Barisan Bilangan | Barisan bilangan merupakan salah satu bentuk cabang ilmu matematika yang merupakan bentuk materi kelanjutan dari pola bilangan yang telah kita pelajari pada pembahasan sebelumnya . Barisan bilangan terdiri atas barisan aritmatika dan barisan geometri . Sebelum mempelajari secara rinci atau secara mendalam , maka kita terlebih dahulu mempeljari pengertian daripada barisan bilangan . Show A. Pengertian Barisan Bilangan Barisan bilangan yaitu suatu daftar bilangan dari sebelah kiri ke kanan yang memiliki pola tertentu . Setiap aggota dari barisan bilangan di sebut dengan suku bilangan atau yang biasa dilambangkan dengan ” U “ Contoh : 3,4,5,6,7,8,9,10, . . . . 1,2,4,8,16,32 ,. . . . B. Macam – macam Barisan Bilangan Barisan bilangan terbagi atas dua macam yaitu :
C. Definisi Barisan Bilangan Aritmatika Dan geometri
Barisan bilangan aritmatika , yaitu barisan yang selisih antar suku yang berdekatan konstan atau barisan aritmatika disebut juga bilangan yang suku selanjutnya merupakan penjumlahan dari suku sebelumnya dengan rasio .
a. Barisan aritmatika berderajat satu Secara umum, barisan aritmatika ditulis sebagai berikut : a , a+b , a+2b , a+3b , a+4b , . . . . U1 = a U2 = a+2b U3 = a+3b U4 = a+ 4b U10= a + 9b Jadi , diperoleh Rumus barisan aritmatika sebagai berikut :
Contoh Soal
Dari barisan bilangan di atas , tentuka : a.) a b.) b Penyelesaian : a.) a = suku pertama maka a = 7 b.) b = U2 – U1 = 13 – 7 b = 6 2. Suatu arisan aritmatika suku ke-3 = 13 dan suku ke -6 = 28 . Tentukan : a.) b b.) a c.) U8 d.) Tulislah enam suku pertama Penyelesaian : Diketahui : U3 = 13 dan U6= 28 Jawab : a. ) U3 = 13 ->> a + 2b = 13 U6 = 28 ->> a + 5b = 28 _ -3b = – 15 b = -15 / -3 b = 5 b.) a + 2b = 13 a + ( 2.5) = 13 a + 10 = 13 a = 3 c.) Un = a + (n-1)b U8 = a + 7b = 3 + 7 . 5 = 38 d.) 3 ,8 , 13 , 18 , 23 , 28 , . . . b. Barisan aritmatika berderajat dua Barisan aritmatika berderajat dua , yaitu barisan aritmatika yang beda atau rasionya tidak tetap dan dan apabila beda tersebut dijadikan barisan maka akan terbentuk rasio yang tetap atau mengalami dua tahap baru diketahui beda atau rasio yang sama atau tetap . Rumus umum barisan aritmatika berderajat dua :
Contoh : 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , .. . . Dari barisan aritmatika diatas , tentukan : a.) Un b.) U20 Penyelesaian :  Barisan di atas merupakan barisan aritmatika berderajat dua , karena dua tahap baru sama rasionya . Misal Un = an2 + bn + c U1 = 1 –> a + b + c = 1 . . . . .(1) U2 = 3 –> 4a + 2b + c = 3 . . . (2) U3 = 6 –> 9a + 3b + c = 6 . . .(3)
4a + 2b + c = 3 a + b + c = 1 _ 3a + b = 2 . . . .( 4 )
9a + 3b + c = 6 4a + 2b + c = 3 _ 5a + b = 3 . . . . ( 5 )
5a + b = 3 3a + b = 2 _ 2a = 1 a = 1/2
3a + b = 2 3.1/2 + b =2 1 1/2 + b = 2 b = 1/2
a + b + c = 1 1/2 + 1/2 + c = 1 1 + c = 1 c = 0
Un = an2 + bn + c = 1/2n2 + 1/2n + 0 = 1/2 n ( n + 1 ) jadi , jawaban nya adalah : a.) Un = 1/2 n ( n + 1 ) b.) U20 = . . .? Un = 1/2 n ( n + 1 ) U20 = 1/2 .20 ( 20 + 1 ) = 10 ( 21 ) = 210 2. Barisan Bilangan Geometri ( perkalian ) Barisan Bilangan Geometri , yaitu suatu barisan bilangan yang suku – sukunya terdiri dari atau terbentuk dari perkalian antara rasio dengan suku sebelumnya . Bentuk umum dari suatu barisan geometri adalah : a , a.r , a.r2 , a.r3 , a.r4 , a.r5 , . . . . . U1 = a U2 = a.r U3 = a.r2 U4 = a.r3 U10 = a.r9 Jadi , Rumus Barisan bilangan Geometri secara umum adalah
Contoh soal :
a.) a dan r b.) U7 c.) Tulislah tujuh suku pertama Penyelesaian : Diketahui : U3 = 18 U6 = 486 Jawab : a.) U3 = 18 –> a.r2 = 18 U6 = 486 –> a.r 5 = 486 U6 / U3 = 486 / 18 —-> a.r 5 / a.r2 = 486 / 18 —–> r3 = 27 r = 3 a.r2 = 18 a. 32 = 18 a = 2 b.) U7 = a.r 6 = 2 .3 6 = 2 . 729 = 1458 c.) tujuh suku pertama yaitu : 2 , 6 , 18 , 54 , 162 , 486 , 1458 , . . . Rumus Suku Tengah Barisan AritmatikaSebagai tambahan informasi saja bahwa didalam Barisan Aritmatika yang mempunyai jumlah yang ganjil, maka diantara Barisan Aritmatika itu terdapat suatu Suku Tengah Barisan Aritmatika. Kemudian didalam Cara Mencari Suku Tengah Barisan Aritmatika tersebut bisa kalian lihat rumusnya seperti dibawah ini :
Demikian , penjelasan mengenai barisan bilangan aritmatika dan geometri . Inti atau kunci dari pembahasan kali ini adalah bahwasannya pertama kali kita kenali bagaimana bntuk barisan aritmatika dan bagaimana bentuk barisan geometri . Setelah faham , maka selanjutnya baru pelajari bagaimana rumus – rumusnya dan apa saja komponen – komponen yang ada di dalamnya. Sesungguhnya , untuk membedakan barisan aritmatika dan geometri sangatlah mudah yaitu apabila antara suku yang satu dengan yang lain merupakan hasil dari pembeda di tambah dengan suku sebelumnya maka bentuk ini disebut dengan barisan bilangan aritmatika. Sebaliknya , apabila suku pada suatu barisan bilangan merupakan hasil kali dari suku sebelumnya dengan pembeda maka bentuk ini disebut dengan barisan bilangan geometri.
-- Guys, coba ingat-ingat deh waktu kamu ulang tahun, kue yang diberikan orang tuamu berbentuk apa? Kalau ulang tahun teman Rogu, kue ulang tahunnya berbentuk lingkaran, nih! Yap, kebetulan kemarin adalah ulang tahun temannya Rogu. Acaranya sangat meriah sekali lho, apalagi saat pemotongan kuenya. Ternyata saat acara pemotongan kue, Rogu tertarik pada pola pemotongan kuenya. Coba perhatikan pola potongan kue di bawah ini!
