 Loading Preview Sorry, preview is currently unavailable. You can download the paper by clicking the button above. Loading Preview Sorry, preview is currently unavailable. You can download the paper by clicking the button above. Matematikastudycenter.com- Contoh soal pembahasan pencacahan permutasi dalam penyusunan bilangan dari angka-angka matematika kelas 11 SMA IPA, IPS juga bisa. Soal No. 1 Disediakan angka-angka sebagai berikut: 1, 2, 3, 4, 5 Tentukan banyaknya bilangan terdiri tiga angka yang bisa disusun / dibuat dari angka-angka di atas yang berlainan dengan syarat bilangan tersebut lebih besar dari 300. Pembahasan Berikutnya menentukan angka-angka di tempat yang masih kosong: Cara Pertama Terlihat ada 2 tempat yang masih kosong, bisa diisi dari 4 angka yang tersedia, angka 3 tidak lagi dimasukkan karena tidak boleh berulang. Jadinya ambil 2 dari 4: Untuk bilangan yang diawali dengan angka 4 Terlihat ada 2 tempat yang masih kosong, bisa diisi dari 4 angka yang tersedia, angka 4 tidak lagi dimasukkan karena tidak boleh berulang. Jadinya ambil 2 dari 4: Untuk bilangan yang diawali dengan angka 5 Terlihat ada 2 tempat yang masih kosong, bisa diisi dari 4 angka yang tersedia, 5 tidak lagi dimasukkan karena tidak boleh berulang. Jadinya ambil 2 dari 4: Sehingga banyaknya bilangan yang bisa disusun adalah 12 + 12 + 12 = 36 bilangan. Cara Kedua: Banyaknya bilangan yang bisa disusun: 3 x 4 x 3 = 36 bilangan.
Kumpulan Soal Latihan Kombinatorik Tubagus Dhafin Rukmanda 1 Kaidah Pencacahan 1. Berapa banyak cara menyusun huruf-huruf K, A, N, T, O, R jika (a) huruf pertama dimulai dari huruf hidup (vokal) (b) huruf pertama dimulai dari huruf mati (konsonan) 2. Tujuh orang siswa akan duduk pada 7 kursi sejajar.Ada berapa cara susunan mereka? 3. Suatu keluarga terdiri dari 2 orang putera dan 3 orang puteri. Apabila kelima orang tersebut berdiri sejajar dengan posisi yang putra selalu mengapit yang putri, maka ada berapa formasi yang mungkin ? 4. Sebagai panitia perlombaan sepakbola, Furkan mencoba menyusun tujuh buah bendera A, B, C, D, E, F dan G pada posisi sejajar. Ada berapa banyak cara penyusunan jika diinginkan bendera A dan B berada di ujung ? 5. Weki mencoba membentuk sebuah bilangan 3 angka dengan angka-angkanya tidak boleh ada yang sama dan angka-angka tersebut diambil dari 3, 5, 6, 7, 8 dan 9. Ada berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk ? 6. Ada berapa banyak bilangan positif genap terdiri dari 5 angka berbeda dapat dibuat jika tidak ada satu pun angka 5 serta angka ribuan harus angka 0 ? 7. Pada sebuah klub dansa, terdapat 6 laki-laki dan 6 perempuan yang akan melakukan latihan. Dalam latihan ini, laki-laki harus dipasangkan dengan perempuan. Ada berapa banyak carakah membentuk 6 pasangan ini ? 8. Edwin sedang menyusun suatu bilangan tiga angka dengan angka-angka : 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8. Jika bilangan itu tidak memuat angka yang sama, maka ada berapa banyaknya bilangan yang dapat dibentuk dengan syarat bilangan tersebut genap ? 9. Dari angka 3, 5, 6, 7 dan 8 dibuat bilangan yang terdiri dari tiga angka berbeda. Di antara bilangan-bilangan tersebut yang terletak antara 300 dan 800 ada sebanyak 1 Kumpulan Soal Latihan Kombinatorik 1 KAIDAH PENCACAHAN 10. Dari angka-angka : 1, 2, 4, 5, 7, 8 akan disusun suatu bilangan yang terdiri atas 3 angka. Jika bilangan itu tidak memuat angka yang sama, maka ada berapa banyaknya bilangan yang dapat dibentuk dengan syarat bilangan tersebut lebih dari 245 ? 11. Ada berapa banyak bilangan 4-angka (digit) yang semua angkanya genap dan bukan merupakan kelipatan 2003 ? 12. Sebuah bilangan 4 angka dibentuk dengan 3 angka di antaranya adalah 3, 4 dan 6. Jika keempat angkanya berbeda serta bilangan tersebut habis dibagi 3, maka ada berapa bilangan yang dapat dibentuk ? 13. Hansen sedang membentuk sebuah bilangan 3 angka kurang dari 600 yang angkaangkanya diambil dari 0, 3, 4, 6, 7, 8 dan 9. Ada berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk jika : a. angka-angkanya boleh berulang b. angka-angkanya tidak boleh berulang 14. Ada berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk oleh Furkan dengan syarat : bilangan tersebut 4 angka, lebih dari 4000 dan angka-angkanya diambil dari 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, dan 9 ? a. angka-angkanya boleh berulang b. angka-angkanya tidak boleh berulang 15. Putu Wira sedang merancang sebuah bendera 6 strip vertikal. Warna masing-masing strip vertikal harus menggunakan sebagian atau keseluruhan warna kuning, hijau, biru atau merah. Dalam berapa banyak rancangan ini dapat dibuat bila dua strip berdekatan tidak boleh berwarna sama ? 16. Dari angka-angka : 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 akan disusun suatu bilangan ganjil yang tediri atas 3 angka. Jika bilangan itu tidak memuat angka yang sama dan kurang dari 500, maka ada berapa banyaknya bilangan yang dapat dibentuk ? 