Ini pembahasan soal kamu ya dek, jika ada yang kurang jelas silahkan ditanyakan, mohon berikan penilaian bintang 5 dengan cara mengklik tombol "penilaian" di sudut kanan-atas ya 😉 Show
Page 2Ayo Kita Amati Dengan menggunakan kebalikan dari teorema Pythagoras, kita bisa menguji apakah segitiga yang telah diketahui panjang ketiga sisinya merupakan segitiga siku-siku atau bukan segitiga siku-siku. Selain itu, kita juga bisa menentukan segitiga lancip atau segitiga tumpul dengan menggunakan kebalikan dari teorema Pythagoras. Lakukan kegiatan berikut untuk menentukan jenis segitiga jika panjang sisi-sisinya sudah diketahui. 1. Sediakan lidi dan potong menjadi berbagai ukuran, antara lain 6 cm, 8 cm, 10 cm, 12 cm, dan 13 cm. 2. Ambil tiga lidi dengan panjang masing-masing 6 cm, 8 cm, dan 10 cm. 3. Buatlah segitiga dari ketiga lidi tersebut dan tempelkan di atas kertas. 4. Amati segitiga yang terbentuk dari ketiga lidi. Jenis segitiga apakah yang dapat kalian lihat? 5. Lakukan langkah nomor 2 dan 4 untuk tiga lidi yang berukuran 8 cm, 12 cm, dan 13 cm. 6. Lakukan langkah nomor 2 dan 4 untuk tiga lidi yang berukuran 6 cm, 8 cm, dan 12 cm. Ayo Kita Menanya ? ? Berdasarkan ketiga segitiga yang telah kalian buat, buatlah pertanyaan terkait dengan hubungan panjang ketiga sisi segitiga. Misalnya, bagaimanakah hubungan panjang ketiga sisi pada segitiga pertama? Bagaimanakah hubungan panjang ketiga sisi pada segitiga kedua?
Setelah mempelajari teorema Pythagoras
dan kebalikan dari teorema tersebut, lantas bagaimana jika kita diberikan
ukuran panjang tiga sisi suatu segitiga namun tidak memenuhi persamaan dari
teorema Pythagoras? Termasuk jenis segitiga yang bagaimana? Apakah teorema
Pythagoras bisa berlaku untuk semua jenis segitiga? Dengan menggunakan
kebalikan dari teorema Pythagoras, kita bisa menguji apakah segitiga yang telah
diketahui panjang ketiga sisinya merupakan segitiga siku-siku atau bukan
segitiga siku-siku. Selain itu, kita juga bisa menentukan segitiga lancip atau
segitiga tumpul dengan menggunakan kebalikan dari teorema Pythagoras. Lakukan
kegiatan berikut untuk menentukan jenis segitiga jika panjang sisi-sisinya
sudah diketahui. 1. Sediakan lidi dan potong menjadi berbagai ukuran, antara lain 6 cm, 8 cm,10 cm, 12 cm, dan 13 cm. 2. Ambil tiga lidi dengan panjang masing-masing 6 cm, 8 cm, dan 10 cm. 3. Buatlah segitiga dari ketiga lidi tersebut dan tempelkan di atas kertas. 4. Amati segitiga yang terbentuk dari ketiga lidi. Jenis segitiga apakah yang dapat kalian lihat? 5. Lakukan langkah nomor 2 dan 4 untuk tiga lidi yang berukuran 8 cm, 12 cm, dan 13 cm. 6. Lakukan langkah nomor 2 dan 4 untuk tiga lidi yang berukuran 6 cm, 8 cm, dan 12 cm. Untuk Segitiga ACB dengan panjang sisi-sisinya a,b, dan c:
Page 2Home Beranda Profil Galeri Matematika Umum ▼ Syarat panjang sisi segitiga yaitu panjang sisi terpanjang lebih kecil dari jumlah panjang kedua sisi lainnya, maka ukuran segitiga yang mungkin terbentuk adalah Untuk segitiga dengan ukuran . Perhatikan bahwa Karena , maka berdasarkan teorema Pythagoras segitiga tersebut lancip.
