DISTRIBUSI BINOMIAL MAKALAH Disusun Oleh Andi Kaharuddin, S.Pd., M.Pd NIDN. 07029202 TAHUN AJARAN 2018 1
KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT, karena berkat taufik dan hidayah-Nya, sehingga saya dapat menyelesaikan Makalah ini dengan judul Distribusi Binomial dalam rangka memenuhi tugas dari dosen. Kami berharap Makalah ini dapat berguna dan bisa menamba wawasan serta pengetahuan pembaca mengenai Distribusi Binomial. Kami menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari kata sempurna. Oleh sebab itu, kami berharap kritik dan saran yang bersifat membangun dari pembaca. Demikian, penulis mengucapkan banyak terimakasih, Wabillahitaufikwalhidayah, Wassalamu Alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh. Makassar, Juli 2018 Penulis 2
DAFTAR ISI BAB I PENDAHULUAN........................................................................................1 1.1 Latar Belakang..........................................................................................1 1.2 Rumusan Masalah.....................................................................................2 1.3 Tujuan........................................................................................................2 BAB II PEMBAHASAN.........................................................................................3 A. Pengertian Distribusi Binomial.....................................................................3 B. Distribusi Binomial Negatif..........................................................................4 C. Ciri-ciri Distribusi Binomial.........................................................................5 D. Percobaan binomial.......................................................................................5 E. Rata-rata, varians, dan simpangan baku untuk distribusi binomial..............6 f. Distribusi binomial kumulatif.......................................................................8 BAB III PENUTUP.................................................................................................9 2.1 kesimpulan......................................................................................................9 2.2 saran................................................................................................................9 DAFTAR PUSTAKA.............................................................................................10 3
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik. Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi n. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial.semakin besar n daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan. 1.2 Rumusan Masalah Apa itu distribusi binomial Apa itu distribusi binomial negative Bagaimana ciri-ciri dari distribusi binomial Jelaskan bagaimana percobaan distribusi binomial Bagaimana Rata-rata, varians, dan simpangan baku untuk distribusi binomial Apa itu Distribusi binomial kumulatif 1.3 Tujuan Untuk mengetahui apa itu distribusi binomial Untuk mengetahui apa itu distribusi binomial negative Untuk mengetahui cirri-ciri dari distribusi binomial Untuk mengetahui penjelasan distribusi binomial Untuk menghitung rata-rata,varians,dan simpangan baku untuk distribusi binomial Untuk mengeteahui apa itu distribusi binomial kumulatif 1
BAB II PEMBAHASAN A. Pengertian Distribusi Binomial Distribusi Binomial ditemukan oleh seorang ahli matematika berkebangsaan Swiss bernama Jacob Bernauli. Oleh karena itu distribusi binomial ini dikenal juga sebagai distribusi bernauli. Distribusi binomial berasal dari percobaan binomial yaitu suatu proses Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan saling bebas. Suatu distribusi Bernoulli dibentuk oleh suatu percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). Sebuah percobaan Bernoulli harus memenuhi syarat: Keluaran (outcome) yang mungkin hanya salah satu dari “sukses” atau “gagal”, Jika probabilitas sukses p, maka probabilitas gagal q = 1 – p. Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskrit jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik. Distribusi Binomial digunakan untuk data diskrit (bukan data kontinu) yang dihasilkan dari eksperimen Bernouli, mengacu kepada matematikawan JacobBernouli. Peristiwa pelemparan mata uang (koin) yang dilakukan beberapa kali adalah contoh dari proses bernouli, dan hasil (outcomes) dari tiap-tiap pengocokan dapat dinyatakan sebagai distribusi probabilitas binomial. Kejadian sukses atau gagal calon pegawai dalam psikotest merupakan contoh lain dari proses Bernouli. Sebaliknya distribusi frekuensi hidupnya lampu neon di pabrik anda harus diukur dengan skala kontinu dan bukan dianggap sebagai distribusi binomial. Secara formal, suatu eksperimen dapat dikatakan eksperimen binomial jika memenuhi empat persyaratan: 2
a. Banyaknya eksperimen merupakan bilangan tetap (fixed number of trial) b. Setiap ekperimen selalu mempunyai dua hasil ”Sukses” dan ”Gagal”. Tidak ada daerah abu-abu . Dalam praktiknya, sukses dan gagal harus‟ ‟ didefinisikan sesuai keperluan, Misal: 1. Lulus (sukses), tidak lulus (gagal) 2. Setuju (sukses), tidak setuju (gagal) 3. Barang bagus (sukses), barang sortiran (gagal) 4. Puas (sukses), tidak puas (gagal) c. Probabilitas sukses harus sama pada setiap eksperimen. d. Eksperimen tersebut harus bebas satu sama lain, artinya satu eksperimen tidak boleh berpengaruh pada hasil eksperimen lainnya. Untuk membentuk suatu distribusi binomial diperlukan dua hal: a. Banyaknya/jumlah percobaan/kegiatan; b. Probabilitas suatu kejadian baik sukses maupun gagal. Distribusi probabilitas binomial dapat dinyatakan sebagai berikut: Dalam sebuah percobaan Bernoulli, dimana p adalah probabilitas “sukses” dan q = 1 – p adalah probabilitas gagal, dan jika X adalah variabel acak yang menyatakan sukses B. Distribusi Binomial Negatif Suatu distribusi binomial negatif dibentuk oleh suatu eksperimen yang memenuhi kondisi-kondisi berikut: Eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan yang saling bebas, setiap percobaan (trial) hanya dapat menghasilkan satu dari dua keluaran yang mungkin, sukses atau gagal. Probabilitas sukses p, dan demikian pula probabilitas gagal q = 1 - p selalu konstan dalam setiap percobaan (trial) Eksperimen terus berlanjut (percobaan terus dilakukan) sampai sejumlah total k sukses diperoleh, dimana k berupa bilangan bulat tertentu. Jadi pada suatu eksperimen binomial negatif, jumlah suksesnya tertentu sedangkan jumlah percobaannya yang acak. 3
Distribusi Binomial Negatif, bila percobaan bebas berulang dapat menghasilkan sebuah sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan probabilitas q = 1 – p, maka distribusi probabilitas dari variabel acak X. C. Ciri-ciri Distribusi Binomial 1. Ciri pertama distribusi binomial adalah bila jumlah n tetap dan p kecil maka distribusi yang dihasilkan akan miring ke kanan dan bila p makin besar maka kemiringan akan berkurang dan bila p mencapai 0,5 maka distribusi akan menjadi simetris. Bila p lebih besar dari 0,5, maka distribusi yang dihasilkan akan miring ke kiri. 2. Ciri kedua nya adalah bila p tetap dengan jumlah n yang makin besar maka akan dihasilkan distribusi yang mendekati distribusi simetris. 3. Percobaan diulang sebanyak n kali. 4. Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas, misal : “BERHASIL” atau “GAGAL”; “YA” atau “TIDAK”; “SUCCESS” or “FAILED”. 5. Peluang berhasil / sukses dinyatakan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap. Peluang gagal dinyatakan dengan q, dimana q = 1-p. 6. Setiap ulangan bersifat bebas (independen) satu dengan lainnya. D. Percobaan binomial Secara langsung, percobaan binomial memiliki ciri-ciri sebagai berikut: a. Percobaan tersebut dilakukan berulang-ulang sebanyak n kali 4
b. Masing-masing percobaan hanya dapat menghasilkan dua kemungkinan, atau hasil yang diperoleh dapat disederhanakan menjadi dua kemungkinan. Hasil yang diperoleh tersebut dapat dianggap sebagai hasil yang sukses atau gagal. c. Hasil dari masing-masing percobaan haruslah saling bebas. d. Peluang untuk sukses harus sama untuk setiap percobaan. Dalam percobaan binomial, hasil-hasilnya seringkali diklasifikasikan sebagai hasil yang sukses atau gagal. Sebagai contoh, jawaban benar suatu pertanyaan pilihan ganda dapat diklasifikasikan sebagai hasil yang sukses, sehingga pilihan jawaban lainnya merupakan jawaban yang salah dan diklasifikasikan sebagai hasil yang gagal. Besarnya nilai probabilitas setiap x peristiwa sukses dari n kali eksperimen ditunjukkan oleh probabilitas sukses p dan probabilitas kegagalan q[3]. Rumus distribusi peluang Binomial: Keterangan : p = probabilitas sukses = 1 – q. Dimana q = probabilitas gagal n = jumlah total percobaan x = jumlah sukses dari n kali percobaan. Dimana x = 1, 2, 3, ..., n Contoh : Suatu survei menemukan bahwa satu dari lima orang berkata bahwa dia telah mengunjungi dokter dalam sembarang bulan yang ditanyakan. Jika 10 orang dipilih secara acak, berapakah peluang tiga diantaranya sudah mengunjungi dokter bulan lalu? Pembahasan : Pada kasus ini, n = 10, X = 3, p = 1/5, dan q = 4/5. Sehingga, Jadi peluang tiga orang yang dipilih sudah mengunjungi dokter bulan lalu adalah 0,201. E. Rata-rata, varians, dan simpangan baku untuk distribusi binomial 5
Rata-rata, varians, dan simpangan baku variabel yang memiliki distribusi binomial secara berturut-turut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut. MEAN (RATA-RATA) μ = n ∙ p VARIANS = n ∙ p ∙ q SIMPANGAN BAKU (DEVIASI STANDAR) = Rumus-rumus tersebut secara aljabar ekuivalen dengan rumus-rumus untuk rata-rata, varians, dan simpangan baku variabel distribusi peluang, tetapi karena variabel-variabel tersebut memiliki distribusi binomial, maka variabel-variabel tersebut dapat disederhanakan dengan menggunakan aljabar. Contoh 1 : Suatu koin dilemparkan sebanyak 4 kali. Tentukan rata-rata, varians, dan simpangan baku dari banyaknya angka yang muncul! Penyelesaian 1 : Dengan menggunakan rumus distibusi binomial n = 4 p = ½ q = ½ maka Rata-rata μ = n ∙ p = 4 ∙ ½ = 2 Varians = n ∙ p ∙ q = 4 ∙ ½ ∙ ½ = 1 Simpangan baku = = = = 1 Jadi, ketika empat koin dilemparkan beberapa kali, rata-rata banyaknya angka yang muncul adalah 2, dan simpangan bakunya adalah 1. Seperti yang telah dinyatakan sebelumnya, permasalahan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus untuk nilai yang diharapkan. Distribusinya ditunjukkan oleh tabel berikut. 6
Banyak angka yang muncul X0 1 2 3 4 Peluang P(X) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 Rata-rata, varians, dan simpangan bakunya dapat ditentukan sebagai berikut. Jadi, rumus binomial yang sudah disederhanakan memberika n hasil yang sama. F. Distribusi binomial kumulatif Probabilitas binomial kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses. Rumusnya: Contoh : Sebanyak 5 mahasiswa akan mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan probabilitas kelulusannya adalah 0,7. Hitunglah probabilitasnya! a. Paling banyak 2 orang lulus b. Yang akan lulus antara 2 sampai 3 orang c. Paling sedikit 4 diantaranya lulus Penyelesaian : a. n = 5 p = 0,7 q = 0,3 P(x 2) = P(x = 0) + P(x = 1) + P (x = 2) = 0,16 b. P(2 x 3) = P(x = 2) + P(x = 3) = 0,44 c. P(x 4) = P(x = 4) + P(x = 5) = 0,53 BAB III PENUTUP 7
A. Kesimpulan Distribusi Binomial seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Distribusi ini banyak digunakan pada masalah yang mungkin bernilai benar atau salah, gagal atau sukses, dan lain sebagainya. B. Saran Dalam suatu percobaan peluang, sebaliknya dilakukan bukanhanya sekali supaya lebih mendapatkan hasil yang lebih tepat. Dalam melakukan percobaan peluang juga hanya terpaku pada suatu distribusi untuk lebih baiknya menggunakan banyak distribusi sebagai bahan pertimbangan. DAFTAR PUSTAKA Sudjana, Metode Statistik, Bandung : Tarsito, 2002 8 |