17. Ada berapa banyak bilangan genap 3 angka, angka-angkanya tidak berulang dan kurang dari 600 dapat dibentuk jika angka-angkanya diambil dari 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8? 18. Nomor polisi mobil-mobil di suatu daerah selalu terdiri dari 4 angka. Jika jumlah keempat angka pada setiap nomor juga harus genap serta angka 0 tidak boleh menjadi angka pertama, maka ada berapa banyak sistem penomoran mobil yang dapat dibentuk ? 19. Buah benteng pada permainan catur mempunyai kemampuan untuk bergerak atau memakan buah lawan pada petak-petak yang berada pada satu garis horizontal atau satu garis vertikal dengan dirinya. Hansen mencoba menyusun 3 buah benteng yang ketiganya dianggap berbeda warna pada papan catur 8 x 8 sehingga ketiga benteng tersebut tidak saling makan. Ada berapa cara penyusunan yang dapat dilakukannya? Pelatihan MAN IC OKI 2018 2 Tubagus Dhafin Rukmanda Kumpulan Soal Latihan Kombinatorik 2 PERMUTASI 20. Pada suatu turnamen diikuti oleh 6 tim dengan sistem pertandingan sebagai berikut : Tim F melawan Tim E dan tim yang kalah sebagai juara 6 sedangkan yang menang menghadapi tim D. Yang kalah sebagai juara 5 sedangkan pemenangnya menghadapi tim C. Yang kalah sebagai juara 4 sedangkan pemenangnya menghadapi tim B. Yang kalah sebagai juara 3 sedangkan pemenangnya menghadapi tim A. Yang kalah sebagai juara 2 sedangkan pemenangnya juara 1. Ada berapa banyak susunan juara yang dapat dibuat ? 2 Permutasi 21. Tentukan nilai n yang yang memenuhi persamaan (n+5)! (n+4)! (n + 5)! = 6n 22. Jika diketahui n P4 = 30 ·n P2 , maka tentukan nilai n. 23. Ada berapa banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf : (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) F,U,R,K,A,N? D,E,N,N,Y? H,A,N,S,E,N? A,H,M,A,D,I? R,O,M,BO,N,G,A,N? O,L,I,M,P,I,A,D,E? M,A,T,E,M,A,T,I,K,A? 24. Ada berapa banyaknya bilangan 7 angka berbeda yang dapat dibentuk dengan cara mengubah susunan angka dari 2504224 ? 25. Banyaknya bilangan tiga angka yang memiliki sedikitnya satu buah angka 4 dan satu buah angka 5 adalah 26. Banyaknya bilangan 5 angka yang memenuhi hasil kali angka-angkanya sama dengan 45 ada 27. Dalam suatu rapat OSIS yang terdiri dari 6 orang siswa ( 2 di antara kakak beradik ) dalam posisi melingkar. Ada berapa formasi duduk melingkar yang bisa terbentuk jika kakak beradik tersebut harus berdekatan ? 28. Sama dengan nomor 5 tetapi kakak beradik tersebut tidak boleh berdekatan. 29. Empat pasang suami isteri menonton pagelaran orkestra. Tempat duduk mereka harus dipisah antara kelompok suami dan kelompok isteri. Untuk masing-masing kelompok disediakan 4 buah tempat duduk bersebelahan dalam satu barisan. Ada berapa banyak cara memberikan tempat duduk kepada mereka ? Pelatihan MAN IC OKI 2018 3 Tubagus Dhafin Rukmanda Kumpulan Soal Latihan Kombinatorik 3 KOMBINASI 30. Seekor semut hendak melangkah ke makanan yang berada sejauh 10 langkah di depannya. Semut tersebut sedang mendapatkan hukuman, ia hanya boleh melangkah ke depan sebanyak kelipatan tiga langkah dan selebihnya harus melangkah ke belakang. Tentukan banyaknya cara melangkah agar bisa mencapai makanan, jika ia harus melangkah tidak lebih dari dua puluh langkah. (Catatan : jika semut melangkah dua kali dimana masing-masing melangkah sekali ke belakang, maka dianggap sama saja dengan dua langkah ke belakang.) 3 Kombinasi 31. Jika n C3 = 2n, maka tentukan 2n C7 . 32. Dari 8 pemain bulutangkis (5 di antaranya putera) akan dibentuk tim pasangan ganda campuran. Maka ada berapa pasangan ganda campuran yang dapat dibentuk? 33. Dari sekelompok remaja terdiri atas 10 orang pria dan 7 wanita dipilih 2 pria dan 3 wanita, maka ada berapa banyaknya cara memilih ? 34. Ada berapa banyak segitiga yang dapat dibuat dengan ketiga titik sudut segitiga tersebut adalah titik sudut-titik sudut suatu balok ? 35. Jika terdapat 20 titik dengan 5 titik berada pada satu garis lurus, maka banyaknya segitiga yang dapat dibuat dengan ketiga titik sudutnya dipilih dari 20 titik tersebut adalah 36. Pada ruas AB dari segitiga ABC diberi 2 titik selain AB dan pada ruas BC diberi 3 titik selain BC serta pada ruas AC diberi 4 titik selain AC. Banyaknya segitiga yang dapat dibuat dengan ketiga titik sudutnya merupakan titik-titik yang ada pada segitiga ABC tersebut adalah 37. Dalam suatu pertemuan terjadi 28 jabat tangan (salaman). Setiap dua orang saling berjabat tangan paling banyak sekali. Banyaknya orang yang hadir dalam pertemuan tersebut paling sedikit adalah 38. Dalam suatu pertemuan, setiap dua orang akan tepat bersalaman satu kali. Jika banyakya salaman yang terjadi ada 45. Maka ada berapa orang yang hadir pada pertemuan tersebut ? 39. Liga Italia terdiri dari 20 tim dan berlaku format kompetisi dengan sistem Home and Away (di antara 2 tim tepat terjadi dua pertandingan). Ada berapa banyak pertandingan keseluruhan ? Dalam suatu pertandingan tim yang memenangkan pertandingan mendapatkan nilai 3, yang kalah 0 dan seri mendapatkan nilai 1. Pada Pelatihan MAN IC OKI 2018 4 Tubagus Dhafin Rukmanda Kumpulan Soal Latihan Kombinatorik 3 KOMBINASI akhir kompetisi jumlah nilai seluruh tim adalah 1000. Ada berapa pertandingan yang berakhir dengan imbang ? 