Blog Koma - Pada rumus ABC sebelumnya , $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \, $ , bentuk $ D = b^2 - 4ac \, $ disebut sebagai nilai Diskriminan. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dapat ditentukan berdasarkan nilai Diskriminannya $(D) \, $ . Berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ , persamaan kuadrat memiliki akar-akar maksimal sebanyak dua yaitu $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ . Adapun jenis-jenis akar persamaan kuadratnya :
(i). Jika $ D \geq 0 \, , $ maka kedua akarnya nyata (real) (ii). Jika $ D > 0 \, , $ maka kedua akarnya nyata (real) dan berbeda (iii). Jika $ D = 0 \, , $ maka kedua akarnya nyata (real) dan sama (kembar) (iv). Jika $ D < 0 \, , $ maka kedua akarnya tidak nyata (imajiner) atau tidak punya akar real
(v). Jika $ D = p^2 \, $ (dengan $ p \, $ bilangan bulat) , maka kedua akarnya rasional.
Dari kelima jenis akar di atas, tentu sobat bingung ya? OK, kami akan jelaskan tentang apa itu bilangan real, imajiner dan rasional.
Bilangan Real dan Imajiner
Misalkan ada bilangan $ a = \sqrt{-1} \, $ , bilangan yang memuat bentuk $ \sqrt{-1} \, $ inilah yang disebut dengan bilangan imajiner. Bentuk $ \sqrt{-1} \, $ biasanya disimbulkan dengan $ i \, $ dengan nilai $ i = \sqrt{-1} \, $ . Sementara bilangan real adalah bilangan yang tidak memuat bentuk $ \sqrt{-1} \, $ . Bilangan real termasuk semua bilangan bulat, pecahan, prima, rasional , irrasional, dan lainnya. Contoh bilangan imajiner : (i). $ \sqrt{-3} \, $ , karena $ \sqrt{-3} = \sqrt{3.(-1)} = \sqrt{3}.\sqrt{-1}=\sqrt{3}i $ (ii). $ - \sqrt{-1} \, $ , karena $ - \sqrt{-1} = - i $Bilangan Rasional
Bilangan rasional merupakan bilangan yang dapat dirubah dalam bentu pecahan $ \frac{a}{b} \, $ dengan $ a \, $ dan $ b \, $ bilangan bulat. contoh bilangan rasional : (i). $ 4 \, $ , karena $ 4 = \frac{4}{1} = \frac{8}{2} = \frac{12}{3} = .... $ (ii) . $ \frac{-3}{5} \, $ , jelas karena sudah berbentuk pecahan. (iii). $ 0,555555.... \, $ , karena $ 0,555555.... = \frac{5}{9} $ sementara bentuk akar bukan bilangan rasional (contoh $\sqrt{2} \, $ ) tetapi disebut bilangan irrasional.Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan hasil gabungan dari bilangan real dengan bilangan imajiner atau salah satunya, artinya bilangan kompleks adalah bilangan yang cakupannya paling luas. contoh bilangan kompleks : (i). $ 3-\sqrt{-2} \, $ , gabungan dari real dan imajiner . (ii). 2 , bilangan real saja. (iii). $ \sqrt{-5} \, $ , bilangan imajiner saja. Kita kembali pada jenis-jenis akar, berdasarkan nilai diskriminannya ($D$) , akar-akar PK dibagi menjadi lima jenis seperti yang tercantum di atas yaitu real, real beda, real sama/kembar, imajiner, dan rasional. Untuk lebih jelasnya, kita lihat contoh berikut.
Contoh 1.
Agar persamaan kuadrat $ 2x^2 -3x + p-1 = 0 \, $ memiliki akar kembar(sama), tentukan nilai $ p \, $ yang memenuhi.
Penyelesaian : $\spadesuit \, $ PK : $ 2x^2 -3x + p-1 = 0 \rightarrow a = 2, \, b=-3 , \, c = p-1 $ $\spadesuit \, $ Syarat akar kembar : $ D = 0 $ $\begin{align} D = b^2 - 4ac & = 0 \\ (-3)^2 - 4.2.(p-1) & = 0 \\ 9 - 8(p-1) & = 0 \\ 9 - 8p+8 & = 0 \\ 17 - 8p & = 0 \\ 8p & = 17 \\ p & = \frac{17}{8} \end{align}$
Jadi, agar akarnya kembar nilai $ p = \frac{17}{8} . \heartsuit $
Contoh 2.
Persamaan kuadrat $ x^2 - mx + \left( \frac{1}{2}m+2 \right) = 0 \, $ mempunyai akar real (nyata), tentukan nilai $ m \, $ yang memenuhi?
Penyelesaian : $\clubsuit \,$ PK $ x^2 - mx + \left( \frac{1}{2}m+2 \right) = 0 $ $ a = 1 , \, b = -m, \, c = \frac{1}{2}m+2 $ $\clubsuit \,$ Syarat akar-akar real : $ D \geq 0 $ $\begin{align} D = b^2 - 4ac \geq 0 \\ (-m)^2 - 4.1.\left( \frac{1}{2}m+2 \right) \geq 0 \\ m^2 - 2m-8 \geq 0 \\ (m+2)(m-4) \geq 0 \\ m = -2 \vee m & = 4 \end{align}$
Semoga materi "jenis-jenis akar" ini bisa bermanfaat. Terima kasih untuk kunjungannya ke blog ini.
Syarat persamaan kuadrat memiliki akar kembar adalah mempunyai nilai diskriminan sama dengan
a.
