Dalam pelajaran matematika, Persamaan kuadrat merupakan sebuah persamaan dari variabel yang memiliki pangkat tertinggi dua. Show Atau juga ada yang mengatakan jika persamaan kuadrat ini adalah persamaan polinomial (suku banyak) yang mempunyai orde (pangkat) dua. Lantas, bagaimana bentuk serta cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini? Simak uraian selengkapnya di bawah ini ya. Persamaan kuadarat sering juga disebut sebagai persamaan parabola. Sebab, apabila bentuk persamaan kuadrat digambarkan ke dalam gambar koordinat xy maka akan membentuk grafik parabolik. Persamaan kuadrat dalam x bisa kita tuliskan ke dalam bentuk umum seperti berikut: Bentuk Umum Persamaan Kuadrat y = ax2 + bx + c Dengan a, b, c ∈ R serta a ≠ 0 Keterangan:
Penyelesaian atau pemecahan dari suatu persamaan ini disebut sebagai akar-akar persamaan kuadrat. Sedangkan, untuk pengertian dari kuadrat itu sendiri merupakan akar kuadrat dari bilangan x sama dengan bilangan r sedemikian sehingga r2 = x, atau, di dalam kata lain, bilangan r yang jika kita kuadratkan (hasil kali dengan bilangan itu sendiri) nilainya akan sama dengan x. Persamaan KuadratDari uraian di atas, maka dapat kita ketehui bahwa nilai koefisen a, b, dan c yang menentukan bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam koorinat xy.
Berikut ulasan selengkapnya.
Apabila nilai a>0 parabola akan terbuka ke atas, apabila a<0 parabola akan terbuka ke bawah. Perhatikan gambar di bawah ini:
Koefisen b dalam menentukan posisi x sebagai puncak parabla atau sumbu simetri dari kurva yang terbentuk senilai x = –b/2a. Perhatikan gambar di bawah ini:
Perhatikan gambar di bawah ini: Macam – macam Akar Persamaan KuadratUntuk mengetahui berbagai macam dari akar persamaan kuadrat, kita juga bisa mengetahuinya dengan memakai rumus D = b2 – 4ac. Apabila terbentuk nilai D maka kita akan dengan mudah dapat menemukan berbagai akarnya. Berikut ini adalah beberapa jenis dari persamaan kuadrat secara umum, antara lain: 1. Akar Real ( D ≥ 0 ) :»Akar real berlainan jika diketahui= D > 0 Sebagai contoh: Tentukan jenis akar dari persamaan di bawah ini: Jawab: Dari persamaan = x2 + 4x + 2 = 0, maka dapat kita ketahui: Diketahui : Penyelesaian:
»Akar real sama x1 = x2 jika diketahui D = 0 Sebagai contoh: Buktikan jika persamaan di bawah ini mempunyai akar real kembar: Jawab: Dari persamaan tersebut yaitu: = 2×2 + 4x + 2 = 0, maka Diketahui: Penyelesaian:
2. Akar Imajiner/ Tidak Real ( D < 0 )Sebagai contoh: Tentukanlah jenis akar dari persamaan di bawah ini: Jawab: Dari persamaan tersebut yakni: = x2 + 2x + 4 = 0, maka Diketahui: Penyelesaian:
3. Akar Rasional ( D = k2 )Sebagai contoh: Tentukan jenis akar dari persamaan di bawah ini: Jawab: Dari persamaan tersebut yakni: = x2 + 4x + 3 = 0, maka Diketahui: Penyelesaian:
