Bagimanakah hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan keliling lingkaran?

Dalam sebuah lingkaran terdapat dua jenis sudut yang dapat terbentuk, yaitu sudut pusat dan sudut keliling. Lalu apakah sudut pusat dan keliling lingkaran ini?

Sudut pusat merupakan sudut yang terbentuk antara dua jari-jari lingkaran dan titik sudutnya adalah titik pusat lingkaran. Sedangkan sudut keliling adalah sudut yang terbentuk antara dua buah tali busur lingkaran dan titik sudutnya berada pada keliling lingkaran.

Jadi, perbedaan utama dari sudut pusat dan sudut keliling adalah elemen pembentuknya, dimana sudut pusat dibentuk oleh dua buah jari-jari dan sudut keliling dibentuk oleh dua buah tali busur.

Pada dasarnya, terdapat suatu hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling lingkaran. Jika keduanya menghadap busur yang sama, maka dapat dirumuskan sebagai berikut :

Sudut pusat = 2 x sudut keliling atau sudut keliling = 1/2 x sudut keliling

Untuk memperjelas pengertian sudut pusat dan sudut keliling, maka bisa mempelajari contoh soal dan pembahasan sudut pusat dan sudut keliling berikut ini!

Contoh soal :

Perhatikan gambar berikut!

Jika diketahui <A0B = 600 dan titik 0 merupakan titik pusat lingkaran, maka tentukanlah besar <APB!

Baca juga: Pengertian dan Cara Menghitung Diagram Lingkaran

Penyelesaian :

Berdasarkan gambar <A0B adalah sudut pusat yang menghadap busur AB dan <APB adalah sudut keliling yang menghadap busur AB. Dengan demikian :

Sudut keliling = 1/2 x sudut pusat

<APB = 1/2 x < A0B

<APB = 1/2 x 600 = 300

Sudut pusat dan sudut keliling memiliki beberapa sifat, diantaranya adalah sebagai berikut :

Sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran berbentuk siku-siku atau 900

<ACB adalah sudut keliling lingkaran yang menghadap diameter. Maka <ACB = 900

<ADB adalah sudut keliling lingkaran yang menghadap diameter. Maka, <ADB = 900

Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama, maka besar sudutnya sama.

<ACB dan <ADB adalah sudut keliling lingkaran yang sama-sama menghadap busur Ab. Maka <ACB = <ADB

Unknown 12:15:00 PM KONSEP

Dalam topik sebelumnya, kalian telah belajar tentang cara menghitung panjang busur dan luas juring lingkaran. Apakah kalian masih ingat?

Busur adalah garis lengkung yang merupakan bagian dari keliling lingkaran, maka untuk menentukan panjang busur lingkaran digunakan perbandingan dengan keliling lingkarannya. Adapun juring adalah daerah yang merupakan bagian dari daerah (luas) lingkaran, maka untuk menentukan luas juring lingkaran digunakan perbandingan dengan luas lingkarannya.

Mari kita perhatikan gambar berikut.

Pada gambar di atas, sudut pusat dari juring berwarna merah adalah ∠AOB = x°,
sedangkan sudut pusat dari juring berwarna biru adalah ∠COD = y°.

Jika panjang jari-jari lingkaran adalah r, maka perbandingan antara panjang busur AB
dan panjang busur CD adalah sebagai berikut:

Nah, bagaimanakah perbandingan antara luas juring AOB dan COD?

Yuk kita gunakan rumus untuk menghitung luas juring yang telah kalian pelajari pada topik sebelumnya untuk menentukan perbandingan antara luas juring AOB dan COD.

Berdasarkan dua uraian di atas, apa yang dapat kalian simpulkan?
Ya, perbandingan antara panjang busur AB dan CD memberikan hasil yang sama dengan perbandingan antara luas juring AOB dan COD.

Dengan demikian, panjang busur dan luas juring suatu lingkaran berbanding lurus dengan besar sudut pusatnya.

Sebelum Anda mempelajari bagaimana hubungan sudut pusat lingkaran dengan panjang busur lingkaran, Anda harus mengerti terlebih dahulu apa itu sudut pusat lingkaran dan apa itu panjang busur lingkaran. Sudut pusat dan panjang busur lingkaran merupakan unsur-unsur atau bagian-bagian dari lingkaran yang sangat penting anda ketahui.

Satu hal lagi yang Anda perlu ingat agar mudah memperlajari hubungan antara sudut pusat dengan panjang busur lingkaran yaitu cara mencari keliling lingkaran dan konsep perbandingan senilai atau seharga. Apa hubungannya perbandingan senilai dengan materi ini? Oke nanti akan dijelaskan secara mendetail. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini!

Pada gambar di atas sebuah lingkaran dengan jari-jari r memiliki sudut pusat AOB yang besarnya α (α baca: alfa) dan memiliki panjang busur garis lengukung AB. Kemudian apa yang terjadi jika sudut α diperbesar menjadi sudut β (β baca betta) seperti gambar di bawah ini?

Ternyata panjang busur lingkaran menjadi besar setelah sudut pusatnya diperbesar. Nah inilah yang disebut dengan perbandingan senilai atau seharga. Di mana semakin besar sudut pusat maka semakin besar panjang busurnya, begitu juga sebaliknya semakin kecil sudut pusatnya maka semakain kecil panjang busurnya. Sekarang bagaimana kalau sudut α tersebut diubah menjadi satu lingkaran penuh (360°)?

Ternyata setelah sudut pusat diubah menjadi satu lingkaran penuh (360°) maka panjang busur lingkaran menjadi keliling lingkaran. Nah dari pernyataan tersebut dapat diperoleh hubungan antara sudut pusat, panjang busur dengan keliling lingkaran yaitu panjang busur per keliling lingkaran sama dengan besarnya sudut pusat per sudut satu lingkaran penuh (360°). Secara matematis pernyataan tersebut dapat dirumuskan:

Panjang busur/keliling = sudut pusat/360°

Contoh soal:

Perhatikan gambar berikut.

Jika panjang busur AB = 45 cm, maka berapakah panjang busur CD?

Penyelesaian:

Hubungan Sudut Pusat dengan Sudut Keliling

Sudut pusat adalah sudut yang dibatasi oleh dua jari-jari lingkaran dan titik sudutnya merupakan titik pusat lingkaran Sudut keliling adalah sudut yang dibatasi oleh dua talibusur dan titik sudutnya terletak pada keliling tepi lingkaran.

Perhatikan gambar diatas, ∠AOC dinamakan dengan sudut pusat, dan ∠ABC dinamakan dengan sudut keliling.

Pada gambar berikut ini, ∠AOC adalah sudut pusat dan ∠ABC adalah sudut keliling dimana keduanya menghadap busur AC.

Ketika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, maka besar sudut pusat adalah dua kali dari besar sudut keliling.

Sudut pusat = 2 × sudut keliling Sudut keliling = ½ sudut pusat

BESAR SUDUT KELILING YANG MENGHADAP DIAMETER LINGKARAN Perhatikan gambar berikut ini.

Sudut pusat AOB menghadap busur AB(besar ∠AOB = 180°, karena merupakan setengah lingkaran). Perhatikan juga bahwa sudut keliling ACB juga menghadap busur AB, sehingga berdasarkan hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling diperoleh: Sudut pusat = 2 × sudut keliling ∠AOB = 2 ×∠ACB 180° = 2 ×∠ACB ∠ACB = 1/2 × 180° = 90° Maka dapat disimpulkan:

Sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya 90° (sudut siku-siku)

SUDUT-SUDUT KELILING YANG MENGHADAP BUSUR YANG SAMA

∠ACB,∠ADB,dan ∠AEB adalah sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama yaitu busur AB. ∠AOB adalah sudut pusat yang juga menghadap busur AB. Berdasarkan hubungan sudut pusat dan sudut keliling yaitu: Sudut keliling = ½ sudut pusat Maka: ∠ACB = 1/2 × ∠AOB ∠ADB = 1/2 × ∠AOB