Karena , maka maka berdasarkan teorema Pythagoras segitiga tersebut tumpul. Jadi segitiga yang terbentuk adalah sebuah segitiga lancip dan sebuah segitiga tumpul Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah D. Video yang berhubungan
c = √(a2 + b2) Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang penerapan teorema phytagoras untuk mencari salah satu sisi segitiga siku-siku jika kedua sisinya sudah diketahui, silahkan simak contoh soal di bawah ini. Apakah panjang semua sisi segitiga sama? Segitiga sama sisi merupakan sebuah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Bahkan tiga sudut internal kongruen masing-masing memiliki sudut 60°, atau biasa disebut equiangular. Secara gampangnya, sifat dari segitiga sama sisi adalah sebagai berikut ini. Ketiga buah sisinya sama panjang. Bagaimanakah cara kalian menentukan panjang sisi sisi yang belum diketahui? Untuk menentukan sisi yang belom diketahui, dapat menggunakan teorema pythagoras. Pythagoras menyatakan bahwa : “Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisi miring (Hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya.” Berapakah sisi dari segi tiga?Segitiga adalah bangun geometri yang dibentuk oleh tiga buah ruas garis melalui tiga buah titik tidak kolinier yang setiap sepasangnya berpotongan di satu titik. Sehingga dalam sebuah segitiga terdapat tiga buah sisi yang berbentuk ruas garis-ruas garis. Apa rumus panjang persegi? Rumus Persegi Panjang
Bagaimana panjang sisi pada segitiga sembarang? Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya berbeda panjangnya dan ketiga sudutnya berbeda besarnya. Menurut definisi, segitiga sembarang mempunyai ciri yaitu : Panjang ketiga sisi a, b, c saling tidak sama. Tidak memiliki simetri lipat, artinya tidak ada sumbu simetri. Berapa jumlah sisi segitiga sama kaki?Segitiga sama kaki adalah segitiga yang paling sedikit terdapat dua sisi yang saling sama panjang (kongruen). Pada segitiga sama kaki, dua sisinya sama panjang. Berapa sudut dan sisi segitiga sama sisi? Ketiga Sudut Sama Besar Sehingga jumlah sudut dalam segitiga sama sisi adalah 3 x 60º, yaitu 180º derajat. Manakah yang merupakan perbandingan sudut segitiga siku-siku sama kaki? Dari media diatas dapatkah kalian simpulkan bahwa perbandingan sisi dari segitiga siku-siku sama kaki adalah 1:1:√2. Apa itu sisi segitiga?Segitiga adalah bangun datar yang memiliki tiga sisi, tiga titik sudut dan tiga sudut. Titik A,B, dan C disebut sebagai titik sudut. Garis AB, BC, dan CA disebut sebagai sisi segitiga. Macam-macam segitiga dapat dilihat dari panjang sisi dan sudut yang dibentuk oleh segitiga. Segitiga siku siku memiliki sisi dan sudut berapa? Segitiga siku siku memiliki dua sisi yang saling tegak lurus. Segitiga siku siku memiliki satu sisi miring dan salah satu sudutnya adalah sudut siku siku atau 90°. Apa rumus keliling persegi? Jadi, rumus keliling persegi panjang adalah K = 2(p + l). Apakah tiga panjang sisi dapat membentuk segitiga?Menentukan apakah tiga panjang sisi dapat membentuk segitiga itu lebih mudah dari kelihatannya. Yang harus Anda lakukan hanyalah menggunakan Teorema Pertidaksamaan Segitiga, yang menyatakan bahwa hasil penjumlahan dari dua panjang sisi sebuah segitiga selalu lebih besar dari sisi ketiganya. Bagaimana cara mencari panjang sisi? Dengan rumus-rumus trigonometri diatas kita dapat mencari panjang sisi, besar sudutnya dan nilai dari sin, cos, dan tan. 1. Perhatikan gambar segitiga berikut, jika diketahui panjang sisi BC = 3 cm dan besar sudut A=30°, berapakah panjang sisi AB dan AC? Berapa panjang sisi miring dari segitiga siku-siku? Contoh soal: Jika sisi miring dari segitiga siku-siku adalah 40 cm dan salah satu sisi tegak lurusnya adalah 32 cm, maka hitunglah panjang sisi segitiga yang satunya lagi. c = 40 cm, b = 32 cm. Bagaimana cara untuk mencari luas segitiga?Cara yang paling sering digunakan untuk mencari luas segitiga adalah membagi hasil perkalian alas dan tingginya menjadi dua. Tidak heran jika pengembangannya terus dilakukan di seluruh dunia demi mendapat kemudahan. Dengan kata lain dalam segitiga tersebut terdapat sisi yang didepannya belum diketahui sudutnya. Perhatikan segitiga dibawah ini. https://www.youtube.com/watch?v=7ljwJ7SbC4g Sebuah segitiga adalah poligon dengan tiga ujung dan tiga simpul. Ini adalah salah satu bentuk dasar dalam geometri. Segitiga dengan simpul A, B, dan C dilambangkan
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
.