Sifat – Sifat Akar Persamaan KuadratPersamaan kuadrat juga memiliki beberapa jenis, berikut adalah beberapa jenis dan juga sifatnya, selengkapnya simak ulasan di bawah ini: Akar – akar persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh adanya nilai diskriminan (D = b2 – 4ac) di mana hal itu yang membedakan jenis akar – akar persamaan kuadrat menjadi 3, diantaranya yaitu:
Bentuk dari perluasan untuk akar – akar real, antara lain: 1. Kedua Akar Positif Kedua akarnya positif apabila: x1 + x2 > 0 x1 x2 > 0 2. Kedua Akar Negatif Kedua akarnya negatif apabila: x1 + x2 < 0 x1 x2 > 0 3. Kedua Akar Berlainan Tanda Kedua akar berlainan tanda apabila: x1 x2 < 0 4. Kedua Akar Bertanda Sama Kedua akar bertanda sama apabila: x1 x2 > 0 5. Kedua Akar Saling Berlawanan Kedua akar saling berlawanan apabila: x1 + x2 = 0 (b = 0) x1 x2 < 0 6. Kedua Akar Saling Berkebalikan Kedua akar saling berkebalikan apabila: x1 + x2 = 1 (c = a) Mencari Akar-akar Persamaan KuadratTerdapat tiga cara atau metode dalam mencari akar-akar untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Antara lain yakni dengan cara: faktorisasi, kuadrat sempurna serta dengan memakai rumus abc. Berikut penjelasan untuk masing-masing cara mencari akar-akar persamaan kuadrat. 1. Faktorisasi Faktorisasi atau pemfaktoran adalah suat metode atau cara dalam mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan mencari nilai yang apabila dikalikan akan menghasilkan nilai lain. Terdapat tiga bentuk persamaan kuadrat dengan faktorisasi akar-akar yang berbeda, diantaranya yaitu:
Untuk lebih memahami uraian di atas, perhatikan contoh soal di bawah ini: Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan metode faktorisasi 5x2+13x+6=0! Jawab: 5x2 + 13x = 6 = 0 5x2 + 10x + 3x + 6 = 0 5x(x + 2) + 3(x + 2) = 0 (5x + 3)(x + 2) = 0 5x = -3 x = -3/5, atau x = -2 Sehingga, himpunan penyelesaian HP = (-3/5, -2) 2. Kuadrat Sempurna Tidak seluruh persamaan kuadrat dapat dicari nilainya dengan menggunakan cara faktorisasi. Terdapat metode atau cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Bentuk persamaan kuadrat sempurna merupakan bentuk persamaan di mana akan menghasilkan bilangan rasional. Penyelesaian dari persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat pada umumnya memakai rumus seperti berikut: (x+p)2 = x2 + 2px + p2 Kemudian ubah menjadi bentuk persamaan di dalam (x+p)2 = q Penyelesaian: (x+p)2 = q x+p = ± q x = -p ± q Untuk lebih memahami uraian di atas mengenai bentuk kuadrat sempurna, perhatikan contoh soal di bawah ini: x2 + 6x + 5 = 0 Jawab: x2 + 6x +5 = 0 Ubah menjadi x2 + 6x = -5 Tambahkan satu angka di ruas kiri dan juga ruas kanan supaya berubah menjadi kuadrat sempurna. Penambahan angka ini diambil dari separuh angka koefisien yang berasal dari nilai x atau separuhnya 6 yang dikuadratkan yaitu 32=9. Lalu, tambahkan angka 9 di ruas kiri dan juga ruas kanan, sehingga persamaannya akan berubah menjadi: x2 + 6x + 9 = -5 + 9 x2 + 6x + 9 = 4 (x+3)2 = 4 (x+3) = √4 x = 3 ± 2 x = 2-3 x = -1 x = -2-3 x = -5 Sehingga nilai hasil akhirnya adalah, x= -1 atau x = -5 3. Rumus Kuadrat atau Rumus ABC Selain dengan memakai cara faktorisasi serta dengan