Pola potongan kue (sumber: shutterstock.com) Sebelum kuenya dipotong, bentuk kuenya masih utuh. Kemudian, setelah potongan pertama bentuk kuenya tinggal ¾. Lalu dipotong lagi menjadi ½. Nah, urutan susunan potongan kue yang teratur tersebut dinamakan pola! Pola tersebut tersusun secara teratur dan tetap. Tahukah kamu kalau pola tersebut termasuk ke dalam materi matematika? Yap, kalau dalam matematika kita mengenalnya dengan pola bilangan. Kira-kira pola selanjutnya untuk pemotongan kue terakhir seperti apa, ya? Yuk, prediksi pola selanjutnya apa! Kamu boleh tulis jawabannya di kolom komentar di bawah, ya. Selanjutnya, kita kenalan dulu yuk dengan jenis-jenis pola bilangan. Check it out! 1. Pola PersegiDilihat dari namanya saja sudah terlihat bahwa pola ini akan membentuk susunan pola persegi. Yap, pola persegi adalah suatu pola yang tersusun dari beberapa bilangan berdasarkan rumus: Coba kamu perhatikan gambar pola di atas. Di dalam bentuk persegi terdapat lingkaran yang mempunyai jumlah yang berbeda-beda. Jumlah lingkaran ini adalah bilangan pola persegi. Di suku pertama terdapat 1 lingkaran yang merupakan suku pertama pola persegi yaitu 1. Di suku kedua terdapat 4 lingkaran yang membentuk bangun persegi. Jumlah lingkaran ini merupakan suku-suku dari pola-pola bilangan persegi tersebut, dan jumlahnya akan bertambah mengikuti rumus pola bilangan persegi. Tetapi bagaimana nih kalau kamu disuruh menentukan suku pola bilangan persegi yang ke-25? Maka dari itu, daripada kamu menghitung jumlah lingkaran yang membentuk bangun persegi, kamu bisa menggunakan rumusnya. Kamu hanya tinggal memasukkan bilangan 25 ke dalam rumus. Jadi misalnya kamu ingin menentukan suku bilangan ke- 25, maka n2 = 252 = 625. Gimana? Lebih simpel, kan? Baca Juga: Pengertian, Sifat, dan Rumus Kubus Disertai Contoh Jika kamu lebih suka menghafal, kamu bisa juga lho menghafal bilangan-bilangan pola persegi, yaitu 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, … . Tetapi disarankan untuk menggunakan rumus ya Squad, karena dengan menggunakan rumus kamu bisa menentukan suku pola bilangan yang besar seperti misalnya suku ke- 200. 2. Pola Persegi PanjangUntuk pola yang ini, pola bilangan akan tersusun seperti bentuk persegi panjang. Jadi, Pola persegi Panjang adalah suatu pola yang tersusun dari beberapa bilangan berdasarkan rumus: Sama halnya seperti penjelasan yang ada di pola sebelumnya, jumlah lingkaran yang ada dalam bentuk persegi panjang merupakan suku-suku pada pola bilangan persegi panjang. Perbedaan dengan pola sebelumnya adalah kalau pola persegi mempunyai bentuk persegi, sedangkan kalau pola persegi panjang mempunyai bentuk persegi panjang. Ingat, jangan sampai tertukar, ya! Untuk rumusnya pun berbeda, rumusnya yaitu n(n + 1). Contohnya yaitu jika kamu ingin menentukan suku ke-5 pola bilangan persegi panjang kamu hanya tinggal memasukkan ke dalam rumusnya yaitu n(n + 1) = 5(5 + 1) = 30. Gampang, kan! Berikut adalah pola bilangan persegi panjang: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, … . Baca juga: Unsur-Unsur Lingkaran, Ada Apa Saja, Ya? 3. Pola SegitigaSeperti halnya pola-pola di atas, pola segitiga juga akan membentuk susunan pola seperti segitiga. Pola Segitiga adalah suatu pola yang tersusun dari beberapa bilangan berdasarkan rumus: Yap, untuk pola yang ini, jumlah lingkaran yang membentuk bangun segitiga merupakan pola bilangan segitiga. Di suku pertama terdapat 1 lingkaran yang merupakan suku pertama pola bilangan segitiga. Di suku kedua terdapat 3 lingkaran yang merupakan suku kedua dari pola bilangan segitiga, dan begitupun seterusnya. Kamu juga bisa menggunakan rumusnya agar lebih mudah mengerjakannya. Sudah paham, kan? Berikut merupakan pola bilangan segitiga: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ... . 