Dalam geometri Euclidean, setiap tiga titik, ketika non-collinear, menentukan segitiga unik dan sekaligus, sebuah bidang unik (yaitu ruang Euclidean dua dimensi). Dengan kata lain, hanya ada satu bidang yang mengandung segitiga itu, dan setiap segitiga terkandung dalam beberapa bidang. Jika seluruh geometri hanya bidang Euclidean, hanya ada satu bidang dan semua segitiga terkandung di dalamnya; namun, dalam ruang Euclidean berdimensi lebih tinggi, ini tidak lagi benar. Artikel ini adalah tentang segitiga dalam geometri Euclidean, dan khususnya, bidang Euclidean, kecuali jika disebutkan sebaliknya. Diagram euler dari jenis segitiga, menggunakan definisi bahwa segitiga sama kaki memiliki setidaknya 2 sisi yang sama (mis., Segitiga sama sisi sama kaki). Segitiga dapat diklasifikasikan menurut panjang sisinya:
Dari sudut internalSegitiga juga dapat diklasifikasikan menurut sudut internalnya, diukur dalam derajat.
Dengan gabungan dua sudut
Sebuah segitiga, menunjukkan sudut eksterior d. Segitiga diasumsikan sebagai figur bidang dua dimensi, kecuali jika konteksnya menentukan sebaliknya (lihat Segitiga non-planar, di bawah). Dalam teori yang ketat, segitiga karenanya disebut 2-simpleks (lihat juga Polytope). Fakta-fakta dasar tentang segitiga disajikan oleh Euclid dalam buku 1-4 dari buku Elements, sekitar 300 SM. Ukuran sudut interior segitiga selalu bertambah hingga 180 derajat (warna yang sama untuk menunjukkan bahwa mereka sama). Jumlah ukuran sudut interior segitiga di ruang Euclidean selalu 180 derajat.[4] Fakta ini setara dengan dalil paralel Euclid. Ini memungkinkan penentuan ukuran sudut ketiga dari segitiga mana pun yang diberi ukuran dua sudut. Sudut eksterior segitiga adalah sudut yang merupakan pasangan linier (dan karena supplemen) ke sudut interior. Ukuran sudut eksterior segitiga sama dengan jumlah ukuran dua sudut interior yang tidak berdekatan dengannya; ini adalah teorema sudut eksterior. Jumlah langkah-langkah dari tiga sudut eksterior (satu untuk setiap titik) dari setiap segitiga adalah 360 derajat.[note 1] Segitiga sama kakiTeorema Pythagoras Teorema sentral adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan dalam segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat dari panjang kedua sisi lainnya. Jika sisi miring mempunyai panjang c, dan kaki panjang a dan b, maka teorema menyatakan itu a 2 + b 2 = c 2 . {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}Kebalikannya benar: jika panjang sisi-sisi segitiga memenuhi persamaan di atas, maka segitiga memiliki sudut kanan berlawanan sisi c. Beberapa fakta lain tentang segitiga siku-siku:
Untuk semua segitiga, sudut dan sisi terkait oleh hukum cosinus dan hukum sinus (juga disebut aturan cosinus dan aturan sinus). Ketidaksetaraan segitiga menyatakan bahwa jumlah panjang dari setiap dua sisi segitiga harus lebih besar dari atau sama dengan panjang sisi ketiga. Jumlah itu bisa sama dengan panjang sisi ketiga hanya dalam kasus segitiga degenerasi, satu dengan simpul collinear. Tidak mungkin jumlah itu kurang dari panjang sisi ketiga. Sebuah segitiga dengan tiga panjang sisi positif yang diberikan ada jika dan hanya jika panjang sisi tersebut memenuhi ketimpangan segitiga. Kondisi di sudutTiga