangkal dan titik ujung berimpit dinamakan

kurva tutup.

¾ Suatu kurva yang dijalani tepat satu kali (kecuali titik pangkal dan

ti-tik ujungnya) dinamakan kurva sederhana.

Contoh Tentukan persamaan parameter untuk lingkaran L: x2+ =y2 a2.

y

2 2 2

x + =y a (x,y)

t

-a 0 x a x

L -a

x=acost y=asint

Lintasan tutup sederhana

Persamaan parameter L adalah x = acos t, y = asint,

0£t£2p, atau r(t) = acosti + asint j, 0£t£2p.

Titikpangkal L ∫r(0)=(a,0) dantitikujungL ∫ r(2p)

=(a,0), sehingga L adalah lintasan tutup. Karena L

di-jalani tepat satu kali kecuali titik (a,0), maka L adalah

lintasan tutup sederhana. Dari x=acost dan y=asint

diperoleh persamaan lingkaran x2+ =y2 a2.

Lintasan tidak tutup dan tidak sederhana Q

P

Lintasan tidak tutup dan sederhana Q

P

Lintasan tutup dan tidak sederhana

Lintasan tutup dan sederhana

Kurva bidang Persamaan kartesis Persamaan parameter

Elips x22 y22 1

a + b = x=acost, y=bsint,0£t£2p

Hiperbol x22 y22 1

a - b = , x > 0

x=asect, y=btant, -12p < <t 12p x=acosht, y=bsinht, -•<t<•

Keterdiferensialan fungsi parameter Jika x = x(t), y = y(t), t ΠI

mem-punyai turunan pertama yang kontinu dan x¢(t) π 0 pada selang buka I,

maka y adalah fungsi terdiferensialkan terhadap x dengan /

/

¾ Gambar iniadalahrodalingkaranyangberpusatdiCdanberjari-jari a

digelindingkan sepanjang sb-x dengan jejak titik P mulai dari (0,0).

¾ Pilih parameter t sudut searah jarum jam antara CP dengan posisi

ver-tikalnya saat P di titik O. Karena ON =PN=at, maka x dan y adalah

Luas daerah di bawah satu busur sikloid dan di atas sb-x adalah

Fungsi Parameter di Bidang dan Ruang

Fungsi parameter di bidang adalah r( )t = x t( )i+ y t( ) ,j a £ £t b dan di

ruang adalah r( )t = x t( )i+ y t( )j+ z t( ) ,k a £ £t b . Fungsi parameter ini

bernilai vektor dengan peubah skalar.

Fungsi ini memuat informasi titik pangkal, titik ujung, arah, dan berapa

kalikurvadijalani;arahnya terbalikjika tdigantidengan (-t). (kekuatan)

Suatu kurva dapat ditulis sebagai fungsi parameter dengan lebih dari

Contoh Tentukan persamaan parameter dari y= -4x x2, 0£ £x 4, arah, titik pangkal, titik ujung, gambarkan kurva, dan arah terbalik dari kurva.

y

Contoh Tentukan persamaan parameter garis di ruang dengan vektor

a-rah bπ0 dan vektor penyangga a. Tentukan juga persamaan kartesisnya.

z

Contoh Tentukan persamaan kurva yang merupakan perpotongan dari

Limit fungsi parameter Untuk fungsi parameter r=r(t),a£t£b dan

(r(t)dapatdibuat sebarangdekatkeLdengan cara membuat t cukup de-kat ke t0 tetapi t π t0)

Sifat limit dan kekontinuan fungsi parameter Untuk fungsi parameter

r= r(t)= x(t)i+y(t)j+z(t)k, a £t£b, a £ t0£ b, dan L = ( ,1 2, 3),

Turunan fungsi parameter Turunan fungsi parameter

z

Sifat turunan fungsi parameter Turunan dari fungsi parameter r=r(t)

=x(t)i+y(t)j+z(t)k,a£t£b adalah r¢( )t = x t¢( )i+ y t¢( )j+ z t¢( )k.

Jika fungsi r=r(t)dan s=s(t) terdiferensialkan di tŒ[a,b], maka

¾ (r + s)¢(t)= r¢(t) + s¢(t) ¾(r∑s)¢(t) = r(t)∑s¢(t) + r¢(t)∑s(t)

sepan-Contoh Hitunglah

¾ KarenatitikAtercapaipada saatt= p,makapersamaangarissinggung di

A pada kurva C adalah s(t) = r(p) + tr¢(p) = (-1,0,p) + t(0,-1,1).

¾ Untuk menentukan persamaan kartesisnya, misalkan s(t) = (x,y,z), maka

x = -1, y = -t, dan z = p + t. Eliminasi t menghasilkan -y = z - p. Jadi

persamaan kartesis garis singgungnya adalah x = -1 dan y = p - z.

Contoh Suatu partikel bergerak dengan r(t)=costi+sintj+etk, tΠ. Tentukan sudut antara vektor kecepatan dan percepatannya pada saat 0.

¾ Vektor kecepatan partikel ∫ v(t)=r¢(t)=-sinti + costj + etk, sehingga

Contoh Hitunglah panjang busur (keliling) lingkaran berjari-jari a > 0.

Tulislah lingkarannya dalam bentuk C: r(t)=acosti+asintj,0£t£2p.

Karena ||r

¢

0 0

keliling || ( )|| 2 .

Contoh Jika r(t)=sinti+sin2tj+sin3tk, hitunglah

Ú

Contoh Hitunglah panjang busur heliks lingkaran

C: r(t)=acosti+asintj+btk,0£t£2p.

Sebutir peluru ditembakkan dari titik asal O dengan

laju awal v0 m/det dan –(peluru,sb-x positif) = q.

Ji-sehinggayfungsikuadratdalamxdanlintasanpelurunyaadalahparabol.