40. Dari 10 orang siswa yang terdiri 7 orang putera dan 3 orang puteri akan dibentuk tim yang berangotakan 5 orang. Jika disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 orang puteri, maka ada berapa banyak kemungkinan tim yang dapat dibentuk ? 41. SMA Negeri 5 Bengkulu akan memilih 6 orang wakil sekolah untuk mengikuti suatu kontes. Keenam wakil sekolah tersebut akan dipilih dari 6 siswa puteri dan 5 siswa putera. Jika dipersyaratkan bahwa jumlah siswa putera minimal 4 orang, ada berapa cara memilih wakil sekolah tersebut ? 42. Delegasi Indonesia ke suatu pertemuan pemuda internasional terdiri dari 5 orang. Ada 7 orang pria dan 5 orang wanita yang mencalonkan diri untuk menjadi anggota delegasi. Jika dipersyaratkan bahwa paling sedikit seorang anggota itu harus wanita, banyaknya cara memilih anggota delegasi adalah 43. Ada berapa banyak himpunan X yang memenuhi {1, 2} ⊆ X ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}? 44. Hansen memiliki 8 orang sahabat dekat dengan 2 orang di antaranya berpacaran. Pada suatu hari, ia ingin mengundang 5 dari 8 sahabat dekatnya tersebut. Dengan berapa cara ia dapat mengundang jika 2 orang sahabatnya yang berpacaran harus diundang keduanya atau tidak mengundang keduanya ? 45. Sebuah kelas akan mengikuti lomba Futsal. Dari 12 orang siswa putera akan dipilih 2 orang berposisi sebagai kiper, 4 orang sebagai pemain belakang dan 3 orang sebagai penyerang dan tidak ada pemain yang merangkap pada posisi lain. Ada berapa cara memilihnya ? 46. Dalam sebuah grup 15 anak-anak terdapat 7 pramuka. Dalam berapa cara kita dapat memilih 12 anak sehingga di dalamnya terdapat (a) tepat 6 anak pramuka (b) sedikitnya 6 anak pramuka 47. Berapa banyakkah bilangan terdiri dari 7 digit berbeda yang jika dilihat dari kiri ke kanan maka digitnya selalu naik ? Contoh bilangan tersebut adalah : 1234567, 1356789, 2345789, 3456789, 1235678. Digit 0 tidak diperbolehkan terletak pada digit pertama. 48. Semua bilangan enam angka dengan semua angkanya berbeda disusun. Pada masingmasing bilangan memenuhi setiap angka selain angka awal bersifat kurang dari angka yang ada di kanannya. Contoh bilangan tersebut adalah 123457, 134678, 346789, dan sebagainya. Jika semua bilangan tersebut disusun dari bilangan terkecil sampai ke terbesar, maka bilangan yang berada di urutan ke-45 adalah Pelatihan MAN IC OKI 2018 5 Tubagus Dhafin Rukmanda Kumpulan Soal Latihan Kombinatorik 3 KOMBINASI 49. Banyaknya bilangan asli berbentuk a1 a2 a3 · · · an−1 an an−1 · · · a3 a2 a1 dimana 0 < a1 < a2 < a3 < · · · < an−1 < an dan n ≥ 2 ada sebanyak 50. Naek mencoba meletakkan 4 buah pion identik pada sebuah papan catur 4 × 4. Ada berapa cara ia meletakkan keempat pion tersebut ? 51. Lain lagi yang dilakukan Sutan. Ia mencoba meletakkan dua pion putih identik dan 2 pion hitam identik pada papan catur 4×4. Ada berapa cara ia meletakkan keempat pion tersebut ? 52. Ada berapa banyak bilangan 4 angka dengan angka pertama 1 dan tepat memiliki dua angka yang sama ? (Contoh bilangan tersebut adalah 1447, 1050, 1231 dan sebagainya) 53. Di dalam sebuah pesta, 5 orang teman akan saling memberikan masing-masing satu hadiah sehingga setiap orang akan memberi dan menerima hanya satu (tentunya tidak akan ada orang yang akan menerima hadiah dari dirinya). Berapakah jumlah cara yang mungkin dilakukan? 54. Pak Eddy mencoba membagi 6 orang siswa menjadi 2 kelompok yang masing-masing beranggota tiga orang. Berapa banyakkah cara membentuk kedua kelompok ini ? 55. Dari sepuluh orang siswa akan dibentuk 5 kelompok, masing-masing beranggota dua orang. Berapa banyaknya cara membentuk kelima kelompok ini ? 56. Sebuah benda akan digerakkan dari titik A(0,0) ke titik B(6,4) namun benda tersebut hanya dapat bergerak ke atas ke kanan melalui titik-titik koordinat. (a) Ada berapa cara benda tersebut bergerak dari titik A hingga mencapai titik B? (b) Ada berapa cara benda tersebut bergerak dari titik A hingga mencapai titik B namun harus melalui titik P (4, 2)? (c) Ada berapa cara benda tersebut bergerak dari titik A hingga mencapai titik B namun harus melalui ruas P Q dengan Q(4, 3)? 57. Sebuah komite mengadakan 40 pertemuan dengan 10 orang anggota komite hadir pada masing- masing pertemuan. Setiap dua orang anggota komite menghadiri pertemuan secara bersamaan paling banyak satu kali. Tunjukkan banyaknya anggota komite tersebut lebih dari 60. 58. Berapakah banyaknya cara memilih tiga bilangan berbeda sehingga tidak ada dua bilangan yang berurutan, jika bilangan-bilangan tersebut dipilih dari himpunan {1, 2, 3, · · · , 9, 10}? 59. Ada berapa banyaknya himpunan bagian dari kata MATEMATIKA ? Pelatihan MAN IC OKI 2018 6 Tubagus Dhafin Rukmanda Kumpulan Soal Latihan Kombinatorik 4 PELUANG 60. Ahmadi berhasil menemukan semua himpunan bagian dari kata BELAJARLAH. Ada berapa banyak himpunan bagian yang jumlah anggotanya paling banyak 5 ? 