4. Pola Bilangan PascalApa itu bilangan pascal? Sebenarnya bilangan ini ditemukan oleh seorang penemu Prancis yang bernama Blaise Pascal. Oleh karena itu namanya jadi bilangan pascal karena diambil dari namanya, yaitu Pascal. Bilangan ini terbentuk dari sebuah aturan geometri yang berisi susunan koefisien binomial yang bentuknya menyerupai segitiga. Di dalam segitiga pascal, penjumlahan sepasang bilangan pada satu baris yang sama menghasilkan bilangan pada baris berikutnya. Baca juga: Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Itulah tadi sekilas penjelasan mengenai bilangan pascal itu sendiri, ya. Sekarang kita bahas pola bilangan pascalnya. Jadi, pola bilangan pascal adalah suatu pola yang tersusun dari beberapa bilangan berdasarkan rumus:
Segitiga Pascal (sumber: MathLibraryRukmantara.com) Berdasar gambar di atas, pola bilangan pascalnya yaitu jumlah seluruh bilangan yang ada pada baris yang sama. Coba lihat baris terakhir (baris ke-5) pada segitiga pascal di atas. Setelah dijumlahkan hasilnya 16. Bilangan 16 inilah yang merupakan suku bilangan ke-5 (karena terdapat pada baris ke-5) dari pola bilangan pascal. Atau kamu juga dapat langsung menggunakan rumusnya, yaitu 2n-1. Misalnya kamu ingin mencari suku ke 10, kamu bisa langsung masukkan ke dalam rumusnya saja. Jadi, 210-1 = 29 = 512. Berikut pola bilangan pascal: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... . Seperti itu ya penjelasannya. Bagaimana, sudah paham kan dengan macam-macam pola bilangan? Oke lanjut yaa. Kalau tadi kita belajar pola bilangan yang sudah diketahui pasti bentuk polanya, lalu bagaimana ya menentukan barisan yang memiliki pola diluar pola-pola di atas tadi? Yuk, kita bahas. Menentukan Pola Bilangan dan Suku Bilangan jika Belum Diketahui Bentuk PolanyaPada contoh di atas, kamu diperintahkan untuk menentukan suku ke-5 dan ke-6. Jadi, langkah pertama, kamu harus melihat dulu pola dari bilangan-bilangan sebelumnya. Coba kamu lihat selisih dari tiap bilangannya. Selisih dari bilangan pertama ke bilangan kedua adalah 5. Selanjutnya selisih dari bilangan kedua ke bilangan ketiga adalah 6, dan begitu seterusnya. Ternyata selisihnya selalu bertambah satu, nih! Langkah kedua yaitu kamu harus melakukan operasi yang sama dengan pola yang tadi telah ditemukan. Nah, untuk menentukan bilangan suku ke-5, kamu harus menambahkan bilangan ke-4 dengan 8, sehingga bilangan ke-5 adalah 23 + 8 = 31. Sedangkan, untuk menentukan suku ke-6, kamu harus menambahkan suku ke-5 dengan 9 yah. Jadi, bilangan suku ke-6 nya adalah 31 + 9 = 40. Mantap! Kamu pasti bisa.
Wah ilmu kamu bertambah, deh! Sebenarnya, macam-macam pola bilangan masih banyak lagi lho, seperti pola bilangan Fibonacci, pola bilangan pangkat tiga, pola bilangan aritmatika, pola bilangan geometri, dan lain-lain. Kalau kamu mau tau lagi tentang macam-macam pola bilangan lainnya, kamu bisa nih belajar melalui video animasi di ruangbelajar. Di sana kamu bisa belajar sekaligus latihan soal-soal. Selain itu, waktu belajar kamu akan lebih efektif, dan tidak akan menyita waktu bermain kamu. Jadiii tunggu apa lagi? Buruan download aplikasi ruangguru!
Referensi: As'ari A.R, Tohir M, Valentino E, Imron Z, Taufiq I. (2017) Matematika SMP/MTs Kelas VIII Semester 1. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Sumber foto: Ilustrasi 'Pola Potongan Kue' [Daring]. Tautan: https://www.shutterstock.com/da/image-vector/colorful-illustration-using-cakes-demonstrate-concept-566612620 (Diakses: 23 Desember 2020) Ilustrasi 'Segitiga Pascal' [Daring]. Tautan: http://rukmannewblogaddress.blogspot.com/2017/03/manfaat-segitiga-pascal.html (Diakses: 23 Desember 2020) Artikel diperbarui pada 5 Juli 2021. |
Bagaimana cara mengetahui sebuah barisan bilangan memiliki pola atau tidak
Pos Terkait
Copyright © 2024 berikutyang Inc.
