Contoh perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

Blog Koma - Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku merupakan salah satu cara dalam mendeskripsikan nilai perbandingan trigonometri. Perbandingan trigonometri ada beberapa jenis yaitu sin, cos, tan, secan (sec), cossec (csc), dan cotangen (cot). Karena perbandingan trigonometri melibatkan sudut-sudut, silahkan juga baca materi "Ukuran Sudut : Derajat, Radian, dan Putaran".

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

Table of Contents Show

Contoh soal 1: Menentukan perbandingan trigonometri
Contoh soal 2: Menentukan panjang sisi segitiga
Video yang berhubungan

Perhatikan segitiga siku-siku berikut,

Berikut Perbandingan Trigonometrinya : *). $ \sin A = \frac{sisi depan}{sisi miring} = \frac{de}{mi} = \frac{BC}{BA} = \frac{a}{c} $ *). $ \cos A = \frac{sisi samping}{sisi miring} = \frac{sa}{mi} = \frac{CA}{BA} = \frac{b}{c} $ *). $ \tan A = \frac{sisi depan}{sisi samping} = \frac{de}{sa} = \frac{BC}{CA} = \frac{a}{b} $ *). $ \sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b} $ *). $ \csc A = \frac{1}{\sin A} = \frac{1}{\frac{a}{c}} = \frac{c}{a} $ *). $ \cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a} $ *). $ \tan A = \frac{a}{b} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{\sin A }{\cos A } \rightarrow \tan A = \frac{\sin A }{\cos A } $

*). $ \cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{1}{\frac{\sin A }{\cos A }} = \frac{\cos A}{\sin A } \rightarrow \cot A = \frac{\cos A}{\sin A } $

Contoh :
1). Diberikan segitiga siku-siku ABC, siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = 3 satuan, BC = 4 satuan, tentukanlah sin A, cos C, dan tan A. ? Penyelesaian : *). Deskripsi gambarnya, Untuk segitiga di bawah ini, dengan Teorema Phytagoras diperoleh panjang sisi AC = 5 satuan.

*). Menentukan nilai perbandingan trigonometrinya $ \begin{align} \sin A & = \frac{de}{mi} = \frac{BC}{CA} = \frac{4}{5} \\ \cos A & = \frac{sa}{mi} = \frac{AB}{CA} = \frac{3}{5} \\ \tan A & = \frac{de}{sa} = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{3} \end{align} $ 2). Di bawah ini diberikan tiga segitiga siku-siku, diketahui $ \cos \theta = \frac{3}{5} $ . Tentukanlah nilai $ x $. ?

Penyelesaian : a). Dari gambar (a), $ \begin{align} \cos \theta & = \frac{sa}{mi} \\ \cos \theta & = \frac{x}{8} \\ \frac{3}{5} & = \frac{x}{8} \\ x & = \frac{24}{5} \end{align} $ b). Menentukan nilai $ sin \theta $ pada segitiga gambar (b). diketahui nilai $ \cos \theta = \frac{3}{5} = \frac{sa}{mi} , \, $ berdasarkan pythagoras, diperoleh nilai depannya yaitu 4, sehingga nilai $ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{4}{5} $ *). Menentukan nilai $ x $. $ \begin{align} \sin \theta & = \frac{de}{mi} \\ \sin \theta & = \frac{x}{4} \\ \frac{4}{5} & = \frac{x}{4} \\ x & = \frac{16}{5} \end{align} $ 3). Diketahui $ \sin x + \cos x = 3 \, $ dan $ \tan x = 2 $ , tentukanlah nilai $\sin x $ dan $ \cos x $! Penyelesaian : *). Bentuk : $ \tan x = 2 \rightarrow \frac{\sin x }{\cos x} = 2 \rightarrow \sin x = 2\cos x $ *). Substitusi $ \sin x = 2\cos x $ ke persamaan $ \sin x + \cos x = 3 $ $ \begin{align} \sin x = 2\cos x \rightarrow \sin x + \cos x & = 3 \\ 2\cos x + \cos x & = 3 \\ 3\cos x & = 3 \\ \cos x & = 1 \end{align} $ Sehingga nilai $ \sin x = 2\cos x = 2 . 1 = 2 $ Jadi, diperoleh nilai $ \sin x = 2 \, $ dan $ \cos x = 1 $

Identitas Trigonometri

Perhatikan segitiga siku-siku berikut,

Perbandingan trigonometri yang berlaku adalah : $ \sin A = \frac{y}{r}, \, \cos A = \frac{x}{r}, \, \tan A = \frac{y}{x}, $ $ \sec A = \frac{r}{x}, \, \csc A = \frac{r}{y}, \, \cot A = \frac{x}{y} $ Dari segitiga siku-siku di atas, berlaku teorema pythagoras, yaitu : $ x^2 + y^2 = r^2 \, $ ...........pers(i) *). pers(i) dibagi dengan $ r^2 $ $ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ \frac{x^2}{r^2} + \frac{y^2}{r^2} & = \frac{r^2}{r^2} \\ \left( \frac{x}{r} \right)^2 + \left( \frac{y}{r} \right)^2 & = 1 \\ \left( \cos A \right)^2 + \left( \sin A \right)^2 & = 1 \\ \cos ^2 A + \sin ^2 A & = 1 \end{align} $

Persamaan $ \cos ^2 A + \sin ^2 A = 1 \, $ inilah yang disebut sebagai identitas trigonometri.

