Jika ada garis yang melalui titik 2,1 dan titik 2,8 maka

Pada postingan sebelumnya sudah dibahas bahwa gradien suatu garis adalah perbandingan antara komponen y dan komponen x ruas garis yang terletak pada garis tersebut (silahkan baca cara menentukan gradien garis yang melalui titik pusat). Sekarang bagaimana menentukan gradien suatu garis jika garis tersebut melalui titik (x1, y1) dan titik (x2, y2) tanpa melalui titik pusat?

Untuk menentukan gradien suatu garis jika garis tersebut melalui titik (x1, y1) dan titik (x2, y2) silahkan perhatikan gambar berikut ini.

Perhatikan garis AB pada gambar di atas. Garis AB tersebut melalui dua titik yaitu titik ujung bawah (x1, y1) dan titik ujung atas (x2, y2). Seperti yang dijelaskan sebelumnya bahwa gradien suatu garis dapat dicari dengan menggunakan perbandingan komponen y dan komponen x ruas garis tersebut. Untuk komponen yAB ruas garis tersebut didapat:

yAB = y2 – y1

dan untuk komponen xAB ruas garis tersebut didapat:

xAB = x2 – x1

maka perbandingan komponen y dan x adalah:

yAB/xAB = (y2 – y1)/( x2 – x1)

yAB/xAB = mAB

yAB/xAB = ∆y/∆x

Berdasarkan hal tersebut maka dapat ditarik kesimpulan bahwa gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) dapat dirumuskan:

m = ∆y/∆x = (y2 – y1)/(x2 – x1)

dimana:

∆y = y2 – y1

∆x = x2 – x1

(∆ dibaca delta, merupakan selisih antara x2 dengan x1 atau y2 dengan y1)

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang gradien suatu garis jika garis tersebut melalui dua buah titik tanpa melalui titik pusat, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Tentukan gradien garis yang melalui titik.

a. A(1, 2) dan B(–2, 3)

b. C(7, 0) dan D(–1, 5)

c. E(1, 1) dan F(–3, –4)

d. G(5, 0) dan H(0, 4)

e. I(2, 0) dan J(0, –4)

Penyelesaian:

Gradien garis tersebut dapat dicari dengan menggunakan rumus:

m = (y2 – y1)/(x2 – x1), maka:

a. A(1, 2) dan B(–2, 3)

<=> m = (yB – yA)/(xB – xA)

<=> m = (3 – 2)/(–2 – 1)

<=> m = 1/–3

<=> m = –1/3

b. C(7, 0) dan D(–1, 5)

<=> m = (yD – yC)/(xD – xC)

<=> m = (5 – 0)/(–1 – 7)

<=> m = 5/–8

<=> m = –5/8

c. E(1, 1) dan F(–3, –4)

<=> m = (yF – yE)/(xF – xE)

<=> m = (–4 – 1)/(–3 – 1)

<=> m = –5/–4

<=> m = 5/4

d. G(5, 0) dan H(0, 4)

<=> m = (yH – yG)/(xH – xG)

<=> m = (4 – 0)/(0 – 5)

<=> m = 4/–5

<=> m = –4/5

e. I(2, 0) dan J(0, –4)

<=> m = (yJ – yI)/(xJ – xI)

<=> m = (–4 – 0)/(0 – 2)

<=> m = –4/–2

<=> m = 2

Contoh Soal 2

Diketahui persamaan garis y = mx + c. Tentukan nilai m dan c jika garis tersebut melalui titik.

a. (2, 1) dan (–3, –1);

b. (2, 0) dan (0, –4);

c. (–4, 2) dan (3, –3);

d. (0, 2) dan (5, 0).

Penyelesaian:

Untuk menjawab soal tersebut Anda harus mencari m yang merupakan gradien garis, kemudian dengan memasukan salah satu titik maka akan didapatkan nilai c, yakni:

a. (2, 1) dan (–3, –1)

<=> m = (y2 – y1)/(x2 – x1)

<=> m = (–1 – 1)/( –3 – 2)

<=> m = –2/–5

<=> m = 2/5

Substitusi salah satu titik ke persamaan y = mx + c, misal titik (2,1), maka:

<=> y = mx + c

<=> 1 = (2/5).2 + c

<=> 1 = 4/5 + c

<=> c = 1 – 4/5

<=> c = 5/5 – 4/5

<=> c = 1/5

Misalkan juga kita masukan titik (–3, –1) maka:

<=> y = mx + c

<=> –1 = (2/5).(–3) + c

<=> –1 = –6/5 + c

<=> c = –1 + 6/5

<=> c = –5/5 + 6/5

<=> c = 1/5

Ternyata jika memasukan titik (–3, –1) atau titk (2,1) akan menghasilkan nilai c yang sama.

Jadi nilai m dan c jika garis tersebut melalui titik (–3, –1) dan titik (2,1) adalah 2/5 dan 1/5.

b. (2, 0) dan (0, –4)

<=> m = (y2 – y1)/(x2 – x1)

<=> m = (–4 – 0)/( 0 – 2)

<=> m = –4/–2

<=> m = 2

Substitusi titik (2, 0) ke persamaan y = mx + c maka:

<=> y = mx + c

<=> 0 = 2.2 + c

<=> 0 = 4 + c

<=> c = 0 – 4

<=> c = – 4

Jadi nilai m dan c jika garis tersebut melalui titik (2, 0) dan titik (0, –4) adalah 2 dan – 4.

c. (–4, 2) dan (3, –3)

<=> m = (y2 – y1)/(x2 – x1)

<=> m = (–3 – 2)/( 3 – (–4))

<=> m = –5/7

Substitusi titik (–4, 2) ke persamaan y = mx + c maka:

<=> y = mx + c

<=> 2 = (–5/7).( –4) + c

<=> 2 = 20/7 + c

<=> c = 2 – 20/7

<=> c = 14/7 – 20/7

<=> c = –6/7

Jadi nilai m dan c jika garis tersebut melalui titik (–4, 2) dan titik (3, –3) adalah –5/7 dan –6/7.

d. (0, 2) dan (5, 0)

<=> m = (y2 – y1)/(x2 – x1)

<=> m = (0 – 2)/(5 –0)

<=> m = –2/5

Substitusi titik (0, 2) ke persamaan y = mx + c maka:

<=> y = mx + c

<=> 2 = (–2/5).0 + c

<=> 2 = 0 + c

<=> c = 2

Jadi nilai m dan c jika garis tersebut melalui titik (–4, 2) dan titik (3, –3) adalah –2/5 dan 2.

Demikian postingan Mafia Online tentang cara menentukan gradien suatu garis melalui titik (x1, y1) dan titik (x2, y2). Mohon maaf jika ada kata-kata atau hitungan yang salah dalam postingan di atas. Salam Mafia.

Kompas.com/SILMI NURUL UTAMI

Contoh Soal Mencari Persamaan Garis Lurus yang Melalui Suatu Titik