61. Misalkan N menyatakan himpunan semua bilangan bulat positif dan 2009 n +2 ∈N S = N n+1 Banyaknya himpunan bagian dari S adalah 4 Peluang 62. Dua buah dadu dilempar secara bersamaan. Berapakah peluang munculnya jumlah mata dadu paling tidak 9 ? 63. Alan melempar dua buah dadu bersamaan satu kali. Berapakah peluang munculnya jumlah mata dadu ganjil dan bilangan prima ? 64. Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah dan 5 bola putih. Jika Nindya mengambil 3 bola secara acak maka berapakah peluang terambilnya: (a) Ketiga-tiganya merah (b) Ketiga-tiganya putih (c) 2 bola merah dan 1 bola putih (d) 1 bola merah dan 2 bola putih Berapakah jumlah hasil a, b, c dan d tersebut ? 65. Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah dan 10 bola putih. Jika diambil dua bola secara bersamaan, peluang memperoleh dua bola berwarna sama adalah 66. Satu huruf diambil secara acak masing-masing dari kata MAKAN dan MANDI. Berapakah peluang terambil dua huruf yang berbeda ? 67. Sebuah kotak berisi 2006 bola yang terdiri dari 500 bola merah, 501 bola biru, 502 bola kuning, 502 bola hijau dan 1 bola putih. Jika dari dalam kotak diambil bola satu persatu tanpa pengembalian, maka tentukan peluang bahwa tepat pada pengambilan kelima, bola tersebut adalah berwarna putih. 68. Upik melemparkan n dadu. Ia menghitung peluang terjadinya jumlah mata dadu sama dengan 6. Untuk n berapakah peluang tersebut paling besar ? Pelatihan MAN IC OKI 2018 7 Tubagus Dhafin Rukmanda Kumpulan Soal Latihan Kombinatorik 4 PELUANG 69. Sepuluh buah bola masing-masing bertuliskan satu huruf dari kata MATEMATIKA. Dua bola diambil secara acak dari sepuluh bola tersebut. Peluang dua bola yang terambil bertuliskan huruf yang berbeda adalah 70. Denny berhasil menemukan 2007 kunci dan 1 buah peti berisi harta karun dengan 1 buah lubang kunci. Hanya ada 1 dari 2007 kunci tersebut yang bisa membuka peti harta karun. Ia memberi tanda pada kunci yang telah ia gunakan untuk mencoba membuka peti harta karun, sehingga kunci yang telah digunakan untuk mencoba, tidak akan digunakan lagi. Berapakah peluang tepat pada percobaan ke-7 ia berhasil membuka peti harta karun tersebut ? 71. Sebuah bilangan empat angka berbeda dibentuk dari angka-angka 3, 4, 5 dan 6. Berapakah peluang bahwa bilangan tersebut habis dibagi 11. 72. Ahmadi melempar sebuah dadu dilempar 3 kali. Ada berapa cara munculnya jumlah mata dadu sama dengan 13 ? 73. Terdapat dua buah kantong. Kantong pertama berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Kantong kedua berisi 4 bola putih dan 6 bola biru. Sebuah bola diambil dari kantong pertama lalu dimasukkan ke dalam kantong kedua. Sebuah bola diambil secara acak dari kantong kedua. Berapa peluang bola yang terambil berwarna : a. biru b. merah c. putih 74. Lima buah huruf diambil dari huruf-huruf A, B, C, D, E, F, G, H, I. Berapakah peluang yang terambil itu terdiri dari 2 huruf hidup (vokal) dan 3 huruf mati (konsonan)? 75. Jika dua buah dadu dilempar bersamaan, berapakah peluang munculnya nilai mutlak selisih dua dadu tersebut tidak lebih dari dua ? 76. Dua buah bilangan diambil dari bilangan-bilangan 0, 1, 3, 5, 6, 8, 9. Tentukan peluang bahwa selisih kedua buah bilangan tersebut adalah bilangan ganjil. 77. Terdapat persamaan x2 + ax + b = 0 dengan nilai a dan b diambil dari himpunan 1, 2, 3, 4, 5. Diketahui bahwa a dan b adalah bilangan asli berbeda. Jika a dan b dipilih secara acak maka peluang kedua akar persamaan x2 + ax + b = 0 merupakan bilangan real adalah 78. Diketahui a, b, c adalah tiga bilangan berbeda yang angka-angkanya diambil dari himpunan 2005, 2006, 2007, 2008, 2009. Peluang ab + c genap adalah · · · 79. Tiga buah dadu dilempar sekaligus. Berapakah peluang bahwa hasil kali ketiga mata dadu menghasilkan bilangan genap dan penjumlahan ketiga mata dadu juga genap? 80. Eka Yulita memberi tanda pada sembilan buah kartu dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Secara acak ia mengambil 4 buah kartu dari tumpukan kartu tersebut Pelatihan MAN IC OKI 2018 8 Tubagus Dhafin Rukmanda Kumpulan Soal Latihan Kombinatorik 4 PELUANG sehingga membentuk sebuah bilangan yang terdiri dari 4 angka. Berapakah peluang bahwa bilangan tersebut lebih dari 8000 dan habis dibagi 5? 81. Triesna mengambil 2 bilangan dari himpunan bilangan 1, 2, 3, · · · , n − 1, n. Peluang bahwa kedua bilangan yang terambil merupakan 2 bilangan yang berurutan adalah 20%. Tentukan n. 82. Dua buah benteng diletakkan secara acak pada petak-petak papan catur 8 × 8. Berapakah peluang kedua benteng ini tidak saling memakan? 83. Hansen memiliki 11 koin perak dan 1 koin emas. Furkan memiliki 12 koin perak. Secara acak 8 koin diambil dari Hansen lalu diberikan ke Furkan. Kemudian dari 20 koin yang dimiliki Furkan tersebut diambil 8 koin secara acak lalu diberikan kepada Hansen. Berdasarkan kejadian ini, berapakah peluang koin emas ada pada Hansen ? 