Suatu barisan aritmetika memiliki suku pertama 23 dan suku ke 5 3 beda b. barisan tersebut adalah

Suatu barisan dikatakan barisan  aritmetika apabila dua suku yang berurutan pada barisan tersebut memiliki selisih (beda) yang konstan atau tetap.  Barisan aritmetika disebut juga barisan hitung. Rumus suku ke-n barisan aritmetika ialah:

     Un = a + (n-1)b

dengan : Un : suku ke-n

                      a  : suku pertama

                  b  : beda

                  n  : banyak suku

Untuk mencari beda pada barisan aritmetika, dapat menggunakan rumus:

     b = Un – Un-1

dengan : Un     : suku ke-n

                 Un-1 : suku ke (n – 1)

Deret aritmetika

Deret aritmetika adalah penjumlahan suku-suku suatu barisan aritmetika secara berurutan. Deret aritmetika disebut juga deret hitung karena perbedaan antarsukunya dihitung berdasarkan operasi penjumlahan. Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika, yaitu :

                                           atau                 

dengan : Sn    : jumlah n suku pertama

                  n    : banyak suku

                  a    : suku pertama

                  b    : beda

                  Un  : suku ke-n

Suku ke-n barisan aritmetika juga dapat dihitung dengan rumus :

     Un = Sn ­– Sn-1

dengan:  Sn    : jumlah n suku pertama

                 Sn-1: jumlah (n-1) suku pertama

Rumus suku tengah barisan aritmetika dengan n ganjil ialah:

dengan: U2t-1 : suku terakhir dari barisan aritmetika dengan n ganjil (Un)

                   Ut  : suku tengah

Untuk lebih memahami penjelasan di atas, mari perhatikan contoh berikut.

1. Diketahui barisan aritmetika 17, 20, 23, 26, 29, . . . Tentukan :

    a. Beda
     b. U8 + U12

    Jawaban :

    a. Dik: U1 = a = 17

        b = U2  U1

           = 20 – 17

           = 3

        Jadi, beda barisan tersebut adalah 3.

    b. U8 + U12 = [a + (n-1)b] + [a + (n-1)b]

                        = [17 + (8 – 1)3] + [17 + (12–1)3]

                        = (17 + 21) + (17+33)

                        = 38 + 50

                        = 88

2. Tentukan banyak suku pada barisan-barisan aritmetika berikut.

    a. – 15, – 13, – 11, . . . , 43

    b. U1 = -10, U2 = -7, Ut = 35, n = ganjil

    Jawaban :

    a. U1 = -15

         b  = – 13 – (– 15)

             = 2

      Un  = U1 + (n – 1)b

       43 = -15 + (n – 1)2

       58 = 2n – 2

       60 = 2n

        n = 30

     Jadi, banyak suku barisan tersebut adalah 30.

  b. b = U2 – U1

        = -7 – (-10)

        = 3

     Ut  = U1 + (t – 1)b

     35 = -10 + (t – 1)3

     45 = 3t – 3

     48 = 3t

     t    = 16

     n   = 2t – 1

          = 2(16) – 1

          = 31

     Jadi, banyak suku barisan tersebut adalah 31

3. Diketahui suatu deret aritmetika memiliki suku pertama 6, suku terakhirnya 72 dan beda 11. Tentukan:

     a. Banyak suku

     b. Suku tengahnya

     c. Jumlah semua suku deret tersebut

     Jawaban:

     Dik : U1 = 6

              Un = 72

              b   = 11

     a. Un  = a + (n – 1)b

          72  = 6 + (n – 1)11

          72  = 6 + 11n – 11

          77  = 11n

            n  = 7

          Jadi, banyak suku deret tersebut adalah 7.

     b. Suku tengah deret aritmetika tersebut adalah sebagai berikut.

         Jadi, suku tengahnya adalah 39.

     c. Jumlah semua suku deret tersebut adalah sebagai berikut.

     = 273

        Jadi, jumlah n suku pertamanya adalah 273.

Barisan Geometri

Suatu barisan dikatakan barisan  geometri apabila diantara dua suku yang berurutan pada barisan tersebut memiliki perbandingan yang konstan atau tetap.

Rumus suku ke-n barisan geometri:

     Un = arn–1

dengan: Un    : suku ke-n

                  a      : suku pertama

                  r      : perbandingan dua suku berurutan

Deret aritmetika adalah penjumlahan suku-suku suatu barisan aritmetika secara berurutan. Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika, yaitu :

untuk r < 1

untuk r > 1

Selain itu, untuk mencari suku ke-n deret geometri, dapat menggunakan rumus berikut.

     Un =  Sn  Sn-1

Rumus suku tengah barisan geometri dengan n ganjil:

dengan: Ut               : suku tengah

Deret Geometri

Deret geometri yang jumlah sukunya tak terhingga dinamakan deret geometri tak hingga. Deret geometri tak hingga yang mempunyai limit jumlah disebut deret konvergen. Deret yang bukan konvergen disebut deret divergen. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri tak hingga, yaitu :

Jika |r| > 1 maka merupakan deret geometri divergen. Sedangkan jika |r| < 1 atau –1 < r < 1, maka merupakan deret geometri konvergen.

Untuk lebih memahami penjelasan di atas, mari perhatikan contoh berikut.

1. Diketahui suku pertama dan suku keenam suatu barisan geometri berturut-turut 1 dan 32. Tentukan :

     a. Rasio.

     b. Suku ke-9 barisan tersebut.

     Jawaban:

     a. Dik : = a = 1

          Jadi, rasionya adalah 2.

    b. U9 =

              =

             = ar8

             = (1) (28)

             = 256

        Jadi, suku ke-9 barisan tersebut adalah 256.

2. Diketahui suatu deret geomeri positif memiliki rasio 3. Jika jumlah tiga suku pertamanya adalah 26, tentukan nilai suku ke-5 deret tersebut!

      Jawaban :

      Dik : a = suku pertama

               r  = rasio = 3

      Jumlah n suku pertama deret geometri dengan r > 1 dinyatakan dengan rumus:       

      Oleh karena jumlah tiga suku pertamanya 26, maka diperoleh

   Diperoleh a = 2

   Suku ke-n deret geometri dinyatakan dengan:

    Un = arn-1

     U5 = ar5-1

           = ar4

         = 2(34)

         = 2(81)

         = 162

    Jadi, nilai suku ke-5 deret tersebut adalah 162

3. Tentukan jumlah deret tak hingga dari 108 + 36 + 12 + 4 + . . .

     Jawaban:

      = 162

Jadi, jumlah deret tak hingganya adalah 162.

Semoga bermanfaat.