Kegiatan Belajar : Barisan dan Deret Aritmatika Kompetensi Dasar : Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika Tujuan Pembelajaran : Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, diharapkan agar siswa dapat : 1. Menjelaskan barisan dan deret aritmatika. 2. Menentukan suku ke-n suatu barisan aritmatika. 3. Menentukan jumlah n suku suatu deret aritmatika. 4. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan deret aritmatika.
A. Barisan Aritmatika
 Perhatikan barisan bilangan berikut ini : a. 1, 3, 5, 7, ..., 99 b. 2, 4, 6, 8, ..., 100 c. 16, 13, 10, 7, ..., - 56. Dari beberapa barisan bilangan di atas tampak bahwa antara suku – suku pada barisan itu memiliki pola tertentu yaitu selisih antara dua suku yang berurutan selalu sama (tetap). Barisan dengan pola tersebut dinamakan barisan aritmetika. Selisih tetap antara dua suku berurutan disebut dengan beda (b). Jadi b = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = .... = Un – Un-1. Jika suku pertama (U1) dinyatakan a, selisih (beda) antara dua suku berurutan diberi notasi b dan suku barisan ke-n dilambangkan dengan Un maka maka bentuk umum barisan arimetika dinyatakan sebagai berikut: U1 = a = a + 0.b = a + (1 – 1)b U2 = U1 + b = a + b = a + 1.b = a + (2 – 1)b U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2.b = a + (3 – 1)b U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3.b = a + (4 – 1)b dst Jadi rumus suku ke-n barisan aritmatika Un = a + (n – 1)b dengan b = Un – Un-1 sebuah konstanta yang tidak tergantung dengan nilai n. Contoh : 1. Tentukan suku pertama, beda, rumus suku ke-n dan suku ke-12 dari barisan 4, 8, 12, 16, ... Jawab : Suku pertama U1 = a = 4 Beda (b) = U2 – U1 = 8 – 4 = 4 Rumus suku ke-n (Un) = a + (n – 1)b = 4 + (n – 1)4 = 4 + 4n – 4 = 4n Suku ke-12 (U12) = 4.12 = 48 2. Suatu perusahaan pada tahun pertama memproduksi 5.000 unit barang. Pada tahun berikutnya produksi turun secara bertahap sebesar 80 unit per tahun. Pada tahun ke berapa perusahaan tersebut memproduksi 3.000 unit barang. Jawab : Penurunan produksi bernilai tetap, merupakan persoalan barisan aritmatika dengan beda (b) = - 80, a = 5.000 dan Un = 3.000 sehingga didapat Un = a + (n – 1)b 3.000 = 5.000 + (n – 1).(- 80) 3.000 = 5.000 – 80n + 80 80n = 2.000 + 80 80n = 2.080 n =26 Jadi, perusahaan memproduksi 3.000 unit barang terjadi pada tahun ke – 26. 3. Diketahui barisan aritmetika dengan suku kelima sama dengan 5 dan suku kesepuluh sama dengan 15. Tentukan suku ke-20 dari barisan tersebut. Jawab : U5 = 5 ® a + (5 – 1)b = 5 ® a + 4b = 5 U10 = 15 ® a + (10 – 1)b = 15 ® a + 9b = 15 ---------------- - -5b = - 10 b = 2 a + 4b = 5 a + 4.2= 5 a + 8 = 5 a = - 3 U20 = a + (20 – 1)b = - 3 + 19.2 = - 3 + 38 = 35 Sifat Barisan Aritmetika : Jika bilangan berurutan a, b dan c membentuk barisan aritmetika maka terdapat hubungan sebagai berikut : 2b = a + c atau 2 × suku tengah = jumlah suku tepi. Contoh : Tentukan nilai p agar suku – suku 3, 4p, 13 membentuk barisan aritmetika. Jawab : 2(4p) = 3 + 13 8p = 16 p = 2 Suku Tengah Barisan Aritmetika. Misalkan suatu barisan aritmetika dengan banyak suku ganjil (2k – 1) dengan k ≥ 2. Suku tengah barisan aritmetika tersebut adalah suku ke – k dan ditentukan dengan rumus
Contoh : Diberikan barisan aritmetika : 1, 3, 5, ..., 25 a. Tentukan suku tengahnya. b. Suku ke berapakah suku tengahnya. c. Tentukan banyak suku barisan tersebut. Jawab : a. Misal banyak suku barisan tersebut ganjil sebesar 2k – 1. a = 1, b = 2, Un = U2k – 1 = 25 Suku tengah Uk = 13 b. Uk = 13 a + (k – 1)b = 13 1 + (k – 1)2 = 13 1 + 2k – 2 = 13 2k – 1 = 13 2k = 14 k = 7 Jadi suku tengahnya merupakan suku ke – 7. c. Banyak suku barisan tersebut adalah 2k – 1 = 2(7) – 1 = 13. Sisipan Barisan Aritmetika. Di antara dua bilangan x dan y disisipkan k buah bilangan sehingga bilangan – bilangan semula dengan bilangan – bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmetika. Beda barisan yang terbentuk ditentukan dengan rumus
