Bayangan titik A 4, 5 pada Pencerminan terhadap garis y = -x adalah

Table of Contents Show

2. Transformasi Non Isometri
D. AKTIVITAS PEMBELAJARAN
F. RANGKUMAN
G. UMPAN BALIK
Video yang berhubungan

Kegiatan Pembelajaran 7 50 Dengan cara eliminasi atau substitusi diperoleh dan . Selanjutnya kedua persamaan ini disubstitusikan ke , diperoleh . Karena bayangan titik , maka persamaan bayangan yang dimaksud adalah . 2 Rotasi dengan pusat Ilustrasi berikut merupakan rotasi . Perhatikan bahwa langkah-langkah berikut akan menghasilkan bayangan yang sama dengan gambar di atas. 1 Translasikan obyek dengan vektor translasi sehingga diperoleh bayangan Gambar 46. Translasi ke Gambar 48. Translasi kembali ke 2 Rotasikan bayangan di atas dengan pusat O, sudut rotasi . Diperoleh bayangan 3 Translasikan bayangan di atas dengan vektor translasi . Gambar 47. Rotasi Gambar 45. Rotasi Berpusat di P Modul Matematika SMA 51 c. Refleksi Gambar 49. Refleksi Foto: Eko W. http:bulbr.wordpress.com Refleksi terhadap garis merupakan transformasi pada bidang sedemikian sehingga: i. Jika titik tidak pada , maka bayangan dari , yaitu dengan sebagai garis bagi tegak lurus ii. Jika titik pada , maka bayangan adalah dirinya sendiri. a. Refleksi terhadap sumbu- Misalkan merupakan bayangan dari , dari gambar di atas didapat hubungan: dan , sehingga: Jika diubah ke bentuk persamaan matriks, diperoleh bentuk: . Matriks dinamakan sebagai matriks pencerminan terhadap sumbu- . b. Refleksi terhadap sumbu- Misalkan merupakan bayangan dari , dari gambar di atas didapat hubungan: dan , sehingga   . Dalam bentuk persamaan matriks persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai: Gambar 50. Refleksi terhadap Sumbu- Gambar 52. Gambar 51. Refleksi sumbu-y Kegiatan Pembelajaran 7 52 . Selanjutnya, disebut matriks pencerminan terhadap sumbu- . c. Refleksi terhadap garis Misalkan merupakan bayangan dari , dari gambar di atas didapat hubungan: dan , sehingga   . Dalam bentuk persamaan matriks persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai . Matriks merupakan matriks pencerminan terhadap garis . d. Refleksi terhadap garis Perhatikan gambar di bawah, titik direfleksikan terhadap garis , dengan . Misalkan sudut yang dibentuk oleh dengan sumbu- positif adalah , maka dan …... . Sudut yang dibentuk oleh sumbu- positif dengan adalah mengapa?. Gambar 53. Refleksi terhadap Gambar 53. Gambar 52. Refleksi Modul Matematika SMA 53 Misalkan bayangan adalah , maka . Dengan mensubstitusi ke kedua persamaan di atas, diperoleh Dalam bentuk matriks, dapat dituliskan sebagai e. Refleksi terhadap garis Serupa dengan rotasi dengan pusat , refleksi terhadap garis dapat dilakukan dengan sedikit manipulasi. 1 Translasikan obyek dengan suatu vektor translasi dimana suatu vektor yang mentranslasikan berimpit dengan garis . Sebagai latihan, silakan dicari vektor 2 Refleksikan bayangan yang terjadi terhadap garis 3 Translasikan bayangan yang terjadi dengan vektor translasi Contoh: Tentukan persamaan bayangan kurva yang direfleksikan terhadap garis . Alternatif Penyelesaian bantuan: Langkah 1: Garis dan parabola ditranslasikan dengan vektor translasi agar garis melalui 0, 0. Persamaan garis dan parabola hasil translasi berturut-turut ... 1 dan ... 2. Langkah 2: Parabola 2 direfleksikan terhadap garis 1 dengan , . Misal bayangan titik pada parabola 2, maka dipenuhi dan . Dengan substitusi nilai diperoleh ... 4 dan ... 5. Dari kedua persamaan terakhir diperoleh Kegiatan Pembelajaran 7 54 Substitusikan hasil terakhir ke persamaan 2, diperoleh Dari sini diperoleh persamaan hasil refleksi terhadap garis 1 Langkah 3: translasikan kembali dengan vektor translasi , diperoleh Jika disederhanakan, diperoleh hasil refleksi terhadap garis adalah f. Refleksi terhadap titik Pada gambar di samping, diberikan ilustrasi jenis lain dari pencerminan, yaitu pencerminan terhadap sebuah titik. Segitiga merupakan bayangan segitiga pada perncerminan terhadap titik . Perhatikan bahwa merupakan titik tengah ruas garis , dan . Refleksi terhadap titik merupakan transformasi pada bidang yang memenuhi: i. Jika titik tidak berimpit dengan , maka bayangan adalah sehingga merupakan titik tengah Gambar 55. Gambar 54. Refleksi Terhadap Titik Modul Matematika SMA 55 ii. Titik merupakan bayangan dari dirinya sendiri. Misalkan merupakan bayangan dari , dari ilustrasi didapat hubungan: dan , sehingga Dalam bentuk persamaan matriks persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai . Matriks adalah matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap titik 0, 0.

2. Transformasi Non Isometri

Terdapat beberapa bentuk transformasi non isometri. Pada modul ini hanya akan dibahas salah satu jenis yaitu dilatasi buku lain menggunakan istilah dilasi. Segitiga di atas merupakan peta dari segitiga pada dilatasi dengan pusat dilatasi titik dan faktor dilatasi 2 . Pada gambar di samping, kedua segitiga sebangun dan berlaku . Nilai ini dinamakan sebagai faktor dilatasi, sedangkan disebut pusat dilatasi. Definisi: Dilatasi dengan faktor dilatasi dan pusat , merupakan transformasi pada bidang sedemikian sehingga: i. Bayangan titik , pusat dilatasi, adalah sendiri. ii. Jika positif dan bayangan adalah , maka dan terletak pada sinar yang sama sehingga . iii. Jika negatif, bayangan adalah , maka dan merupakan dua sinar yang bertolak belakang, dan . a. Dilatasi dengan pusat dilatasi titik Gambar 56. Gambar 55. Refleksi Terhadap Titik O Gambar 57. Gambar 56. Dilatasi Kegiatan Pembelajaran 7 56 Dilatasi dengan pusat , faktor dilatasi , maka Dalam bentuk matriks, b. Dilatasi dengan pusat , faktor dilatasi Untuk menentukan persamaan matriks dilatasi yang pusatnya bukan langkah- langkah yang diperlukan adalah: 1 Translasikan obyek dengan vektor translasi sehingga peta pusat dilatasi berimpit di titik O dan peta menjadi dengan 2 Dilatasikan dengan pusat , faktor dilatasi 3 Translasikan kembali obyek dengan vektor translasi

D. AKTIVITAS PEMBELAJARAN

Gunakan Aplikasi Geometri misal GeoGebra untuk menyelidiki sifat transformasi berikut. 1. Segitiga ditranslasikan dengan vektor , dan . a. Adakah titik yang tidak berpindah tempat invarian? b. Apakah ? c. Apakah arah garis berbeda dengan bayangannya? d. Komposisikan translasi dengan . Apakah hasilnya juga translasi? 2. Selidiki sifat translasi dan buatlah kesimpulannya. Gambar 58. Gambar 57. Dilatasi Berpusat di O Modul Matematika SMA 57 a. Adakah titik-titik yang tidak berpindah ketika direfleksikan? Di manakah posisi titik-titik tersebut? b. Misalkan direfleksikan terhadap garis , apakah ? c. Apakah arah garis sama dengan arah garis ? d. Garis . Transformasi apakah hasil dari refleksi terhadap dilanjutkan dengan refleksi terhadap ? e. Garis dan berpotongan di . Transformasi apakah hasil refleksi dilanjutkan dengan refleksi terhadap ? 3. Gambar di samping merupakan salah satu bentuk pengubinan karya MC. Escher yang berjudul Sea orse . Pola tersebut dibuat menggunakan transformasi geometri. Pola-pola yang lain karya beliau dapat dilihat di http:www.mcescher.com . Carilah di berbagai sumber teknik-teknik untuk membuat pola ubin dengan memanfaatkan transformasi geometri.