**). pers(i) dibagi dengan $ x^2 $ $ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ \frac{x^2}{x^2} + \frac{y^2}{x^2} & = \frac{r^2}{x^2} \\ 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 & = \left( \frac{r}{x} \right)^2 \\ 1 + \left( \tan A \right)^2 & = \left( \sec A \right)^2 \\ 1 + \tan ^2 A & = \sec ^2 A \end{align} $ **). pers(i) dibagi dengan $ y^2 $ $ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{y^2} & = \frac{r^2}{y^2} \\ \left( \frac{x}{y} \right)^2 + 1 & = \left( \frac{r}{y} \right)^2 \\ \left( \cot A \right)^2 + 1 & = \left( \csc A \right)^2 \\ \cot ^2 A + 1 & = \csc ^2 A \end{align} $ Jadi, diperoleh kumpulan persamaan identitas trigonometri, yaitu :

$ \begin{align} \cos ^2 A + \sin ^2 A & = 1 \\ 1 + \tan ^2 A & = \sec ^2 A \\ \cot ^2 A + 1 & = \csc ^2 A \end{align} $

Contoh : Jika diketahui nilai $ \sin A = x, \, $ tentukan nilai $ \cos A , \, \tan A, \, \sec A, \, $ dan $ \csc A , \, $ dimana sudut A adalah sudut lancip (semua nilai trigonometrinya positif).! Penyelesaian : Sebenarnya ada dua cara untuk menyelesaikan soal ini, yaitu dengan menggambar segitiganya atau dengan menggunakan persamaan identitas trigonometri. Cara I : Menggunakan persamaan identitas trigonometri. Persamaan identitas trigonometri dan diketahui nilai $ \sin A = x $ $ \begin{align} \cos ^2 A + \sin ^2 A & = 1 \\ \cos ^2 A + x^2 & = 1 \\ \cos ^2 A & = 1 - x^2 \\ \cos A & = \sqrt{1-x^2} \end{align} $ *). Sehingga nilai trigonometri yang lainnya : $ \begin{align} \tan A & = \frac{\sin A }{\cos A} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\ \sec A & = \frac{1}{\cos A } = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \csc A & = \frac{1}{\sin A } = \frac{1}{x} \\ \cot A & = \frac{\cos A}{\sin A } = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \end{align} $ Cara II : Menggunakan segitiga siku-siku : *). Diketahui nilai $ \sin A = x \rightarrow \sin A = \frac{de}{mi} = \frac{x}{1} $ Artinya nilai sisi depan $ x \, $ dan sisi miring $ a \, $ , berdasarkan pythagoras diperoleh sisi sampingnya $ \sqrt{1-x^2} $ . *). ilustrasi gambarnya :

*). Menentukan nilai trigonometrinya dari segitiga siku-siku
$ \begin{align} \cos A & = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1} = \sqrt{1-x^2} \\ \tan A & = \frac{de }{sa} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\ \sec A & = \frac{1}{\cos A } = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \csc A & = \frac{1}{\sin A } = \frac{1}{x} \\ \cot A & = \frac{sa}{de } = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \end{align} $

Lihat Foto

Kompas.com/SILMI NURUL UTAMI

Contoh Soal Perbandingan Trigonometri Segitiga Siku-Siku

KOMPAS.com – Untuk mencari panjang sisi atau sudut pada segitiga siku-siku, kita dapat menggunakan perbandingan trigonometri. Ada enam buah perbandingan trigonometri yaitu sinus, cosinus, tangen, cotangen, cosecan, dan juga secan.

Untuk lebih memahami tentang perbandingan trigonometri segitiga siku-siku tersebut, simaklah contoh soal dan pembahasannya di bawah ini!

Contoh soal 1: Menentukan perbandingan trigonometri

Tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk setiap segitiga siku-siku pada gambar berikut ini!

Lihat Foto

Kompas.com/SILMI NURUL UTAMI

Dua segitiga siku-siku

Jawaban:

Dilansir dari Cuemath , nilai perbandingan trigonometri bersandar pada sudut lancip. Sehingga, untuk menentukan perbandingan trigonometrinya, kita harus melihat sudut lancipnya, bukan sudut siku-sikunya.

(I) Perbandingan trigonometri segitiga (I) adalah sebagai berikut:

Sin = sisi depan/sisi miring = b/c
Cos = sisi samping/sisi miring = a/c
Tan = sisi depan/sisi samping = b/a
Cosec = sisi miring/sisi depan = c/b
Sec = sisi miring/sisi samping = c/a
Cot = sisi samping/sisi depan = a/b

(II) Perbandingan trigonometri segitiga (II) adalah sebagai berikut:

Sin = sisi depan/sisi miring = p/r
Cos = sisi samping/sisi miring = q/r
Tan = sisi depan/sisi samping = p/q
Cosec = sisi miring/sisi depan = r/p
Sec = sisi miring/sisi samping = r/q
Cot = sisi samping/sisi depan = q/p

Contoh soal 2: Menentukan panjang sisi segitiga

segitiga siku-siku di B. Jika BC=4cm dan sudut BAC=30 derajat. Maka, panjang sisi AB dan AC adalah …

Jawaban:

Lihat Foto

Kompas.com/SILMI NURUL UTAMI

Segitiga siku-siku

Cara segitiga istimewa

Jika BAC 30 derajat, maka sudut BCA adalah 60 derajat. Dilaporkan dari Khan Academy , segitiga dengan sudut dalam 90º, 60º, dan 30º merupakan segitiga istimewa dengan sisi miring dari sisi terpendeknya dan sisi panjang adalah akar kuadrat dari sisi pendeknya.