Tentukan dimana nilai maksimum fungsi f(x,y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada grafik ini

Materi program linier Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di dalam persoalan linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear. Model Matematika Program Linear Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam model matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika. Sebagai ilustrasi, produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan 150 gr bahan kedua. Sedangkan komposisi model kedua terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 76 kg dan bahan kedua 64 kg. Harga model pertama adalah Rp. 500.000,00 dan model kedua Rp. 400.000,00. Jika disimpulkan/disederhanakan dalam bentuk tabel menjadi berikut: Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 adalah x dan model 2 adalah y, dan hasil penjualan optimal adalah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan syarat:   Jumlah maksimal bahan 1 adalah 72.000 gr, maka 200x + 150y ≤ 72.000. Jumlah maksimal bahan 2 adalah 64.000 gr, maka 180x + 170y ≤ 64.000  Masing-masing model harus terbuat. Model matematika untuk mendapat jumlah pen jualan yang maksimum adalah: Nilai Optimum Fungsi Objektif Fungsi objektif merupakan fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada merupakan titik-titik dalam diagram cartesius yang jika koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan. Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear dapat ditentukan dengan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya dapat ditentukan letak titik yang menjadi nilai optimum. Langkah-langkahnya sebagai berikut :    Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada di cartesius. Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan garis batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut merupakan himpunan penyelesaian dari batasannya dan memeliki kemungkinaan besar membuat fungsi menjadi optimum. Menyelidiki nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara yaitu :  Menggunakan garis selidik  Membandingkan nilai fungsi objektif tiap titik ekstrim Menggunakan Garis Selidik Garis selidik diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by dimana garis selidiknya adalah ax + by = Z Nilai Z diberikan sembarang nilai. Garis ini dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan dibuat. Garis selidik awal dibuat di area himpunanan penyelesaian awal. Kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal. Berikut pedoman untuk mempermudah penyelidikian nilai fungsi optimum : Cara 1 (syarat a > 0)  Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kiri garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum. Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kanan garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum. Cara 2 (syarat b > 0)   Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum. Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum. Untuk nilai a < 0 dan b < 0 berlaku kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas. Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari garis-garis batas yang ada. Titik-titip potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum di salah satu titiknya. Berdasarkan titik-titik tersebut ditentukan nilai masing-masing fungsinya, kemudian dibandingkan. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil merupakan nilai minimum. Contoh Soal Program Linear dan Pembahasan Contoh Soal 1 Tentukan nilai minimum f(x, y) = 9x + y pada daerah yang dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7. Pembahasan 1:  Langkah 1 menggambar grafiknya  Langkah 2 menentukan titik ekstrim Dari gambar, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang diarsir.  