84. Suatu set soal terdiri dari 2 soal pilihan jawaban Benar (B) atau Salah (S) serta 2 soal pilihan ganda dengan pilihan jawaban A, B atau C. Jika seorang menjawab ke-4 soal secara acak, maka peluang ia benar tepat dua soal adalah · · · 85. Dari bilangan-bilangan 2006, 2007, 2008, 2009 dan 2010 akan diambil 3 bilangan. Berapakah peluang jumlah ketiga bilangan tersebut habis dibagi 3 ? 86. Pada sebuah dek kartu yang terdiri dari 20 kartu, kartu pertama berisi gambar segi-4 beraturan, kartu kedua berisi gambar segi-5 beraturan, kartu ketiga berisi gambar segi-6 beraturan dan seterusnya sehingga sehingga kartu ke-20 berisi gambar segi23 beraturan. Sebuah kartu secara acak diambil dari 20 tumpukan kartu tersebut. Misalkan sudut dalam dari segi-n beraturan pada kartu tersebut adalah x◦ , maka berapakah peluang bahwa x adalah bilangan bulat ? 87. ABCD adalah persegi panjang dengan AB = 2 dan BC = 1. Titik P secara acak terletak pada sisi CD. Misalkan ∠P AB = α, ∠P BA = β dan ∠AP B = θ. Besarnya peluang θ adalah yang terbesar di antara α, β dan θ adalah 88. Win memiliki dua koin. Ia akan melakukan prosedur berikut berulang-ulang selama ia masih memiliki koin : lempar semua koin yang dimilikinya secara bersamaan; setiap koin yang muncul dengan sisi angka akan diberikannya kepada Albert. Tentukan peluang bahwa Win akan mengulangi prosedur ini lebih dari tiga kali. Banyaknya bilangan tiga angka yang mempunyai sedikitnya satu angka genap adalah 89. Pada papan catur 4 × 4 diletakkan secara acak 4 buah pion identik. Berapakah peluang bahwa keempat pion tersebut tidak berada pada satu garis ? 90. Dalam sebuah kotak terdapat 7 bola hitam dan 6 bola putih. Jika diambil 5 buah bola, berapakah peluang bola yang terambilnya sedikitnya 2 buah berwarna hitam ? Pelatihan MAN IC OKI 2018 9 Tubagus Dhafin Rukmanda Kumpulan Soal Latihan Kombinatorik 5 PIGEON HOLE PRINCIPLE 91. Dalam sebuah kotak terdapat 7 bola hitam, 4 bola putih dan 3 bola merah. Jika diambil 5 buah bola, berapakah peluang bola yang terambilnya sedikitnya 2 buah berwarna hitam ? 92. Sebuah kotak berisi 6 bola merah dan 6 bola putih. Secara acak Lala mengambil dua bola sekaligus. Berapakah peluang untuk mendapatkan dua bola berwarna sama ? 93. Dua kertu bridge diambil berurutan secara random dari satu set kartu bridge. Kartu pertama dikembalikan dan kartu diacak kembali, setelah itu kartu kedua diambil. Berapa peluang paling sedikit satu dari kedua kartu yang diambil adalah kartu As ? 94. Ada empat pasang sepatu akan diambil empat sepatu secara acak. Peluang bahwa yang terambil ada yang berpasangan adalah 5 Pigeon Hole Principle 95. Ada 5 buah titik yang berada di sebuah persegi yang mempunyai panjang 2. Buktikan √ terdapat 2 titik yangmempunyai jarak tidak lebih dari 2. 96. Titik latis pada bidang adalah titik yang mempunyai koordinat berupa pasangan bilangan bulat. Misalkan P1 , P2 , P3 , P4 , P5 adalah lima titik letis berbeda pada bidan. Buktikan bahwa terdapat sepasang titik (Pi , Pj ), i 6= j demikian sehingga ruas garis Pi Pj memuat sebuah titik letis selain Pi dan Pj . (OSP 2004) 97. Misalkan m bilangan asli yang memenuhi 1003 < m < 2006 Diberikan himpunan bilangan asli S = {1, 2, 3, · · · , m}, berapa banyak anggota S harus dipilih agar selalu terdapat minimal satu pasang anggota terpilih yang hasil tambahnya 2006? (OSP 2006) 98. 51 bilangan bulat dipilih dari bilangan bulat dari 1 sampai 100. Buktikan dapat kita pilih 2 bilangan bulat berurutan 99. (AHSME 1994) Namai sebuah CD dengan label 1, dua CD dengan label 2, tiga CD dengan label 3, · · · dan lima puluh CD dengan label 50. Kemudian letakkan 1 + 2 + 3 + ... + 50 = 1275 CD berlabel ini ke dalam suatu kotak. Beberapa CD diambil darikotak secara acak tanpa penggantian. Berapakah jumlah minimum CD yang harus diambiluntuk menjamin diperoleh setidaknya sepuluh CD dengan label yang sama? 100. Disebuah tas, ada beberapa bolayang memiliki ukuran yang sama yang mempunyai 7 warna, setiap warna terdiri dari 77 bola. Berapa banyak bola yang diambil secara acak sehingga kita mendapatkan 7 kelompok yang masing memiliki 7 bola yang Pelatihan MAN IC OKI 2018 10 Tubagus Dhafin Rukmanda Kumpulan Soal Latihan Kombinatorik 5 PIGEON HOLE PRINCIPLE mempunyai warna yang sama? (setiap kelompok boleh berbeda warnanya) (CHINA 2003) 101. Sebuah tas memiliki 200 kelereng. 60 kelereng merah, 60 kelereng biru, 60 kelereng hijau dan sisanya berwarna kuning dan putih. Jika kelereng diambil tanpa dilihat. Berapa kelereng terkecil sehingga dari kelereng yang diambil tersebut terdapat 20 kelereng yang mempunyai warna yang sama? 102. Misalkan A adalah himpunan dua puluh bilangan asli yang dipilih dari deret aritmatika 1, 4, ..., 100. Buktikan bahwa ada dua bilangan asli berbeda dalam A yang jumlahnya 104. 103. Tunjukkan bahwa di antara tujuh bilangan asli positif yang nilainya kurang atau sama dengan 126, bisa kita temukan dua diantaranya, katakan a dan b, yang memenuhi b < a ≤ 2b. 104. Buktikan bahwa bagaimanapun lima puluh lima bilangan dipilih dari {1, 2, ..., 100}, pasti terdapat dua bilangan yang selisihnya 10. 