Menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi

sumber: freepik.com

Edumatik.Net – Kali ini yang akan dibahas oleh saya adalah nilai maksimum dan minimum turunan fungsi, materi ini merupakan sub dari materi penggunaan turunan. Sebelumnya juga sudah dibahas mengenai kemonotonan fungsi yang merupakan sub bagian dari penggunaan turunan juga.

Apa itu maksimum dan minimum turunan fungsi?
Nilai suatu fungsi dikatakan maksimum jika nilai dari fungsi tersebut paling besar, sebaliknya nilai suatu fungsi dikatakan minimum jika nilai dari fungsi tersebut paling kecil pada sebuah selang/interval tertutup.

Adapun pengertian nilai maksimum dan minimum turunan fungsi secara lebih formal adalah sebagai berikut:

Andaikan \(S\) adalah daerah asal \(f\) yang memuat titik \(c\), kita katakan bahwa:(i) \(f(c)\) adalah nilai maksimum \(f\) pada \(S\) jika \(f(c) \geq f(x)\) untuk semua \(x\) di \(S\)

(ii) \(f(c)\) adalah nilai minimum \(f\) pada \(S\) jika \(f(c) \leq f(x)\) untuk semua \(x\) di \(S\)

Apa yang dimaksud dengan nilai ekstrim?
Suatu nilai dikatakan nilai ekstrim apabila nilai tersebut merupakan nilai maksimum atau nilai minimum. Paham ya maksudnya, sederhananya adalah nilai maksimum dan nilai minimum itu disebut nilai ekstrim.

Dimana terjadinya nilai ekstrim? Nilai ekstrim terjadi atau terdapat pada titik-titik kritis.

Apa itu titik kritis?
Titik kritis adalah sebarang titik dalam daerah asal suatu fungsi, yaitu: titik ujung selang, titik stasioner, dan titik singular.

Apa yang dimaksud titik ujung selang?
Titik ujung selang adalah batas dari sebuah daerah asal atau domain suatu fungsi, dalam hal ini selang yang dimaksud adalah selang tertutup.

Teorema Eksistensi Maksimum-Minimum
Jika \(f\) kontinu pada selang tertutup \([a,b]\), maka \(f\) mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum.

Nah yang akan kita cari tuh adalah kemungkinan-kemungkinan nilai ekstrim atau nilai maksimum dan minimum. Nilai ektrim itu biasanya terjadi pada ujung selang tertutup, perhatikan gambar dibawah ini!

Apa itu titik stasioner?
Titik stasioner adalah sebuah titik yang membuat turunan pertama dari suatu fungsi sama dengan nol. Secara grafik, titik stasioner berada pada titik puncak atau lembah suatu kurva.

Jika \(c\) adalah sebuah titik dalam daerah asal yang mengakibatkan \(f'(c)=0\), maka \(c\) disebut dengan titik stasioner.

Nilai-nilai ekstrim sering terjadi pada titik stasioner ini, perhatikan gambar berikut!

Apa yang dimaksud dengan titik singular?
Titik singular adalah sebuah titik yang membuat turunan pertama dari suatu fungsi tidak ada nilainya.

Jika \(c\) adalah sebuah titik dalam daerah asal yang mengakibatkan \(f'(c)\) tidak ada, maka \(c\) disebut dengan titik singular.

Ini merupakan titik dimana grafik mempunyai sudut tajam, garis singgung vertikal, atau mungkin berupa lompatan. Nah nilai maksimum dan minimum turunan fungsi juga terjadi pada titik singular ini, perhatikan gambar berikut!

Kesimpulan: Nilai-nilai ekstrim terjadi pada titik-titik kritis. Cara mencari titik kritis pada turunan yaitu dengan melihat titik ujung selang tertutup, titik stasioner, dan titik singular.

Agar lebih mudah memahami nilai maksimum dan minimum turunan fungsi, kita menggunakan contoh soal yang berkaitan dengan materi tersebut untuk memahaminya. Berikut ini adalah contoh soal nilai maksimum dan minimum dalam interval tertutup.

Contoh Soal Nilai Maksimum dan Minimum Turunan Fungsi

1). Perhatikan gambar berikut kemudian cari titik kritis dan nilai ekstrimnya!

Jawab:

Titik kritis terdapat di ujung selang, \(-2\) dan \(6\).Titik kritis terdapat pada titik stasioner, \(0\) dan \(4\).

Jadi titik-titik kritisnya adalah \(-2, 0, 4, 6\).

Ingat! Nilai ekstrim itu adalah nilai maksimum atau nilai minimum.
Maksimumnya \(5\) dan minimumnya \(2\).

Singkatnya adalah dalam fungsi \(f(x)\) titik-titik kritis itu adanya pada domain, terletak di sumbu X. Sedangkan nilai ekstrim itu adanya pada kodomain, terletak di sumbu Y.

2). Perhatikan gambar berikut kemudian cari titik kritis dan nilai maksimum dan minimumnya!

Jawab:

Titik kritis terdapat di ujung selang, \(-1\) dan \(5\).Titik kritis terdapat pada titik stasioner, \(1\).Titik kritis pada titik singular, \(3\).