Lankah 3 menyelidiki nilai optimum Dari grafik diketahui titik A dan B memiliki y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan. Dengan membandingkan, disimpulkan titik A memiliki nilai minimum 18 Contoh Soal 2 Tentukan dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini! Pembahasan 2: Titik ekstrim pada gambar adalah:     A tidak mungkin maksimum karena titik paling kiri. B(3, 6) C(8, 2) D(8, 0) Nilai tiap titik ekstrim adalah:    Sehingga nilai maksimum ada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42. Contoh Soal 3 Pedagang buah memiliki modal Rp. 1.000.000,00 untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp 4000,00 dan pisang Rp 1.600,00. Tempatnya hanya bisa menampung 400 kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum. Pembahasan 3: Diketahui: Dengan syarat: Kapasitas tempat: x + y ≤ 400 Modal: 4.000x + 1.600y ≤ 1.000.000 x≥0 y≥0 Diagramnya:     Titik ekstrim:      A(0, 400) bukan optimum karena tidak ada apel C(250, 0) bukan optimum karena tidak ada pisang d dengan metode eliminasi 2 persamaan diatas diperoleh: Sehingga jumlah masimum:   Apel: 150 kg Pisang: 250 kg 4. Seorang tukang jahit akan membuat pakaian model A dan model B. Model A memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model B memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Persediaan kain polos 20 m dan bergaris 10 m. Banyaknya total pakaian jadi akan maksimal jika banyaknya model A dan model B masing-masing... a. 7 dan 8 b. 8 dan 6 c. 6 dan 4 d. 5 dan 9 e. 4 dan 8 PEMBAHASAN: Dari soal dapat diresume dalam tabel berikut; Model matematika yang dapat dibentuk: x + 2y ≤ 20 1,5x + 0,5 y ≤ 10 atau 15x + 5y ≤ 100 Kita cari titik potong kedua garis tersebut: subtitusikan x = 4 dalam persamaan x + 2y = 20 4 + 2y = 20 2y = 16 y=8 maka, banyak model A = 4 dan model B = 8 JAWABAN: E 5. Daerah mana yang diarsir di bawah ini adalah daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan. Nilai maksimum fungsi objektif (3x + 5y) pada daerah penyelesaian tersebut ... a. 30 b. 26 c. 24 d. 21 e. 18 PEMBAHASAN: Perhatikan gambar: - Persamaan garis p = 6x + 4y = 24 atau 3x + 2y = 12 - Persamaan garis q = 4x + 6y = 24 atau 2x + 3y = 12 Titik potong garis p dan q adalah: subtitusikan y = 12/5 dalam 2x + 3y = 12: 2x + 3.12/5 = 12 2x = 12 – 36/5 2x = 60/5 – 36/5 2x = 24/5 x = 24/10 = 12/5 .... titik B (12/5, 12/5) Nilai dari fungsi obyektif 3x + 5y adalah: - Titik A (0, 6) 3x + 5y = 3.0 + 5. 6 = 30 - Titik B (12/5, 12/5) 3x + 5y = 3.12/5 + 5.12/5 = 36/5 + 60/5 = 96/5 = 19,2 - Titik C (6, 0) 3x + 5y = 3.6 + 5.0 = 18 Jadi, nilai minimumnya adalah 18 JAWABAN: E 6. Nilai maksimum dari z = -3x + 2y yang memenuhi syarat 3x + y ≤ 9, 5x + 4y ≥ 20, x ≥ 0 adalah ... a. 10 b. 14 c. 18 d. 20 e. 24 PEMBAHASAN: - 3x + y ≤ 9 Jika x = 0, maka y = 9 .... (0, 9) Jika y = 0, maka x = 3 .... (3, 0) - 5x + 4y ≥ 20 Jika x = 0, maka y =5 ..... (0, 5) Jika y = 0, maka x = 4 .... (4, 0) Kita cari daerah hasilya dengan menggambarnya: Kita cari dulu titik potong kedua garis di titik B: subtitusikan x = 16/7 dalam 3x + y = 9 3.16/7 + y = 9 48/7 + y = 9 y = 9 – 48/7 y = 63/7 – 48/7 y = 15/7 ... titik B (16/7, 15/7) Kita cari nilai dari fungsi obyektif z = -3x + 2y: - Pada titik A (0, 9) -3x + 2y = -3.0 + 2.9 = 18 - Pada titik B (16/7, 15/7) -3x + 2y = -3.16/7 + 2.15/7 = -48/7 + 30/7 = -18/7 - Pada titik C (0, 5) -3x + 2y = -3.0 + 2.2 = 4 Jadi, nilai maksimumnya adalah 18. JAWABAN: C 7. Dalam sistem pertidaksamaan: 2y ≥ x : y ≤ 2x; 2y + x ≤ 20; x + y ≥ 9. Nilai maksimum untuk 3y – x dicapai di titik ... a. b. c. d. P Q R S e. T PEMBAHASAN: Kita cari dulu titik potong-titik potong pada soal di atas: - Titik P P adalah perpotongan dari x + y = 9 dan 2y = x, maka subtitusikan saja: 2y + y = 9 3y = 9 y = 3 maka x = 2y = 6 ... titik P (6, 3) Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.3 – 6 = 3 - Titik Q Q adalah perpotongan dari x + y = 9 dan y = 2x, maka subtitusikan saja: x + 2x = 9 3x = 9 x =3 dan y = 2x = 6 ... titik Q(3, 6) Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.6 – 3 = 15 - Titik R R adalah perpotongan dari 2y + x = 20 dan y = 2x, maka subtitusikan saja: 2.2x + x = 20 5x = 20 x = 4 dan y = 2x = 8 ... titik R (4, 8) Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.8 – 4 = 20 - Titik S S adalah perpotongan dari 2y + x = 20 dan 2y = x, maka subtitusikan saja: x + x = 20 2x = 20 x = 10 dan 2y = x, maka y = 5 ... titik S (10, 5) Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.5 – 10 = 5 Maka, nilai maksimumnya adalah 20 di titik R JAWABAN: C 8. Nilai minimum dari -2x + 4y + 6 untuk x dan y yang memenuhi 2x + y – 20 ≤ 0, 2x – y + 10 ≥ 0, x + y – 5 ≤ 0, x – 2y – 5 ≤ 0, x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah ... a. -14 b. -11 c. -9 d. -6 e. -4 PEMBAHASAN: - 2x + y – 20 ≤ 0 atau 2x + y = 20 Untuk x = 0, maka y = 20 ... (0, 20) Untuk y = 0, maka x = 10 .... (10, 0) - 2x – y + 10 ≥ 0 atau 2x – y = -10 Untuk x = 0, maka y = 10 ... (0, 10) Untuk y = 0, maka x = -5 .... (-5, 0) - x + y – 5 ≤ 0 atau x + y = 5 Untuk x = 0, maka y = 5 ... (0, 5) Untuk y = 0, maka x = 5 .... (5, 0) - x – 2y – 5 ≤ 0 atau x – 2y = 5 Untuk x = 0, maka y = -2,5 ... (0, -2,5) Untuk y = 0, maka x = 5 .... (5, 0) Kita cari daerah hasilnya dengan menggambarnya: - titik A adalah titik potong antara 2x – y = -10 dan 2x + y = 20 maka titik potongnya: 2x + 15 = 20 2x = 5 x = 5/2 ... titik A (5/2, 15) Maka nilai dari fungsi obyektif -2x + 4y + 6 adalah -2.5/2 + 4.15 + 6 = -5 + 60 + 6 = 61 - titik B adalah titik potong antara x – 2y = 5 dan 2x + y = 20 maka titik potongnya: 2x + 2 = 20 2x = 18 x = 9 ... titik B (9, 2) Maka nilai dari fungsi obyektif -2x + 4y + 6 + 6 = -4 - titik C (5, 0) Maka nilai dari fungsi obyektif -2x + 4y + 6 + 6 = -4 - titik D (0, 5) Maka nilai dari fungsi obyektif -2x + 4y + 6 6=2 - titik E (0, 15) Maka nilai dari fungsi obyektif -2x + 4y + 6 + 6 = 66 Sehingga, nilai minimalnya adalah -4 JAWABAN: E adalah -2.9 + 4.2 + 6 = -18 + 8 adalah -2.5 + 4.0 + 6 = -10 + 0 adalah -2.0 + 4.5 + 6 = 0 + 20 + adalah -2.0 + 4.15 + 6 = 0 + 60 9. Nilai minimum f(x, y) = 3 + 4x – 5y untuk x dan y yang memenuhi –x + y ≤ 1, x + 2y ≥ 5 dan 2x + y ≤ 10 adalah ... a. -19 b. -6 c. -5 d. -3 e. 23 PEMBAHASAN; - –x + y = 1 Jika x = 0, maka y = 1 ... (0, 1) Jika y = 0, maka x = -1 ... (-1, 0) - x + 2y = 5 jika x = 0, maka y = 5/2 ... (0, 5/2) jika y =0, maka x = 5 ... (5, 0) - 2x + y = 10 Jika x = 0, maka y = 10 ... (0, 10) Jika y = 0, maka x = 5 ... (5, 0) Mari kita gambar daerah hasilnya: - Titik A adalah titik potong antara –x + y = 1 dan 2x + y = 10, maka titik potongnya: 2.3 + y = 10 6 + y = 10 y = 4 ... titik A (3, 4) Maka, nilai obyektif fungsi f(x, y) = 3 + 4x – 5y adalah: 3 + 4.3 – 5.4 = 3 + 12 – 20 = -5 - Titik B adalah titik potong antara –x + y = 1 dan x + 2y = 5, maka titik potongnya: x + 2.2 = 5 x+4=5 x =1 ... titik B (1, 2) Maka, nilai obyektif fungsi f(x, y) = 3 + 4x – 5y adalah: 3 + 4.1 – 5.2 = 3 + 4 – 10 = -3 - Titik C (5, 0) Maka, nilai obyektif fungsi f(x, y) = 3 + 4x – 5y adalah: 3 + 4.5 – 5.0 = 3 + 20 – 0 = 23 Jadi, nilai minimum fungsi adalah -5 JAWABAN: C 10. Fungsi F = 10x + 15y dengan syarat x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 800, y ≤ 600, dan x + y ≤ 1000 mempunyai nilai maksimum ... a. 9.000 b. 11.000 c. 13.000 d. 15.000 e. 16.000 PEMBAHASAN: - x = 800 - y = 600 - x + y = 1000 jika x = 0, maka y = 1000 ... (0, 1000) jika y = 0, maka x= 1000 ... (1000, 0) Yuk, kita gambar daerah hasilnya: - titik A adalah titik potong antara y = 600 dan x + y = 1000, maka titik A adalah: x + 600 = 1000 x = 400 ... titik A (400, 600) Maka nilai obyektif F = 10x + 15y adalah: 10.400 + 15.600 = 4000 + 9000 = 13.000 - titik B (0, 600) Maka nilai obyektif F = 10x + 15y adalah: 10.0 + 15.600 = 0 + 9000 = 9.000 - titik C adalah titi potong antara x = 800 dan x + y = 1000, maka titik C adalah: 800 + y = 1000 y = 200 .... titik C (800, 200) Maka nilai obyektif F = 10x + 15y adalah: 10.800 + 15.200 = 8000 + 3000 = 11.000 - titik D (800, 0) Maka nilai obyektif F = 10x + 15y adalah: 10.800 + 15.0 = 8000 + 0 = 8.000 Sehingga nilai maksimumnya adalah 13.000 JAWABAN: C PROGRAM LINIER D I S U S U N OLEH : NAMA :PALUPI INTAN SARI KELAS : XI MIPA 6

SMA NEGERI 13 PALEMBANG TAHUN AJARAN 2017/2018