105. Diketahui A suatu himpunan dengan anggota sepuluh bilangan asli yang bernilai di antara 1 dan 99. Buktikan bahwa terdapat dua subhimpunan yang irisannya bukan himpunan kosong dimana jumlah anggota-anggota kedua subhimpunan adalah sama. 106. Diberikan 9 bilangan asli sembarang yang faktor primanya anggota dari himpunan {3, 7, 11}. Buktikan bahwa terdapat setidaknya dua bilangan sehingga hasil kalinya merupakan bilangan kuadrat. 107. Jika 51 bilangan bulat secara acak dipilih dari 100 bilangan asli pertama {1, 2, ..., 100} Buktikan bahwa ada 2 bilangan yang salah satunya kelipatan bilangan lainnya. 108. Diberikan 5 bilangan bulat positif. Buktikan bahwa terdapat 3 bilangan yang jumlahnya habis dibagi 3. 109. Diberikan 17 bilangan bulat positif. Buktikan bahwa terdapat 3 bilangan yang jumlahnya habis dibagi 9. 110. Buktikan untuk sembarang 50 bilangan bulat positif, kita dapat selalu memilih empat bilangan a1 , a2 , a3 dan a4 dari kelima puluh bilangan tersebut, sehingga (a2 −a1 )(a4 − a3 ) adalah kelipatan 2009. 111. Buktikan dari sebuah himpunan n sehingga jumlah semua bilangan di subset tersebut habis dibagi n. 112. Terdapat enam titik di ruang sehingga sembarang 3 titik tidak kolinear. Jik sembarang dua dari mereka dihubungkan dengan satu segmen, dan setiap segmen di Pelatihan MAN IC OKI 2018 11 Tubagus Dhafin Rukmanda Kumpulan Soal Latihan Kombinatorik 5 PIGEON HOLE PRINCIPLE warnai oleh warna merah atau warna biru. Buktikan terdapat minimal satu segitiga yang terbentuk dari tiga titik sehingga setiap sisinya mempunyai warna yang sama 113. Buktikan sembarang n + 1 bilangan bualt, terdapat minimal dua bilangan yang kongruen modulo n. 114. Misalkan 1 ≤ a1 < a2 < a3 < · · · < an+1 ≤ 2n adalah n + 1 bilangan bulat, dimana n ≥ 1. Buktikan bahwa dua dari mereka dimana ai < aj sehingga ai |aj . 11 · · · 11 115. Buktikan dari 2009 bilangan bulat 1, 11, · · · , | {z } terdapat satu yang merupakan 2009 kelipatan 2009. 116. 19 titik dipilih secara acak dari segitiga sama sisi 1 m2 . Buktikan terdpaat segitiga yang terbentuk dari titik tersebut yang mempunyai luas tidak lebih besar dari 91 m2 . 117. Buktikan dari sembarang 7 bilangan yang berbeda terdapat dua bilangan sehingga jumlah atau selisihnya habis dibagi 10. 118. Pada sebuah papan catur dengan dimensi 4 × 28, untuk setiap persegi yang kecil diwarnai oleh salah satu dari warna, merah, biru atau kuning. Buktikan untuk sembarang pewarnaan terdapat sebuah daerah persegi dimana setiap empat titik sudutnya mempunyai empat warna yang sama. 119. Diberikan setiap sembilan garis lurus memotang sebuah persegi menjadi trapesium dengan rasio 2/3. Buktikan minimal tiga dari kesembilan garis tersebut melewati satu titik yang sama. 120. Ketika kita meletakkan n + 1 titik di segmen OA secara acak, buktikan terdapat dua diantaranya yang mempunyai jarak tidak lebih dari n1 . 121. Pada suku ke 100000001 barisan Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, · · · , ada terdapat sebuah suku yang mempunyai minimal empat nol diakhirnya 122. Pada sebuah papan tulis beberapa murid menuliskan 17 bilangan asli, dengan satuannya yaitu {0, 1, 2, 3, 4}. Buktikan kita dapat memilih 5 diantaranya sehingga jumlahnya habis dibagi 5. 123. Buktikan dari sebuah himpunan 10 bilangan dua digit berbeda kita dapat memilih sembarang dua himpunan disjoint sehingga mempunyai elemen dengan jumlah yang sama. 124. Tentukan nilai maksimum elemen dari sebuah subset L dari {1, 2, 3, ., 1999} sehingga selisih dari dua elemen berbeda dari L tidak sama dengan 4. Pelatihan MAN IC OKI 2018 12 Tubagus Dhafin Rukmanda Kumpulan Soal Latihan Kombinatorik 5 PIGEON HOLE PRINCIPLE 125. Pada suatu bidang terdapat n titik yang berkoordinat pasangan bilangan bulat. Nilai n terkecil agar terdapat dua titik yang titik tengahnya juga berkoordinat pasangan bilangan bulat adalah 126. Di lemari hanya ada 2 macam kaos kaki yaitu kaos kaki berwarna hitam dan putih. Ali, Budi dan Candra berangkat di malam hari saat mati lampu dan mereka mengambil kaos kaki secara acak di dalam lemari dalam kegelapan. Berapa kaos kaki minimal harus mereka ambil untuk memastikan bahwa akan ada tiga pasang kaos kaki yang bisa mereka pakai ? (Sepasang kaos kaki harus memiliki warna yang sama). 