Manakah dari fungsi berikut yang merupakan fungsi ganjil?

Misalkan diketahui sebuah fungsi \(f(x)\). Jika \(f(-x) = f(x)\) maka grafik tersebut simetri terhadap sumbu-\(y\). Fungsi yang demikian disebut fungsi genap. Sebaliknya, jika \(f(-x)=-f(x)\), maka grafik tersebut simetri terhadap titik asal (0,0). Fungsi yang demikian disebut fungsi ganjil.

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Hub. WA: 0812-5632-4552

Kita telah belajar banyak mengenai grafik fungsi, katakanlah fungsi itu dinotasikan dengan \(f(x)\). Beberapa dari grafik fungsi \(f(x)\) ada yang simetri terhadap sumbu-\(y\) dan ada pula yang simetri terhadap titik asal (0,0). Untuk mengetahui kesimetrisan fungsi ini, kita perlu mengetahui grafik fungsi \(f(x)\) tersebut.

Akan tetapi, tahukah Anda bahwa kesimetrisan suatu fungsi juga dapat ditentukan dengan hanya melihat persamaan atau rumus fungsi tersebut? