Perbedaan faktorial permutasi dan kombinasi

Dalam Matematika Wajib Kelas 12, kita akan bertemu dengan materi permutasi dan kombinasi, dengan begitu kita harus paham mengenai rumus dan notasi faktorial.

Table of Contents Show

Apa Itu Kaidah Pencacahan?
Apa Itu Faktorial?
Rumus Faktorial
Aturan Pencacahan Boleh Berulang dan Tidak Boleh Berulang
Video yang berhubungan

Apakah lo pernah menemukan koper atau brankas yang ada kunci pengaman berupa kombinasi nomor seperti ini?

Contoh kunci pengaman dengan nomor kombinasi (dok. pixnio.com/Bicanski)

Ada nomor kombinasi untuk membuka koper, brankas, atau barang-barang berharga lainnya. Bahkan, beberapa bangunan juga menggunakan ini untuk mengamankan pintunya. Nah, sekarang lo perhatikan gambar di atas. Ada 4 kombinasi nomor yang bisa digunakan untuk membuka kuncinya. Kira-kira ada berapa kemungkinan cara untuk membuka kunci tersebut?

Gimana cara menghitung kemungkinannya? Lo cukup mengalikan semua kemungkinannya. Di kunci tersebut ada 4 kombinasi nomor atau slot, masing-masing slotnya ada 10 nomor. Berarti kita cukup mengalikan 10 kemungkinan pangkat 4.

10 x 10 x 10 x 10 = 10.000 cara.

Jadi, ada 10.000 cara dengan berbagai kombinasi nomor untuk membuka kunci tersebut. Maka dari itu, semakin banyak slot atau kombinasi nomor, akan semakin ketat juga pengamanannya. Nah, cara untuk menentukan berbagai kemungkinan membuka kunci tersebut dinamakan “Kaidah Pencacahan”.

Baca Juga: Rumus Peluang dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hari

Apa Itu Kaidah Pencacahan?

Secara analogi, lo udah tahu apa itu kaidah pencacahan. Lalu, apa arti dari kaidah pencacahan yang sebenarnya? Kaidah pencacahan adalah cabang matematika yang membahas tentang aturan menghitung banyaknya susunan atau kombinasi suatu objek tanpa harus merinci semua kemungkinan susunannya. Sekarang coba lo bayangkan kalau harus merinci semua kemungkinan cara untuk membuka kunci di atas, ada 10.000 cara, tentunya akan membutuhkan banyak waktu dan ketelitian yang lebih kan? Maka dari itu, ada cara mudahnya yaitu dengan kaidah pencacahan.

Dalam kaidah pencacahan, ada aturan yang boleh berulang dan tidak boleh berulang. Untuk aturan yang boleh berulang, lo bisa menghitung seperti cara di atasー10 x 10 x 10 x 10ー dan untuk yang tidak boleh berulang, misalnya ada kode koper yang dalam setiap slot tidak boleh ada nomor yang sama, berarti perhitungannya 10 x 9 x 8 x 7 = 5.040 cara.

Lo harus tahu juga nih dalam kasus apa suatu kejadian boleh berulang dan tidak boleh berulang. Nanti lo akan pelajari lebih jauh di poin selanjutnya.

Apa Itu Faktorial?

Di dalam kaidah pencacahan, lo akan mempelajari tentang aturan penjumlahan dan perkalian, faktorial, permutasi, dan kombinasi. Berhubung di jenjang pendidikan sebelumnya (SD dan SMP) lo udah belajar tentang penjumlahan dan perkalian, jadi di SMA ini gak perlu dibahas lagi ya. Kita langsung masuk aja ke faktorial.

Sebenarnya materi faktorial ini gak susah kok, karena lo hanya perlu basic penjumlahan dan perkalian. Definisi faktorial adalah suatu bilangan asli atau bulat positif n, yang dinyatakan dengan n! (dibaca n faktorial), didefinisikan sebagai:

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x … x (n-1) x n

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:

n! = n x (n-1)!

Contohnya gini, kalau ada bentuk perkalian 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, jika dijabarkan maka akan panjang, sehingga kurang efisien. Nah, untuk mengefisienkan bentuk tersebut, ada yang namanya faktorial. Dari perkalian tersebut, kita hanya perlu menuliskan 6!, di mana tanda seru “!” merupakan ciri khas atau notasi faktorial. Sekarang kalau ditanya berapakah hasil dari 15! atau 40!? Kalau kita rinci dalam bentuk perkalian pasti akan panjang kan? Lalu, gimana cara perhitungan yang lebih efisiennya? Oke, kita pelajari di poin selanjutnya ya. Intinya lo harus paham sama materi ini, karena termasuk basic dari materi peluang, permutasi dan kombinasi.

Baca Juga: Rumus Kombinasi dan Permutasi, Apa sih Perbedaannya?

Rumus Faktorial

Ada pernyataan seperti ini, “Kalau kita mau menghitung hasil dari faktorial, bukankah kita harus menguraikannya terlebih dahulu ya? Sama aja dong gak efisien?”. Apakah benar begitu? Mari kita buktikan.

Kita gunakan cara pertama yang harus menguraikan satu per satu terlebih dahulu:

Sekarang, kita gunakan cara yang lebih efisien:

Lebih mudah menggunakan cara yang kedua, kan? Sebenarnya memang gak jauh beda, tapi dengan menggunakan faktorial, lo akan lebih mudah menghemat waktu perhitungan.

Video Belajar: Faktorial

Aturan Pencacahan Boleh Berulang dan Tidak Boleh Berulang

Sebelumnya, kita udah bahas juga tentang dua aturan pencacahan, ada yang berulang dan tidak boleh berulang. Untuk menguraikan analogi sebelumnya, kita langsung masuk ke contoh kasusnya. Perhatikan kedua kasus di bawah ini!

Pencacahan Boleh Berulang

Untuk aturan yang pertama, contohnya adalah kombinasi dari susunan huruf UUD, TATA, INDONESIA, PPKM, dll. Nah, jumlah susunan kata dari huruf-huruf di dalam kata tersebut boleh berulang. Berarti lo bisa menghitungnya langsung dikalikan sesuai jumlah huruf. Misalnya kata TATA menjadi 4 x 4 x 4 x 4 = 256 cara penyusunan.

Pencacahan Tidak Boleh Berulang

Sedangkan, untuk aturan yang kedua, susunan huruf tidak boleh diulang. Contohnya pada huruf ROTI, TAHUN, PROGRAM, dll yang tidak ada huruf berulang. Maka, perhitungannya dilakukan dengan mengurangi setiap huruf yang udah diambil di kolom sebelumnya. Misalnya kata ROTI menjadi 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara penyusunan.Berikut adalah cuplikan ilustrasi dari video belajar Zenius tentang Pencacahan dengan dan Tanpa Pengulangan.

Cuplikan video materi Zenius tentang Dasar-Dasar Mencacah

Lo bisa belajar lewat video seperti di atas di website atau aplikasi Zenius secara GRATIS, yang penting lo punya akun (log in atau sign in) untuk mengakses ribuan video pembelajarannya.

*****

Oke, segitu dulu uraian mengenai faktorial yang termasuk dalam kaidah pencacahan. Setelah lo memahami materi ini, gue yakin lo akan lebih mudah dalam memahami materi peluang, permutasi dan kombinasi. Semoga uraian di atas bermanfaat buat lo ya, sampai jumpa di artikel-artikel selanjutnya. Selamat belajar!