Polinomial atau yang biasa disebut juga sebagai Suku banyak adalah sebuah bentuk dari suku-suku dengan nilai banyak yang disusun dari perubah variabel serta konstanta. Operasi yang dipakai hanya penjumlahan, pengurangan, perkalian serta pangkat bilangan bulat tidak negatif. Show Adapun bentuk umum dari Polinomial ini, yaitu: Bentuk Umum Polinomial: an xn + an-1 xn-1 + . . . + a1 x + a Keterangan: Dengan an , an-1 , …. , a1 , a0 € R koefisien atau konstanta Polinom an ≠ 0 , serta n adalah bilangan bulat positif. Pangkat tertinggi dari x merupakan derajat polinomial. Sementara suku yang tidak mengandung variable (a) disebut sebagai suku tetap (konstan).
Contoh lain dari bentuk polinomial yaitu:
Suatu polinomial dapat mempunyai:
Syarat PolinomialTerdapat juga beberapa syarat sehingga sebuah persamaan bisa disebut sebagai ‘polinomial’, diantaranya ialah sebagai berikut:
Polinomial dan Bukan PolinomialBerikut adalah beberapa bentuk yang tidak termasuk ke dalam bentuk polinomial, diantaranya ialah sebagai berikut:
Berikut adalah hal yang diperbolehkan atau termasuk dalam bentuk polinomial, perhatikan baik-baik:
Nilai PolinomialNilai polinomial f(x) untuk x=k atau f(k) dapat kita cari dengan menggunakan metode substitusi atau dengan skema Horner. Berikut rinciannya: Cara subtitusi: f(x) = an kn + an-1 kn-1 + . . . + a1 k + a Cara skema horner: Pembagian PolinomialSecara umum, pembagian dalam polinomial dapat dituliskan seperti di bawah ini: Rumus: f(x) = g(x) h(x) + s(x) Keterangan:
Pembagian Polinomial Dengan Cara Horner Pembagian suku banyak atau polinomial f(x) oleh (x-k) bisa kita lakukan dengan menggunakan cara atau metode horner. Cara ini bisa kita pakai untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang bisa difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1. Caranya ialah seabgai berikut:
Sebagai contoh: untuk 4x3 – 1, koefisien-koefisiennya yaitu 4, 0, 0, dan -1 (untuk x3, x2, x, dan konstanta)
Contoh soal menggunakan cara horner: Soal 1. F(x) = 2x3 – 3x2 + x + 5 dibagi dengan P(x) = 2x2 – x – 1 Jawab: P(x) = 2x2 – x – 1 = (2x + 1)(x – 1) P1: 2x + 1 = 0 → x = –½ P2: x – 1 = 0 → x = 1 Cara Hornernya: H(x) = 1.x – 1 = x – 1 S(x) = P1.S2 + S1 = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + ½ + 7/2 = x + 4 Koefisien Tak Tentu F(x) = P(x).H(x) + S(x) Untuk contoh soal di atas (soal no 1 pada cara horner), sebab F(x) berderajat 3 serta P(x) berderajat 2, maka dari itu: H(x) berderajat 3 – 2 = 1 S(x) berderajat 2 – 1 = 1 Sehingga, misalnya H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d Maka: 2x3 – 3x2 + x + 5 = (2x2 – x – 1).(ax + b) + (cx + d) Ruas kanan menjadi: = 2ax3 + 2bx2 – ax2 – bx – ax – b + cx + d = 2ax3 + (2b – a)x2 + (–b – a + c)x + (–b + d) Samakan koefisien ruas kiri dan juga ruas kanan, sehingga menjadi: x3 → 2 = 2a → a = 2/2 = 1 x2 → –3 = 2b – a → 2b = –3 + a = –3 + 1 = –2 → b = –2/2 = –1 x → 1 = –b – a + c → c = 1 + b + a = 1 – 1 + 1 → c = 1 Konstanta → 5 = –b + d → d = 5 + b = 5 – 1 → d = 4 Sehingga hasil akhirnya adalah: H(x) = ax + b = 1.x – 1 = x – 1 S(x) = cx + d = 1.x + 4 = x + 4
Baca juga: Fungsi Komposisi Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian PolinomialBerikut ini akan kami berikan contoh soal polinomial pada opersai penjumlahan, pengurangan, dan juga pengurangan. Perhatikan baik-baik ya!! Contoh soal: Diketahui suku banyak f(x) serta g(x) adalah sebagai berikut:
Maka tentukanlah: a) f(x) + g(x) b) f(x) – g(x) c) f(x) x g(x) Jawab: a) f(x) + g(x) = (2x3 – x2 + 5x – 10) + (3x2 – 2x + 8) b) f(x) – g(x) = (2x3 – x2 + 5x – 10) – (3x2 – 2x + 8) c) f(x) x g(x) = (2x3 – x2 + 5x – 10) × (3x2 – 2x + 8) Bagaimana? Mudah bukan? TeoremaTeorema ini digunakan untuk menentukan akar persamaan dari pangkat lebih dari dua. Teorema terbagi menjadi dua macam, yakni teorema sisa dan teorema faktor. Berikut penjelasannya. Teorema SisaMisalnya f(x) dibagi dengan p(x) dengan hasil bagi h(x) serta sisa h(x), maka akan kita dapatkan hubungan: f(x) = P(x) x H(x) x S(x) Apabila f(x) berderajat n serta P(x) pembagi berderajat m, dengan m ≤ n , maka:
Teorema untuk sisa ialah sebagai berikut:
Adapun rumus sisa yang biasa digunakan, yaitu: s(x) = mx + n Untuk lebih memahami uraian di atas, berikut akan kami berikan contoh soalnya: Cohtoh soal Soal 1. Suatu suku banyak apabila dibagi oleh x + 2 bersisa -13 serta apabila dibagi x – 3 sisanya 7. Tentukan sisanya apabila suku banyak tersebut dibagi x2 – x – 6! Jawab: Cara 1: Rumus Sisa yaitu: s(x) = mx + n, sehingga: k(x) = x2 – x – 6 Kita ketahui jika dibagi oleh x + 2 maka akan bersisa -13 serta apabila dibagi x – 3 sisanya akan menjadi 7 Maka dari itu, k(-2) = -13 dan k(3) = 7 Sehingga, kembalikan ke rumus Sisa, menjadi: s(x) = mx + n s(-2) = -2m + n = -13 s(3) = 3m + n = 7 Kemudian kita pakai metode eliminasi, caranya: -2m + n = -13 -5m = -20 Kemudian menggunakan metode substitusi, substitusikan ke persamaan: 12 + n = 7 Kemudian kembalikan ke rumus s(x) = mx + n Sehingga diketahui Sisa Polinomial jika dibagi x2 – x – 6 hasil nya 4x – 5. Uraian singkat dari soal: Polinominal 8x3 – 2x + 5 dibagi dengan x + 2 mempunyai sisa (S) berikut: S = f(k) = 8x3 – 2x + 5 S = f(-2) = 8(-2)3 – 2(-2)2 + 5 S = -67 Teorema FaktorSebuah suku banyak F(x) memiliki faktor (x – k) apabila F(k) = 0 (sisanya apabila dibagi dengan (x – k) hasilnya 0) Catatan: apabila (x – k) merupakan faktor dari F(x) maka k disebut sebagai akar dari F(x) Tips
Perhatikan contoh soal di bawah ini: Tentukan penyelesaian dari x3 – 2x2 – x + 2 = 0? Jawab: Faktor-faktor dari konstantanya adalah 2, merupakan ±1 serta ±2 dan faktor-faktor koefisien pangkat tertingginya, adalah 1, merupakan ±1, sehingga angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2 Sebab jumlah semua koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0), maka, pasti x = 1 merupakan salah satu faktornya, sehingga: Sehingga, x3 – 2x2 – x + 2 = (x – 1)(x2 – x – 2) = (x – 1)(x – 2)(x + 1) x = 1 x = 2 x = –1 Maka dari itu, dapat kita ketahui himpunan penyelesaiannya: {–1, 1, 2}. Sifat Akar Akar Suku BanyakPada persamaan berderajat 3: ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan memiliki akar-akar x1, x2, x3 Dengan sifat-sifat:
Pada persamaan berderajat 4: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan memiliki akar-akar x1, x2, x3, x4 Dengan sifat-sifat:
Pada persamaan berderajat 5: ax5 + bx4 + cx3 + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4, x5 Dengan sifat-sifat:
Dari kedua persamaan tersebut, kita bisa menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 6 dan begitu juga seterusnya. (Amati pola: –b/a, c/a, –d/a , e/a, …). Pembagian IstimewaPerhatikan gambar di bawah ini baik-baik: Contoh Soal dan PembahasanSoal 1. Polinomial f(x) ÷ (x – 2) sisanya 24 serta f(x) ÷ (x + 5) sisanya 10. Maka f(x) tersebut dibagi x2 + 3x – 10 sisanya yaitu… a. x + 34 b. x – 34 c. x + 10 d. 2x + 20 e. 2x – 20 Jawab: Rumusnya yaitu P(x) = H(x) . Pembagi + (px + q) Diketahui:
f(x) = H(x)(x – 2) + 24 Kemudian subtitusikan x = 2, sehingga: f(2) = H(2)(2 – 2) + (2p + q) f(x) ÷(x + 5) sisa 10, sehingga: Dengan Subtitusikan x = -5, sehingga: (f(-5) = H(-5)(-5 + 5) + (-p + q) = -5p + q = 10 …. (ii) Eliminasikan persamaan (i) serta (ii): 2p +q =24 -5p +q =10 7p = 14 p =2 Dalam mensubtitusikan p = 2 pada 2p + q = 24 2(2) + q = 24 q = 24 – 4 q = 20 Apabila f(x) dibagi x2 + 3x – 10 maka: f(x) = H(x) (x2 + 3x – 10) + (px + q) sisa px + q = 2x + 20 Jawaban: D Soal 2. Suku banyak x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 dibagi oleh x² – x -2 sisanya sama dengan … a. 16x + 8 b. 16x – 8 c. -8x + 16 d. -8x – 16 e. -8x – 24 Jawab: Diketahi pembaginya yaitu: x² – x -2, sehingga: x² – x -2= 0 (x – 2) (x + 1) = 0 x = 2 dan x = -1 Ingat rumus: P(x) = H(x) + (px + q), sehingga sisanya (px + q), maka: f(2) = 2p + q 24 – 3(2)3 – 5(2)2 + 2 – 6 = 2p + q 16 – 24 – 20 + 2 – 6 = 2p + q -32 = 2p + q … (i) f(-1) = -p + q (-1) – 3(-1)3 – 5(-1)2 + (-1) – 6 = -p + q 1 + 4 – 5 – 1 – 6 = -p + q -8 = -p + q …(ii) Eliminasikan persamaan (i) serta (ii), menjadi: -32 =2p +q -8 =-p +q -24 =3p p = -8 Jika kita substitusikan p = –p + q = -8 -(-8) + q = -8 q = -16 Maka , sisanya adalah = p + q = -8x – 16 Jawaban: D Soal 3. Diketahui g(x) = 2x3 + ax2 + bx + 6 dan h(x) = x2 + x – 6 merupakan faktor dari g(x). Nilai a yang memenuhi yaitu… a. -3 b. -1 c. 1 d. 2 e. 5 Jawab: x2 + x – 6 = 0 (x + 3)(x – 2) = 0 x = -3 dan x = 2 Sebab h(x) merupakan faktor dari g(x), sehingga: 2x3 + ax2 + bx + 6 = 0 2(-3)3 + a(-3)2 + b(-3) + 6 = 0 -54 + 9a – 3b + 6 = 0 9a – 3b = 48 … (i) 2x3 + ax2 + bx + 6 = 0 2(2)3 + a(2)2 + b(2) + 6 = 0 16 + 4a + 2b + 6 = 0 4a + 2b = – 22 2a + b = – 11 … (ii) Eliminasikan persamaan (i) serta (ii):