sudut yang diberikan membentuk segitiga non-degenerasi (dan memang merupakan ketidakterbatasannya) jika dan hanya jika kedua kondisi ini berlaku: (a) masing-masing sudutnya positif, dan (b) sudut-sudutnya berjumlah 180°. Jika segitiga degenerasi diizinkan, sudut 0° diizinkan. Kondisi trigonometriTiga sudut positif α, β, dan γ, masing-masing kurang dari 180°, adalah sudut segitiga jika dan hanya jika salah satu dari kondisi berikut berlaku: tan α 2 tan β 2 + tan β 2 tan γ 2 + tan γ 2 tan α 2 = 1 , {\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}=1,} [5] sin 2 α 2 + sin 2 β 2 + sin 2 γ 2 + 2 sin α 2 sin β 2 sin γ 2 = 1 , {\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+2\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=1,} [5] sin ( 2 α ) + sin ( 2 β ) + sin ( 2 γ ) = 4 sin ( α ) sin ( β ) sin ( γ ) , {\displaystyle \sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma ),} cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) = 1 , {\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )=1,} [6] tan ( α ) + tan ( β ) + tan ( γ ) = tan ( α ) tan ( β ) tan ( γ ) , {\displaystyle \tan(\alpha )+\tan(\beta )+\tan(\gamma )=\tan(\alpha )\tan(\beta )\tan(\gamma ),}persamaan terakhir berlaku hanya jika tidak ada sudut adalah 90 ° (sehingga nilai fungsi tangen selalu terbatas). Perumusannya sebagai berikut: r a = L s − a {\displaystyle r_{a}={\frac {L}{s-a}}\,} r b = L s − b {\displaystyle r_{b}={\frac {L}{s-b}}\,} r c = L s − c {\displaystyle r_{c}={\frac {L}{s-c}}\,}Pembuktian untuk Ra sebagai berikut: Dahulukan mencari nilai p: A D 2 + D O 2 = O F 2 + F A 2 {\displaystyle {AD}^{2}+{DO}^{2}={OF}^{2}+{FA}^{2}\,} ( c + p ) 2 + r a 2 = r a 2 + ( b + ( a − p ) ) 2 {\displaystyle (c+p)^{2}+r_{a}^{2}=r_{a}^{2}+(b+(a-p))^{2}\,} c + p = b + a − p {\displaystyle c+p=b+a-p\,} 2 p = a + b − c {\displaystyle 2p=a+b-c\,} p = a + b − c 2 {\displaystyle p={\frac {a+b-c}{2}}\,} p = a + b + c 2 − c {\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}-c\,} p = s − c {\displaystyle p=s-c\,}lalu kesamaan luas ADOF sebagai berikut: L A D O + L A F O = L A B C + L B D O E + L C F O E {\displaystyle L_{ADO}+L_{AFO}=L_{ABC}+L_{BDOE}+L_{CFOE}\,} 2. r a . ( c + p ) 2 = L A B C + 2. r a . p 2 + 2. r a . ( a − p ) 2 {\displaystyle 2.{\frac {r_{a}.(c+p)}{2}}=L_{ABC}+2.{\frac {r_{a}.p}{2}}+2.{\frac {r_{a}.(a-p)}{2}}\,} r a . ( c + p ) = L A B C + r a . p + r a . ( a − p ) {\displaystyle r_{a}.(c+p)=L_{ABC}+r_{a}.p+r_{a}.(a-p)\,} r a . ( c + s − c ) = L A B C + r a . ( s − c ) + r a . ( a − ( s − c ) ) {\displaystyle r_{a}.(c+s-c)=L_{ABC}+r_{a}.(s-c)+r_{a}.(a-(s-c))\,} r a . s = L A B C + r a . ( s − c ) + r a . a − r a . ( s − c ) {\displaystyle r_{a}.s=L_{ABC}+r_{a}.(s-c)+r_{a}.a-r_{a}.(s-c)\,} r a . s = L A B C + r a . a {\displaystyle r_{a}.s=L_{ABC}+r_{a}.a\,} r a . s − r a . a = L A B C {\displaystyle r_{a}.s-r_{a}.a=L_{ABC}\,} r a . ( s − a ) = L {\displaystyle r_{a}.(s-a)=L\,} r a = L s − a {\displaystyle r_{a}={\frac {L}{s-a}}\,}Perumusan lingkaran dalam segitiga sebagai berikut: r = L s {\displaystyle r={\frac {L}{s}}\,}Pembuktian sebagai berikut: L = r a 2 + r b 2 + r c 2 {\displaystyle L={\frac {ra}{2}}+{\frac {rb}{2}}+{\frac {rc}{2}}\,} L = r ( a + b + c ) 2 {\displaystyle L={\frac {r(a+b+c)}{2}}\,} L = r s {\displaystyle L=rs\,} r = L s {\displaystyle r={\frac {L}{s}}\,}Perumusan lingkaran luar segitiga sebagai berikut: r = a b c 4 L {\displaystyle r={\frac {abc}{4L}}\,}Pembuktian sebagai berikut:
dimana s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}\,}
Derivasi grafik dari rumus T = h 2 b {\displaystyle T={\frac {h}{2}}b} yang menghindari prosedur biasa menggandakan area segitiga dan kemudian membagi dua. Menghitung luas T dari segitiga adalah masalah elementer yang sering dijumpai dalam berbagai situasi. Formula paling dikenal dan paling sederhana adalah: T = 1 2 b h , {\displaystyle T={\frac {1}{2}}bh,}di mana b adalah panjang dasar segitiga, dan h adalah tinggi atau ketinggian segitiga. Istilah "alas" menunjukkan sisi mana pun, dan "tinggi" menunjukkan panjang tegak lurus dari puncak yang berlawanan dengan alas ke garis yang berisi alas. Pada 499 M Aryabhata, menggunakan metode ilustrasi ini dalam Aryabhatiya (bagian 2.6).[7] Meskipun sederhana, formula ini hanya berguna jika ketinggiannya dapat dengan mudah ditemukan, yang tidak selalu terjadi. Misalnya, surveyor bidang segitiga mungkin merasa relatif mudah untuk mengukur panjang masing-masing sisi, tetapi relatif sulit untuk membangun 'ketinggian'. Berbagai metode dapat digunakan dalam praktik, tergantung pada apa yang diketahui tentang segitiga. Berikut ini adalah pilihan rumus yang sering digunakan untuk luas segitiga.[8] Menggunakan trigonometri
Ketinggian segitiga dapat ditemukan melalui aplikasi trigonometri. Mengenal SAS: Menggunakan label pada gambar di sebelah kanan, ketinggiannya h = a sin γ {\displaystyle \gamma } . Mengganti ini dalam formula T = 1 2 b h {\displaystyle T={\frac {1}{2}}bh} diturunkan di atas, luas segitiga dapat dinyatakan sebagai: T = 1 2 a b sin γ = 1 2 b c sin α = 1 2 c a sin β {\displaystyle T={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ca\sin \beta }(di mana α adalah sudut interior di A, β adalah sudut interior di B, γ {\displaystyle \gamma } adalah sudut interior di C dan c adalah garis AB). Seterusnya, sejak sin α = sin (π − α) = sin (β + γ {\displaystyle \gamma } ), dan juga untuk dua sudut lainnya: T = 1 2 a b sin ( α + β ) = 1 2 b c sin ( β + γ ) = 1 2 c a sin ( γ + α ) . {\displaystyle T={\frac {1}{2}}ab\sin(\alpha +\beta )={\frac {1}{2}}bc\sin(\beta +\gamma )={\frac {1}{2}}ca\sin(\gamma +\alpha ).}Mengetahui AAS: T = b 2 ( sin α ) ( sin ( α + β ) ) 2 sin β , {\displaystyle T={\frac {b^{2}(\sin \alpha )(\sin(\alpha +\beta ))}{2\sin \beta }},}dan secara analogis jika sisi yang diketahui adalah a atau c. Mengetahui ASA:[9] T = a 2 2 ( cot β + cot γ ) = a 2 ( sin β ) ( sin γ ) 2 sin ( β + γ ) , {\displaystyle T={\frac {a^{2}}{2(\cot \beta +\cot \gamma )}}={\frac {a^{2}(\sin \beta )(\sin \gamma )}{2\sin(\beta +\gamma )}},}dan secara analogis jika sisi yang diketahui adalah b atau c. Menggunakan rumus HeronBentuk segitiga ditentukan oleh panjang sisi. Oleh karena itu, area tersebut juga dapat diturunkan dari panjang sisi. Dengan rumus Heron: T = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle T={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}yang dimana s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}}} adalah