melengkapi kuadrat sempurna, persamaan kuadrat juga bisa diselesaikan dengan memakai rumus kuadrat atau biasa juga dikenal dengan sebutan rumus abc. Rumus atau Formula Nilai akar-akar persamaan kuadrat ax +bx + c = 0 diselesaikan dengan menggunakan rumus abc seperti berikut: Untuk lebih memahami uraian di atas, perhatikan contoh soal di bawah ini: x2 + 4x – 12 = 0 Jawab: x2 + 4x – 12 = 0 a=1, b=4, c=-12 Menyusun persamaan kuadrat baruMenyusun persamaan jika telah diketahui akar-akarnyaApabila sebuah persamaan kuadrat mempunyai akar-akar x1 serta x2 maka persamaan kuadratnya bisa dinyatakan ke dalam bentuk: (x- x1)(x- x2)=0 Sebagai contoh: Tentukan persamaan kuadrat di mana akar akarnya yaitu -2 dan 3. Jawab: x1 =-2 dan x2=3 (x-(-2))(x-3)=0 (x+2)(x+3) x2-3x+2x-6=0 x2-x-6=0 Menyusun persamaan kuadrat jika telah diketahui jumlah serta hasil kali akar-akarnya.Apabila telah diketahui sebuah persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar x1dan x2 serta diketahui (x1+ x2) dan (x1.x2) maka persamaan kuadratnya bisa dibentuk menjedi seperti berikut: x2-( x1+ x2)x+(x1.x2)=0 Sebagai contoh: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan juga -1/2! Jawab: x1=3 dan x2= -1/2 x1+ x2=3 -1/2 =6/2 – 1/2 = 5/2 x1.x2 = 3 (-1/2) = -3/2 Sehingga, persamaan kuadratnya yaitu: x2-( x1+ x2)x+(x1.x2)=0 x2– 5/2 x – 3/2=0 (masing-masing ruas dikali 2) 2x2-5x-3=0 Contoh Soal dan PembahasanSoal 1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat Apabila bentuk umum dari persamaan x2 – 4 = 3(x – 2) merupakan ax2 + bx + c = 0, maka nilai a, b, dan c berturut-turut adalah …. A. 1, -3, 2 B. 1, -2, 3 C. 1, 3, -2 D. 1, -3, -10 Jawab: Untuk menentukan nilai a, b, dan c maka kita harus merubah bentuk soal menjadi bentuk umum terlebih dahulu. Caranya: ⇒ x2 – 4 = 3(x – 2) Jawaban: A Soal 2. Akar Persamaan Kuadrat Apabila salah satau akar dari persamaan kuadrat x2 – 4x + c = 0 yaitu 2, maka nilai c yang memenuhi persamaan itu yakni …. A. c = 2 B. c = 4 C. c = -4 D. c = -6 Jawab: Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah mensubstitusikan nilai x = 2 ke persamaannya, sehingga: ⇒ x2 – 4x + c = 0 ⇒ c = 4 Jawaban: B Soal 3. Menentukan Akar Persamaan Kuadrat Apabila salah satu akar dari persamaan kuadrat x2 + 2x + c = 0 yaitu 3, maka akar lainnya ialah …. A. x = 5 B. x = 3 C. x = -5 D. x = -15 Jawab: Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah mensubstitusikan nilai x = 3 untuk mengetahui nilai c: ⇒ x2 + 2x + c = 0 ⇒ c = -15 Langkah kedua yang harus kita lakukan adalah mensubstitusikan nilai c sehingga persamaanya menjadi: ⇒ x2 + 2x + c = 0 Kemudia menentukan nilai akarnya dengan pemfaktoran: ⇒ (x + 5)(x – 3) = 0 Jawaban: C Soal 4. Himpunan Penyelesaian Persamaan Kuadrat Himpunan penyelesaian dari persamaan: x2 + 5x + 6 = 0 yaitu … A. {-2, -3} B. {-2, 3} C. {-3, 2} D. {3, 4} Jawab: Dengan menggunakan cara pemfaktoran, maka: ⇒ x2 + 5x + 6 = 0 ⇒ (x + 2)(x + 3) = 0 ⇒ x = -2 atau x = -3 ⇒ HP = {-2, -3} Jawaban: A Soal 5. Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat Apabila akar-akar persamaan x2 – 3x – 10 = 0 ialah x1 dan x2, maka hasil dari x1 + x2 sama dengan … A. x1 + x2 = 3 Jawab: Dengan menggunakan cara pemfaktoran, maka: ⇒ x2 – 3x – 10 = 0 ⇒ (x + 2)(x – 5) = 0 ⇒ x1 = -2 atau x2 = 5 Jumlah akar-akarnya yaitu: ⇒ x1 + x2 = -2 + 5 Dengan menggunakan metode cepat, yaitu: Dari x2 – 3x – 10 = 0 Jumlah akarnya yaitu: ⇒ x1 + x2 = -b/a Jawaban: A Soal 6. Menentukan Akar Lainnya dari Persamaan Kuadrat Salah satu akar dari persamaan 3x2 – 2x + c = 0 ialah 2, akar lainnya yaitu …. A. -4/5 B. -4/3 C. 3/4 D. 4/3 Jawab: Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah mensubstitusikan nilai x = 2 ke persamaan: ⇒ 3x2 – 2x + c = 0 ⇒ c = -8 Langkah kedua yang harus kita lakukan adalah mensubstitusikan nilainilai c sehingga persamaannya menjadi: ⇒ 3x2 – 2x + c = 0 Dengan menggunakan metode pemfaktoran: ⇒ 3x2 – 2x – 8 = 0 ⇒ (3x + 4)(x – 2) = 0 ⇒ x = -4/3 atau x = 2 Sehingga, akar lainnya yaitu -4/3. Jawaban: B Soal 7. Menentukan Nilai koefisien Persamaan Kuadrat Apabila akar-akar dari persamaan x2 + bx + c = 0 yaitu -1 dan 3, maka nilai b yang memenuhi persamaan itu ialah ….. A. b = 4 B. b = 2 C. b = -1 D. b = -2 Jawab: Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah mensubstitusikan nilai x = -1 ke persamaan: ⇒ x2 + bx + c = 0 ⇒ c = b – 1 …. (1) Langkah kedua yang harus kita lakukan adalah mensubstitusikan nilai x = 3 ke persamaan: ⇒ x2 + bx + c = 0 ⇒ 3b + c = -9 …. (2) Kemudian mensubsitusikan persamaan (1) ke persamaan (2), sehingga: ⇒ 3b + c = -9 ⇒ 3b + (b – 1) = -9 ⇒ 4b – 1 = -9 ⇒ 4b = -9 + 1 ⇒ 4b = -8 ⇒ b = -2 Jawaban: D Soal 8. Melengkapi Kuadrat Sempurna Bentuk kuadrat sempurna dari persamaan x2 – 6x – 7 = 0 yaitu… A. (x + 3)2 = 16 Jawab: Langkah pertama adalah membentuk kuadrat sempurna dengan cara mengubah bentuk ax2 + bx + c = 0 menjadi x2 + b/ax = -c/a. Bentuk kuadrat sempurnanya yaitu: ⇒ x2 – 6x – 7 = 0 Kedua adalah semua ruas sama-sama ditambah dengan bilangan yang sama, sehingga: Jawaban: B Soal 9. Menentukan Jenis Akar Persamaan Kuadrat Jenis akar-akar dari persamaan x2 – 4x + 4 = 0 yaitu … A. Real kembar B. Real berbeda C. Imajiner D. Real berlawanan tanda Jawab: Berdasarkan dari nilai akarnya, kita memakai cara pemfaktoran, yaitu: ⇒ x2 – 4x + 4 = 0 ⇒ (x – 2)(x – 2) = 0 ⇒ x = 2 atau x = 2 Yang artinya, akarnya real kembar. Metode kedua adalah: Tinjau nilai diskriminannya, maka: ⇒ D = b2 – 4ac ⇒ D = 0 Untuk D = 0, akarnya ialah real kembar. Jawaban: A Soal 10. Menyusun Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat yang akar-akarnya -2 serta 3 yaitu …. A. x2 – 2x – 6 = 0 Jawab: Persamaan kuadratnya ialah: ⇒ (x – x1)(x – x2) = 0 ⇒ (x – (-2))(x – 3) = 0 ⇒ (x + 2)(x – 3) = 0 ⇒ x2 – 3x + 2x – 6 = 0 ⇒ x2 – x – 6 = 0 Jawaban: C Baca juga: Fungsi Kuadrat Demikianlah ulasan singkat terkait Persamaan Kuadrat yang dapat kami sampaikan. Semoga ulasan di atas mengenai Persamaan Kuadrat dapat kalian jadikan sebagai bahan belajar kalian. |