E. LATIHAN

1. Apakah korespondensi merupakan transformasi? Jelaskan. 2. Titik invarian merupakan titik yang tidak berpindah ketika dikenai suatu transformasi. Di manakah posisi titik-titik invarian pada translasi, rotasi, refleksi, dan dilatasi. 3. Tentukan persamaan bayangan garis yang dicerminkan terhadap garis . 4. Tentukan persamaan bayangan parabola terhadap rotasi dengan pusat 1,3, sudut rotasi . 5. Kota dan dipisahkan oleh dua sungai seperti pada gambar. Tentukan posisi jembatan yang tegak lurus sisi sungai harus dibangun agar diperoleh total panjang dari ke menjadi minimum. 6. Psikolog kadang-kadang menggunakan tes Kegiatan Pembelajaran 7 58 yang diberinama Rorschach Test . Carilah informasi kegunaan test tersebut dan transformasi jenis apa yang digunakan? 7. Pada gambar di bawah, komposisi transformasi apakah yang mentransformasikan ke ? 8. Sediakan kertas lipat kertas origami, himpitkan titik ke dan ke untuk mendapatkan garis lipatan . Lipat kembali dengan menghimpitkan titik ke garis sedemikian sehingga garis lipatan melalui titik . Tentukkan besar sudut yang dibentuk oleh dengan garis ? 9. Garis dan berpotongan di titik . Sebuah obyek direfleksikan terhadap garis kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis . Selidiki dengan menggunakan kertas berpetak atau software matematika misal GeoGebra transformasi tunggal jenis apakah yang dapat menggantikan komposisi dua refleksi tersebut? 10. Lukis segitiga pada koordinat kartesius dengan titik sudut 1, 2, 4, 2 dan 1, 8. Terapkan transformasi terhadap segitiga tersebut. Transformasi jenis apakah ini? Terapkan terhadap segitiga-segitiga lain untuk meyakinkan jawaban Anda.

F. RANGKUMAN

Transformasi dapat dibedakan menjadi dua, transformasi isometri transformasi yang menjaga jarak dan non isometri transformasi yang tidak menjaga jarak. Termasuk dalam transformasi isometri di antaranya adalah translasi, rotasi, dan refleksi. Secara aljabar, transformasi dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan atau perkalian matriks yang dinamakan sebagai matriks transformasi. Berikut tabel matriks transformasi. Modul Matematika SMA 59 No. Transformasi Matriks Transformasi 1 Translasi dengan vektor 2 3 , dengan 4 Refleksi terhadap sumbu- 5 Refleksi terhadap sumbu- 6 Releksi terhadap 7 Refleksi terhadap dengan 8 Refleksi terhadap titik . 9 Dilatasi terhadap titik , dengan faktor dilatasi . 10 Dilatasi terhadap titik , faktor dilatasi .

G. UMPAN BALIK

Anda telah mempelajari materi geometri transformasi, melaksanakan aktivitas pembelajaran dan mengerjakan latihan. Dalam belajar transformasi geometri, tidak dianjurkan sekedar menghapal bentuk-bentuk matriksnya. Yang terpenting adalah memahami bagaimana matriks terbentuk terbentuk. Dengan cara ini, Anda tetap dapat mengerjakan permasalahan transformasi geometri meskipun tidak hapal dengan bentuk-bentuk matriksnya. Dari latihan, Anda dapat menilai kemampuan diri, jika jawaban benar lebih dari 85 maka dipersilakan untuk mempelajari materi berikutnya dengan catatan tetap mempelajari materi yang masih kurang. Namun demikian jika dirasakan masih belum menguasai materi, anda dapat mempelajari kembali.