semiperimeter, atau setengah dari perimeter segitiga. Tiga cara lain yang setara untuk menulis rumus Heron adalah T = 1 4 ( a + b + c ) ( − a + b + c ) ( a − b + c ) ( a + b − c ) {\displaystyle T={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}} T = 1 4 2 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle T={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}} T = 1 4 ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle T={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}Ada berbagai metode standar untuk menghitung panjang sisi atau ukuran sudut. Metode tertentu cocok untuk menghitung nilai dalam segitiga siku-siku; metode yang lebih kompleks mungkin diperlukan dalam situasi lain. Rasio trigonometri dalam segitiga siku-sikuSegitiga kanan selalu mencakup sudut 90° (π/2 radian), di sini dengan label C. Sudut A dan B dapat bervariasi. Fungsi trigonometri menentukan hubungan antara panjang sisi dan sudut interior segitiga siku-siku. Dalam segitiga siku-siku, rasio trigonometri sinus, kosinus dan garis singgung dapat digunakan untuk menemukan sudut yang tidak diketahui dan panjang sisi yang tidak diketahui. Sisi-sisi segitiga dikenal sebagai berikut:
Sinus, kosinus dan garis singgungSudut sinus adalah perbandingan antara panjang sisi yang berlawanan dengan panjang sisi miring. Dalam kasus kami sin A = sisi yang berlawanan hipotenusa = a h . {\displaystyle \sin A={\frac {\text{sisi yang berlawanan}}{\text{hipotenusa}}}={\frac {a}{h}}\,.}Rasio ini tidak tergantung pada segitiga siku-siku tertentu yang dipilih, asalkan mengandung sudut A, karena semua segitiga itu sama. Cosinus dari sudut adalah perbandingan panjang sisi adjacent dengan panjang sisi miring. Dalam kasus kami cos A = sisi adjacent hipotenusa = b h . {\displaystyle \cos A={\frac {\text{sisi adjacent}}{\text{hipotenusa}}}={\frac {b}{h}}\,.}Garis singgung dari sudut adalah perbandingan panjang sisi yang berlawanan dengan panjang sisi adjacent. Dalam kasus kami tan A = sisi adjacent sisi yang berlawanan = a b = sin A cos A . {\displaystyle \tan A={\frac {\text{sisi adjacent}}{\text{sisi yang berlawanan}}}={\frac {a}{b}}={\frac {\sin A}{\cos A}}\,.}Singkatan "SOH-CAH-TOA" adalah mnemonik yang berguna untuk rasio ini. Fungsi inversFungsi trigonometri terbalik dapat digunakan untuk menghitung sudut internal untuk segitiga siku kanan dengan panjang dua sisi. Arcsin dapat digunakan untuk menghitung sudut dari panjang sisi yang berlawanan dan panjang sisi miring. θ = arcsin ( sisi yang berlawanan hipotenusa ) {\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{sisi yang berlawanan}}{\text{hipotenusa}}}\right)}Arccos dapat digunakan untuk menghitung sudut dari panjang sisi adjacent dan panjang sisi miring. θ = arccos ( sisi adjacent hipotenusa ) {\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\text{sisi adjacent}}{\text{hipotenusa}}}\right)}Arctan dapat digunakan untuk menghitung sudut dari panjang sisi yang berlawanan dan panjang dari sisi adjacent. θ = arctan ( sisi adjacent sisi yang berlawanan ) {\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{sisi adjacent}}{\text{sisi yang berlawanan}}}\right)}Dalam kursus pengantar geometri dan trigonometri, notasi sin−1, cos−1, etc., sering