Mempunyai dua akar real berbeda
b.
Mempunyai dua akar real berbeda
c.
Mempunyai dua akar kembar.
d.
Mempunyai dua akar real berbeda
Jadi, jawaban yang tepat adalah C
Video yang berhubungan
Persamaan kuadrat adalah bentuk persamaan yang ditandai melalui pangkat tertinggi variabelnya sama dengan dua. Bentuk umum persamaan kuadrat dinyatakan melalui y = ax2 + bx + c dengan a, b, dan c merupakan suatu bilangan. Persamaan kuadrat dapat memiliki dua akar real berbeda, dua akar real kembar, atau imaginer (akar-akar tidak real).
Sayarat agar persamaan kuadrat mempunyai dua akar real adalah memiliki nilai diskriminan positif (D > 0). Sementara agar persamaan kuadrat mempunyai akar real kembar/sama adalah memiliki nilai diskriminan sama dengan nol (D = 0). Dan untuk syarat agar persamaan kuadrat mempunyai akar-akar tidak real adalah memiliki nilai diskrimianan negatif (D < 0).
Baca Juga: Langkah-Langkah Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Bagaimana bentuk persamaan kuadrat agar mempunyai dua akar real? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.
Table of Contents
Hubungan Nilai Diskriminan dengan Banyaknya Akar pada Persamaan Kuadrat
Diskriminan biasanya disimbolkan dengan huruf D adalah besaran yang dapat digunakan untuk membedakan jenis akar persamaan kuadrat. Jenis akar persamaan kuadrat dapat berupa akar-akar real atau akar-akar imaginer (tidak real).
Nilai diskriminan untuk persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah D = b2 ‒ 4ac. Hasil perhitungan nilai diskriminan dapat digunakan untuk mengetahui jenis akar-akar dari suatu persamaan kuadrat.
- Jika nilai diskriminan lebih besar atau sama dengan nol maka persamaan kuadrat mempunyai akar-akar real.
- Jika nilai diskriminan negatif atau kurang dari nol maka akar-akar persamaan kuadrat tidak real (imajiner). Bilangan imajiner terdapat pada akar dari bilangan negatif.
1) Diskriminan Negatif (D < 0)
Sebagai contoh, persamaan kuadrat 2x2 ‒ 4x + 9 = 0 memiliki nilai diskriminan sama dengan D = (‒4)2 ‒ 4(2)(9) = 16 ‒ 72 = ‒56. Dapat diperoleh nilai diskriminan persamaan kuadrat 2x2 ‒ 4x + 9 = 0 adalah D = ‒56.
Nilai diskriminan D = ‒56 dapat memberikan informasi bahwa akar-akar dari persamaan kuadrat 2x2 ‒ 4x + 9 = 0 adalah bilangan imaginer. Atau dapat dikatakan bahwa persamaan kuadrat 2x2 ‒ 4x + 9 = 0 tidak memiliki akar-akar dalam himpunan bilangan real.
Untuk lebih meyakinkan, perhatikan hasil dari penyelesaian cara untuk mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat 2x2 ‒ 4x + 9 = 0 di bawah.
Persamaan kuadrat dengan nilai diskriminan negatif (D < 0) jika digambarkan akan menghasilkan kurva yang tidak mempunyai titik potong dengan sumbu x. Kurva dapat berada di atas sumbu x atau berada di bawah sumbu x.
Jika nilai koefisien di depan x2 positif (a > 0) maka kuva akan terbuka ke atas dan berada di atas sumbu x. Kondisi saat kurva berada di atas sumbu x dan terbuka ke atas disebut definit positif. Nilai fungsi kuadrat f(x) dengan definit positif akan selalu positif untuk semua nilai x.
Sementara untuk nilai koefisien di depan x2 negatif (a < 0) akan menghasikan kurva terbuka ke bawah dan berada di bawah sumbu x. Kondisi saat kurva berada di bawah sumbu x dan terbuka ke bawah disebut definit negatif. Nilai fungsi kuadrat f(x) dengan definit negatif akan selalu negatif untuk semua nilai x.
2) Diskriminan Positif (D ≥ 0)
Nilai diskriminan positif (D ≥ 0) memberikan informasi bahwa akar-akar persamaan kuadrat adalah bilangan real.
Persamaan kuadrat dengan nilai D = b2 ‒ 4ac = 0 memiliki satu akar real yang sering disebut memiliki solusi akar-akar real kembar. Jika digambarkan dalam sebuah kurva maka hasilnya adalah kurva yang memotong sumbu x pada satu titik. Kurva yang dihasilkan dapat terbuka ke atas (a > 0) atau terbuka ke bawah (a < 0).
Sebagai contoh pada persamaan kuadrat x2 ‒ 3x + 9 = 0 memiliki nilai D = b2 ‒ 4ac = (‒3)2 ‒ 4(1)(9) = 0. Dari hasil hitung diperoleh nilai diskriminan D = 0 yang menunjukkan bahwa persamaan kuadrat x2 ‒ 3x + 9 = 0 memiliki satu akar kembar. Untuk lebih jelasnya perhatikan hasil dari penyelesaian akar-akar dari persamaan kuadrat x2 ‒ 3x + 9 = 0 berikut.
x2 ‒ 3x + 9 = 0(x ‒ 3)(x ‒ 3) = 0x ‒ 3 = 0 atau x ‒ 3 = 0x = 3 atau x = 3
Diperoleh dua akar real kembar yaitu x = 3