Contoh : Di antara bilangan 3 dan 90 disisipkan 28 buah bilangan sehingga bilangan – bilangan semula dengan bilangan – bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmetika. Tentukan beda barisan yang terbentuk. Jawab : Beda b = 3 B. Deret Aritmetika (Deret Hitung) Deret aritmetika merupakan jumlahan beruntun suku – suku barisan aritmetika. Jika U1, U2, U3, ..., Un merupakan barisan aritmetika maka U1 + U2 + U3 + ... + Un merupakan deret aritmetika dengan Un adalah suku ke-n. Jumlah n suku pertama deret tersebut ditulis Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un Sn = a + (a+b) + (a+2b) + ... + (a+(n-1)b) ......... (i) Jika urutan penulisan suku – suku dibalik maka diperoleh Sn = Un + (Un-b) + (Un-2b) + ... + a ....................... (ii) Dengan menjumlahkan persamaan (i) dan (ii) diperoleh
dengan Sn : jumlah n suku pertama Un : suku ke – n a : suku pertama b : beda n : banyak suku Untuk setiap n berlaku Un = Sn – Sn-1 Contoh : 1. Diketahui rumus suku ke – n suatu deret aritmetika Un = 6 – 2n. Hitunglah jumlah 20 suku pertamanya. Jawab : U1 = 6 – 2.1 = 4 U20 = 6 – 2.20 = - 34 S20 = - 300 Jadi jumlah 20 suku pertamanya adalah – 300. 2. Hitung jumlah deret 4 + 9 + 14 + ... + 104 Jawab : a = 4, b = 5, Un = 104 Un = a + (n – 1)b 104= 4 + (n – 1).5 104= 4 + 5n – 5 104= - 1 + 5n 105=5n n = 21 S21 = 1.134 3. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika : 11 + 16 + 21 + .... Jawab : a = 11, b = 16 – 11 = 5, n = 10 Sn = (n-1)b) S10 = 335 4. Gaji seorang karyawan setiap bulan dinaikkan sebesar Rp. 50.000,00. Jika gaji pertama karyawan tersebut Rp. 1.000.000,00, tentukan gaji selama satu tahun pertama. Jawab : a = 1.000.000, b = 50.000, n = 12 bulan S12 = 15.300.000 Jadi, jumlah gaji karyawan tersebut selama setahun adalah Rp. 15.300.000,00 5. Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn = 2n2 – 3n + 5. Tentukan suku kesepuluh deret tersebut. Jawab : Sn = 2n2 – 3n + 5 Sn-1 = 2n2 – 7n + 10 ----------------------------- - Un = 4n – 5 Jadi U10 = 4.10 – 5 = 35 C. Latihan 2 1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan – 5, - 1, 3, 7, ... 2. Diberikan barisan aritmetika dengan suku ketiga = 16 dan suku keenam = 7. Tentukan suku kedelapan. 3. Suku pertama sebuah barisan aritmetika adalah 10 dan beda 5. Tentukan suku kesebelas. 4. Sebuah perusahaan velg ban menargetkan peningkatan jumlah produksi 750 pasang velg ban setiap bulan. Jika pada bulan Februari 2011 produksinya telah mencapai 45.000 velg, tentukan produksi pada bulan Desember 2011 dan jumlah produksi selama periode tersebut. 5. Tentukan banyak bilangan yang habis dibagi 5 antara 1 sampai dengan 100. 6. Rumus umum jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah Sn = 2n2 – 3n + 5. Tentukan suku kesepuluh deret tersebut. 7. Simpanan wajib bulanan seorang anggota sebuah koperasi setiap tahun selalu naik Rp. 5.000,00 dari tahun sebelumnya. Jika simpanan wajib pada tahun pertama Rp. 10.000,00 tiap bulan maka tentukan jumlah simpanan wajib anggota koperasi tersebut setelah 8 tahun. 8. Diketahui barisan aritmetika 36, 30, 24, ... Tentukan jumlah 15 suku pertamanya. 9. Suku ke-6 dari suatu barisan aritmetika adalah 19 dan suku ke-10 adalah 30. Tentukan jumlah 10 suku pertamanya. 10. Jumlah deret aritmetika 3 + 5 + 7 + 9 + ... adalah 1.763. Tentukan banyak suku dan suku terakhir deret tersebut.
Video Pembelajaran Barisan dan Deret aritmetika : Sebagai referensi lain, disajikan video pembelajaran dari youtube dengan link : https://www.youtube.com/watch?v=nMsPeHoiYrY
Page 2 |
Sebuah perusahaan velg ban menargetkan peningkatan jumlah produksi 750 pasang velg ban
Pos Terkait
Copyright © 2024 berikutyang Inc.