digunakan sebagai pengganti arcsin, arccos, dll. Namun, notasi arcsin, arccos, dll., adalah standar dalam matematika yang lebih tinggi di mana fungsi trigonometrik umumnya dinaikkan menjadi kekuatan, karena ini menghindari kebingungan antara invers multiplikatif dan invers komposisi. Aturan sinus, kosinus, dan garis singgungSegitiga dengan sisi panjang a, b dan c dan sudut α, β dan γ masing-masing. Hukum sinus, atau aturan sinus,[10] menyatakan bahwa rasio panjang sisi ke sinus sudut berlawanan yang sesuai adalah konstan, yaitu a sin α = b sin β = c sin γ . {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.}Rasio ini sama dengan diameter lingkaran yang dibatasi dari segitiga yang diberikan. Interpretasi lain dari teorema ini adalah bahwa setiap segitiga dengan sudut α, β dan γ mirip dengan segitiga dengan panjang sisi sama dengan sin α, sin β dan sin γ. Segitiga ini dapat dibangun dengan terlebih dahulu membangun lingkaran dengan diameter 1, dan menuliskan di dalamnya dua sudut segitiga. Panjang sisi-sisi segitiga itu adalah sin α, sin β dan sin γ. Sisi yang panjangnya adalah sin α berlawanan dengan sudut yang ukurannya adalah α, dll. Hukum cosinus, atau aturan cosinus, menghubungkan panjang sisi segitiga yang tidak diketahui dengan panjang sisi lainnya dan sudut yang berlawanan dengan sisi yang tidak diketahui.[10] Sesuai hukum: Untuk segitiga dengan panjang sisi a, b, c dan sudut α, β, γ masing-masing, diberikan dua panjang segitiga a dan b yang diketahui, dan sudut antara kedua sisi yang diketahui γ (atau sudut yang berlawanan dengan yang tidak diketahui) sisi c), untuk menghitung sisi ketiga c, rumus berikut dapat digunakan: c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ( γ ) {\displaystyle c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )} b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos ( β ) {\displaystyle b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta )} a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos ( α ) {\displaystyle a^{2}\ =b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )}Jika panjang dari ketiga sisi segitiga diketahui, tiga sudut dapat dihitung: α = arccos ( b 2 + c 2 − a 2 2 b c ) {\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)} β = arccos ( a 2 + c 2 − b 2 2 a c ) {\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right)} γ = arccos ( a 2 + b 2 − c 2 2 a b ) {\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)}Hukum garis singgung, atau aturan garis singgung, dapat digunakan untuk menemukan sisi atau sudut ketika dua sisi dan sudut atau dua sudut dan sisi diketahui. Ini menyatakan bahwa:[11] a − b a + b = tan [ 1 2 ( α − β ) ] tan [ 1 2 ( α + β ) ] . {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.}Solusi segitigaSolusi segitiga adalah masalah trigonometri utama: untuk menemukan karakteristik segitiga yang hilang (tiga sudut, panjang tiga sisi, dll.) Ketika setidaknya tiga dari karakteristik ini diberikan. Segitiga dapat terletak di pesawat atau di bola. Masalah ini sering terjadi pada berbagai aplikasi trigonometri, seperti geodesi, astronomi, konstruksi, navigasi, dll. Pengukuran sudut terbagi menjadi tiga jenis yakni:
JarakPengukuran sudut terbagi menjadi enam jenis yakni:
|