Jadi titik-titik kritisnya adalah \(-1, 1, 3, 5\)

Maksimumnya \(7\) dan minimumnya \(0\)

3). Diketahui sebuah fungsi \(y = -2x^{3} + 3x^{2}\) dengan interval tertutup \(\left[- \frac{1}{2}, 2 \right]\). Tentukanlah!a). Titik-titik kritis

b). Nilai maksimum dan nilai minimum

Jawab a

Titik kritis terdapat pada ujung selang tertutup, yaitu \(– \frac{1}{2}\) dan \(2\).

Titik kritis terdapat pada titik stasioner, kita akan cari dulu bersama-sama.

\(y = f(x) = -2x^{3} + 3x^{2}\)

\(f'(x)= -6x^{2} + 6x\)

Untuk mencari titik stasioner kita buat \(f'(x)\) haruslah sama dengan nol, kemudian kita cari nilai \(x\) nya.

\(f'(x)=0\)

\(\begin{aligned} -6x^{2} + 6x &= 0 \\-x^{2} + x &= 0 \\

x (-x +1) &= 0 \end{aligned}\)

\(x=0\) dan \(-x +1 = 0 \to x=1\)

Jadi titik stasionernya adalah \(0\) dan \(1\).

Sehingga titik kritisnya adalah \(– \frac{1}{2}, 0, 1, 2\)

Jawab b

Untuk mencari nilai maksimum dan minimum kita substitusikan titik-titik ekstrim ke fungsi \(f(x)\), yang paling besar itulah nilai maksimum sedangkan yang paling kecil itulah nilai minimum.

\(f(x) = -2x^{3} + 3x^{2}\)

\(f(- \frac{1}{2}) = -2(- \frac{1}{2})^{3} + 3(- \frac{1}{2})^{2} = 1\)

\(f(0) = -2(0)^{3} + 3(0)^{2} =0\)

\(f(1) = -2(1)^{3} + 3(1)^{2} =1\)

\(f(2) = -2(2)^{3} + 3(2)^{2} = -4\)

Jadi maksimumnya \(1\) dan minimumnya \(-4\)

Berikut adalah ilustrasi grafik dari soal yang dimaksud.

4). Tentukanlah nilai maksimum dan minimum dari fungsi \(f(x) = x^{\frac{2}{3}}\) dengan selang \([-1, 2]\).

Jawab:

Untuk mencari nilai maksimum dan minimum turunan fungsi kita harus cari dulu titik-titik kritisnya, meskipun tidak ditanyakan di soal.

Titik kritis terdapat pada ujung selang tertutup, yaitu \(-1\) dan \(2\).

Sekarang kita coba diferensialkan dulu fungsinya untuk mengetahui apakah ada titik stasioner ataukah titik singular.

\(f(x) = x^{\frac{2}{3}}\)

\(\begin{aligned} f'(x) &= \displaystyle \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} \\
&= \displaystyle \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \end{aligned}\)

Misalkan \(f'(x)=0\)

\(\begin{aligned} \displaystyle \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} &= 0 \\\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} &= \displaystyle \frac{3}{2} \times 0 \\\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} &= 0 \\

\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} &= \displaystyle \frac{1}{\infty^{\frac{1}{3}}} \end{aligned}\)

Sehingga titik stasionernya \(x= \infty\), titik ini tidak termasuk kedalam interval \([-1, 2]\). Artinya pada interval \([-1, 2]\) tidak ada titik stasioner, sehingga kemungkinan yang lainnya adalah titik singular.

Sekarang kita cari keberadaan titik singular dari \(f'(x) = \displaystyle \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}\)

Ingat!, singular terjadi jika \(f'(x)\) tidak ada. Sekarang lihatlah bentuk dari \(f'(x)\), bentuknya merupakan pecahan dan ada variabel di penyebut.

Syarat dari sebuah pecahan agar nilainya terdefinisi maka penyebutnya tidak boleh nol, dan yang menyebabkan penyebutnya nol pada \(f'(x)\) adalah ketika \(x=0\).

Artinya pada saat \(x=0\) nilai \(f'(x)\) tidak ada, sehingga \(x=0\) adalah titik singular.

Jadi titik kritisnya adalah \(-1, 0, 2\)

Berikutnya nilai ekstrim, substitusikan titik kritis ke fungsi \(f(x)\).

\(f(x) = x^{\frac{2}{3}}\)

\(f(-1) = (-1)^{\frac{2}{3}} = 1\)

\(f(0) = (0)^{\frac{2}{3}} =0\)

\(f(2) = (2)^{\frac{2}{3}} \approx 1,59\)

Jadi maksimumnya adalah \(1,59\) dan minimumnya \(0\)

Sebagai ilustrasi agar kamu mudah memahaminya berikut adalah gambar dari fungsi \(f(x) = x^{\frac{2}{3}}\).

Itulah pembahasan nilai maksimum dan minimum turunan fungsi, semoga kamu dapat memahami materi yang saya sampaikan. Berikutnya kita akan belajar kecekungan dan titik belok, silahkan bagikan tulisan ini agar orang lain mendapatkan manfaatnya juga.