127. Dua buah kotak berisi bola. Jumlah total bola di kedua kotak tersebut adalah 65. Ada 4 buah warna bola : merah, putih, hitam dan hijau. Selain itu, jika kita mengambil 5 buah bola yang berwarna sama maka sekurang-kurangnya dua di antaranya memiliki ukuran yang sama. Buktikan bahwa salah satu kotak akan berisi sekurangkurangnya tiga buah bola dengan warna dan ukuran yang sama. 128. Jika diketahui m buah bilangan bulat a1 , a2 , a3 , · · · , am , tunjukkan bahwa ada bilangan bulat k dan s dengan 0 ≤ k < s ≤ m sedemikian sehingga ak+1 + ak+2 + · · · + as habis dibagi m. 129. Di antara bilangan-bilangan 1, 2, · · · , 200, jika 101 bilangan diambil, maka tunjukkan bahwa ada dua bilangan di antara yang terambil sedemikian sehingga yang satu habis dibagi yang lain. 130. Buktikan bahwa jika 100 bilangan diambil dari himpunan 1, 2, 3, · · · , 200 sedemikian sehingga sedikitnya satu diantaranya lebih kecil dari 15, maka ada dua di antara yang terpilih sehingga yang satu habis dibagi yang lain. 131. Misalkan bilangan-bilangan 1 sampai 20 ditempatkan dalam urutan bagaimana pun pada sebuah lingkaran. Tunjukkan bahwa : (a) ada tiga bilangan berdekatan yang jumlahnya sedikitnya 32 (b) ada empat bilangan berdekatan yang jumlahnya sedikitnya 42 132. Buktikan bahwa jika dalam sebuah grup 6 orang, setiap 2 orang hanya dapat selalu bersahabat atau selalu bermusuhan, maka ada sedikitnya 3 orang yang saling bersahabat atau saling bermusuhan satu sama lain. 133. Di dalam suatu pesta terdapat n orang dan mereka saling bersalaman. Jika di antara 2 orang tidak ada yang bersalaman lebih dari 1 kali, buktikan bahwa ada sedikitnya 2 orang bersalamaan dalam jumlah yang sama. 134. Diberikan 7 bilangan real. Buktikan bahwa kita dapat memilih dua di antaranya a−b katakan a dan b sehingga 0 ≤ 1+ab 6 1.Tentukan bentuk eksplisit dari an . 152. Tentukan banyaknya subhimpunan dari 1,2, ,n 153. Tentukan banyaknya subhimpunan dari 1,2,,10 yang tidak mengandung dua bilangan yang berurutan 154. Dhafin memiliki 15 koin ajaib. Setiap menit, ia kehilangan 1,2 atau 3 koin. Berapa banyak cara ia kehabisan koinnya? 155. a1 = a2 = a3 = 1, an+2 = an+1 + 5an + 3an−1 . Cari bentuk eksplisit dari an Pelatihan MAN IC OKI 2018 15 Tubagus Dhafin Rukmanda Kumpulan Soal Latihan Kombinatorik 6 RELASI REKURENSI 156. a1 = 1, a2 = 2, an = an+1 + an−1 . Cari bentuk eksplisit dari an . 157. a1 = a2 = 1, an+1 = 2an − an−1 + 3. Cari bentuk eksplisit dari an . 158. a1 = a2 = 1, an+1 + 3an−1 = 4an + 2n2 . Cari bentuk eksplisit dari an . 159. a1 = 1, a2 = 2, an+1 = nan − (n − 1)an−1 . Cari bentuk eksplisit dari an . 160. Terdapat persegi panjang ABCD berukuran 1 × n yang akan diisi oleh ubin dengan ukuran 1 × 1 dan 1 × 2. Berapa banyaknya cara menyusun ubin tersebut? 161. Diberikan bilangan asli k dan n. Sebuah lingkaran dibagi menjadi n juring: juring 1, juring 2, dan seterusnya hingga juring n. Setiap juring akan diwarnai tepat satu warna dari k warna yang disediakan dengan syarat tidaka da dua juring ayng berdekatan yang sama warna. Tentukan banyaknya cara pewarnaan n juring ini. 162. Selesaikan relasi rekurensi an − 2an−1 = 2n dengan a0 = 1. 163. Selesaikan relasi rekurensi an − 5an−1 + 6an−2 = 5n diberikan a0 = 1, a1 = 1. 164. Selesaikan sistem relasi rekurensi an + 2an−1 + 4bn−1 = 0 bn − 4an−1 − 6bn−1 = 0 diberikan a0 = 1, b0 = 0. 165. Selesaikan an = 3an−1 − 2an−2 diberikan a0 = 2, a1 = 3. 166. Selesaikan an − 6an−1 + 9an−2 = 0 diberikan a0 = 2, a1 = 3. 167. Selesaikan an = an−1 + an−2 2 diberikan a0 = 0, a1 = 1. Pelatihan MAN IC OKI 2018 16 Tubagus Dhafin Rukmanda Kumpulan Soal Latihan Kombinatorik 6 RELASI REKURENSI 168. Selesaikan 2an = an − 1 + 2an−2 − an−3 diberikan a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2. 169. Selesaikan an − 6an−1 + 11an−2 − 6an−3 = 0 diberikan a0 = 13 , a1 = 1, a2 = 2. 170. Tentukan solusi umum dari relasi rekurensi an = −an−1 + 16an−2 − 20an−3 diberikan a0 = 0, a1 = 1, a2 = −1. 171. Tentukan solusi umum dari relasi rekurensi an + an−1 − 3an−2 − 5an−3 − 2an−4 = 0 172. Selesaikan diberikan a0 = 2(3 + √ 1 an = an−1 − 3 2 3). 173. Selesaikan an − 3an−1 = 3 · 2n − 4n diberikan a1 = 2. 174. Selesaikan an − an−1 = 4n − 1 diberikan a0 = 1. 175. Selesaikan an + 3an−1 = 4n2 − 2n + 2n diberikan a0 = 1. 176. Selesaikan an − 4an−1 + 4an−2 = 2n diberikan a0 = 0, a1 = 3. 177. Selesaikan an − an−1 − 2an−2 = 4n diberikan a0 = −4, a1 = −5. Pelatihan MAN IC OKI 2018 17 Tubagus Dhafin Rukmanda Kumpulan Soal Latihan Kombinatorik 6 RELASI REKURENSI 178. Selesaikan an + an−1 − 2an−2 = 2n−2 diberikan a0 = a1 = 0. 179. Selesaikan an − 3an−1 + 2an−2 = 2n diberikan a0 = 0, a1 = 5. 180. Selesaikan an + 5an−1 + 6an−2 = 3n2 diberikan a0 = 0, a1 = 1. 181. Selesaikan an = 3an−1 2an−1 + 1 an = 3an−1 + 1 an−1 + 3 diberikan a0 = 14 . 182. Selesaikan diberikan a0 = 5. 183. Selesaikan sistem relasi rekurensi an+1 = an − bn bn+1 = an + 3bn diberikan a0 = −1 dan b0 = 5. 184. Selesaikan sistem relasi rekurensi an + 2an−1 + 4bn−1 = 0 bn − 4an−1 − 6bn−1 = 0 diberikan a0 = 1 dan b0 = 0. 185. Selesaikan sistem relasi rekurensi 10an = 9an−1 − 2bn−1 5bn = −an−1 + 3bn−1 diberikan a0 = 4 dan b0 = 3. Pelatihan MAN IC OKI 2018 18 Tubagus Dhafin Rukmanda Kumpulan Soal Latihan Kombinatorik 6 RELASI REKURENSI 186. Selesaikan sistem relasi rekurensi 3an − 2an−1 − bn−1 = 0 3bn − an−1 − 2bn−1 = 0 diberikan a0 = 2 dan b0 = −1. 187. Sebuah barisan (an ) barisan yang memenuhi an an−1 2 = an−1 an−2 dengan a0 = 14 .a1 = 1. Selesaikan relasi rekurensi tersebut. Pelatihan MAN IC OKI 2018 19 Tubagus Dhafin Rukmanda Kumpulan Soal Latihan Kombinatorik 6 RELASI REKURENSI Soal Latihan 1. Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasal dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. DIketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA ”A”. Jika urutan tampil diatur bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA ”A” tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak · · · 2. Banyaknya bilangan genap n dengan 3 digit, dimana n = abc sehingga 3 < b < c adalah · · · 3. Banyaknya cara menempatkan 10 kelereng identik ke dalam 5 kotak dengan setiap kotak memuat paling sedikit 1 kelereng adalah · · · 4. Sebuah toko makanan menyediakan es krim dengan 6 rasa berbeda. Banyak cara seseorang pembeli dapat memilih 5 es krim dengan 3 rasa berbeda adalah · · · 5. Banyak bilangan ratusan dengan angka pertama dan terakhir mempunyai selisih 3 adalah · · · 6. Enam anak, 3 laki-laki dan 3 perempuan, duduk berjajar. Peluang 3 perempuan duduk berdampingan adalah · · · 7. Tiga kelas masing-masing terdiri atas 30 siswa. Satu kelas di antaranya terdiri atas laki-laki saja. Satu siwa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih ketiganya laki7 laki adalah 36 . Peluang terpilih dua laki-laki dan satu perempuan adalah · · · 8. Kode kupon hadiah untuk belanja pada suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka 2, 4, 4, 6, 8. Jika kupon-kupon tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar, maka kupon dengan kode kurang dari 64000 ada sebanyak · · · 9. Dalam kantong terdapat bola yang diberi nomor 1,2,3,4, dan 5. Andi mengambil bola secara acak lalu mencatat nomornya dan tidak mengembalikannya. Andi melakukan pengambilan bola tersebut sebanyak tiga kali. Banyak cara Andi mendapatkan jumlah ketiga nomor bola yang diambilnya sama dengan 10 adalah · · · 10. Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil tepat 1 bola merah adalah · · · 11. Rumah di jalan Veteran dinomori secara urut mulai 1 sampai 150. Berapa banyak rumah yang nomornya menggunakan angka 8 sekurang-kurangnya satu kali? Pelatihan MAN IC OKI 2018 20 Tubagus Dhafin Rukmanda Kumpulan Soal Latihan Kombinatorik 6 RELASI REKURENSI 12. Suatu kelas terdiri atas 10 pelajar pria dan 20 pelajar wanita. Separuh pelajar pria memakai arloji dan separuh pelajar wanita juga memakai arloji. Jika dipilih satu pelajar, maka peluang yang terpilih wanita atau memakai arloji adalah · · · 13. Peluang mendapatkan satu kali jumlah angka 7 dalam tiga kali pelemparan dua dadu adalah 14. Huruf-huruf A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Z akan terlihat sama jika dilihat melalui sebuah kaca. Huruf-huruf ini dinamakan huruf simetri. Berapa banyak cara untuk memilih kata sandi yang terdiri dari 3 huruf dengan paling sedikit 2 huruf simetri? 15. Banyaknya bilangan asli yang lebih kecil dari 1000 dan terdiri dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5 adalah · · · 16. 10 orang yang mengunjungi restoran akan menempati 2 meja bundar. Meja bundar A berukuran besar untuk 6 orang dan meja bundar B untuk 4 orang. Banyaknya cara mereka menggunakan kedua meja tersebut adalah · · · 17. Panitia Perayaan Hari Kemerdekaan RI 17 Agustus yang terdiri dari 4 orang akan dipilih dari 4 pasang suami istri. Banyaknya cara pemilihan panitia tersebut jika .... (a) semua orang dapat dipilih (b) terdiri dari 2 pria dan 2 wanita (c) terdiri dari 3 pria dan 1 wanita (d) semua panitia harus pria 18. Koefisien suku tengah dari (32x)6 adalah · · · 19. Pada acara peringatan HUT RI di suatu universitas, diadakan acara pembagian hadiah. Saat pendaftaran, setiap peserta diberi sebuah kupon yang nantinya bisa ditukar dengan hadiah apabila nomor yang dimilikinya sesuai dengan nomor yang terambil pada saat pengocokan. Nomor-nomor yang dibagikan terdiri dari suatu huruf yang diikuti oleh dua angka yang berbeda dan angka kedua haruslah bilangan ganjil. Banyaknya nomor undian yang dibuat adalah · · · 20. Nomor pegawai pada suatu pabrik terdiri atas tiga angka dengan angka pertama bukan nol. Banyaknya nomor pegawai yang ganjil adalah · · · 21. Peluang Kris mendapat nilai A untuk matematika adalah 0,6 dan untuk bahasa Inggris 0,7. Peluang Kris hanya mendapatkan satu nilai A adalah · · · 22. A dan B pergi menonton konser musik di suatu stadion yang mempunyai 8 pintu. Mereka masuk dari pintu yang sama, tetapi keluar dari pintu yang berbeda. Banyaknya cara yang dapat mereka lakukan adalah · · · Pelatihan MAN IC OKI 2018 21 Tubagus Dhafin Rukmanda Kumpulan Soal Latihan Kombinatorik 6 RELASI REKURENSI 23. Sebuah kotak berisi 3 bola merah dan 7 bola hijau. Secara acak, dilakukan pengambilan 2 bola tanpa pengembalian. Peluang terambilnya 2 bola dengan warna berbeda adalah · · · 24. Dari huruf-huruf S, I, M, A, dan K akan disusun kata-kata yang tidak selalu bermakna. Peluang huruf vokal untuk selalu berdampingan adalah · · · Pelatihan MAN IC OKI 2018 22 Tubagus Dhafin Rukmanda |
Banyaknya bilangan 3 angka yang memuat sedikitnya satu buah angka 4 dan satu buah angka 5 adalah
Pos Terkait
Copyright © 2024 berikutyang Inc.