Jawaban: C Soal 4. Apabila f(x) dibagi oleh x2 – 2 dan x2 – 3x masing-masing memiliki sisa 2x + 1 dan 5x + 2 maka f(x) dibagi oleh x2 – 5x + 6 memiliki sisa… a. 22x – 39 b. 12x + 19 c. 12x – 19 d. -12x + 29 e. -22x + 49 Jawab: Misalnya sisa pembagiannya S(x) = px+ q, maka: f(x) dibagi oleh x² – 2x ataupun x(x -2) → x =2 sisanya 2x + 1, sehingga: S(2) = 2x + 1 S(2) = 2(2) + 1 S(2) = 5 2p + q = 5 … (i) f(x) dibagi oleh x2 – 3x ataupun x(x – 3) –> x = 3 sisanya 5x + 2, sehingga: S(3) = 5x + 2 S(3) = 5(3) + 2 S(3) = 17 3p + q = 17 … (ii) Eliminasikan (i) serta (ii): 2p + q =5 3p +q =17 -p = -12 p = 12 Substitusikan p = 12 dalam 2p + q = 5 2(12) + q = 5 24 + q = 5 q = -19 Maka sisanya adalah: px + q = 12x – 19 Jawaban: C. Soal 5. Polinomial 2x3 + 5x2 + ax + b ÷ x + 1 sisa 1 serta apabila ÷ (x – 2) sisanya 43. Nilai a + b = … a. -4 b. -2 c. 0 d. 2 e. 4 Jawab: Sehingga, pada saatu x = -1, h(-1) = 1 -a + b = -2 …(i)
Sehingga pada saat x = 2, h(2) = 43 2a + b = 7 …. (ii) Eliminasikan (i) sera (ii): 2a +b =7 -a +b =-2 3a = 9 a =3 Subtitusikan a = 3 ke dalam 2a + b = 7, sehingga menjadi: 2(3) + b = 7 6 + b = 7 b = 1 Sehingga, a + b = 3 + 1 = 4 Jawaban: E Soal 6. Salah satu faktor dari (2x³ -5x² – px =3) merupakan (x + 1). Faktor lain dari suku banyak tersebut ialah… a. (x – 2) dan (x – 3) b. (x + 2) dan (2x – 1) c. (x + 3) dan (x + 2) d. (2x + 1) dan (x – 2) e. (2x – 1) dan (x – 3) Jawab: Yang merupakan faktornya adalah x + 1 –> x = -1 f(-1) = 0 2(-1)³ – 5(-1)³ – p(-1) + 3 = 0 -2 – 5 + p + 3 = 0 p = 4 Maka, f(x) = 2x³ -5x³ – 4x =3 = (x + 1)(2×2 – 7x + 3) Sehingga, faktor yang lainnya yaitu (2x – 1) dan juga (x – 3). Jawaban: E Soal 7. Ada Dua polinomial x³ -4x³ – 5x + m dan x2 -3x – 2 ÷ x + 1 akan memiliki sisa sama, maka nilai 2m + 5 = … a. 17 b. 18 c. 24 d. 27 e. 30 Jawab: Misalnya f(x) = x³ -4x2 – 5x + m dan x2 -3x – 2 Jika ÷(x + 1 ) –> x = -1 akan mempunyai sisa sama, maka: f(-1) = g(-1) (-1)³ – 4(-1)2 + 5(-1) + m = (-1)2 + 3(-1) – 2 -1 -4 – 5 + m = 1 – 3 – 2 -10 + m = -4 m = -4 + 10m = 6 Sehingga, nilai dari 2m + 5 = 2(6) + 5 = 17 Jawaban: A Soal 8. Dalam f(x) ÷ (x – 1) sisa 3, sementara ÷ (x – 2) sisa 4. Apabila dibagi dengan x2 -3x + 2 maka sisanya adalah… a. –x – 2 b. x + 2 c. x – 2 d. 2x + 1 e. 4x – 1 Jawab:
Misalkan sisanya = ax + b, maka: Maka sisanya ialah: f(1) = 3 a + b = 3 … (i) f(2) = 4 Eliminasikan (i) serta (ii): 2a + b =4 a +b = 3 a =1 Dalam Subtitusi a = 1 pada a + b = 3 1 + b = 3 b = 2 Sehingg diketahui sisanya adalah: ax + b = x + 2 Jawaban: B Soal 9. Banyaknya akar-akar real dari x4 – 3x3 – 3x2 + 7x + 6 = 0 adalah … a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 Jawab: x4 -3×3 -3×2 +7x +6 =0 (1 +)(x3 -4×2 +x +6) =0 (x +1)(x+1- x2 – 5x +6) + 0 (x +1)(x +1)(x -2)(x -3) = 0 Sehingga banyak akar- akarnya terdapat 3 buah. Jawaban: B Soal 10. polinomia : x3 -4x + px +6 dan z2 +3x -2 dibagi (x + 1) mempunyai sisa yang sama maka nilai p adalah … a. 7 b. 5 c. 3 d. -5 e. -7 Jawab: Misalnya f(x) = x3 -4×2 + px +6 serta x2 +3x -2 Kemudian dibagai (x + 1) maka, x = -1 f(-1) = g(-1) (-1)3 – 4(-1)2 + p(-1) + 6 = (-1)2 + 3( -1) -2 -1 – 4 – p + 6 = 1 -3 – 2 1 – p = -4 p = 5 Jawaban: B Baca juga: Persamaan dan Pertidaksamaan Linier Demikianlah ulasan singkat terkait Polinomial yang dapat kami sampaikan. Semoga ulasan di atas dapat kalian jadikan sebagai bahan belajar kalian. |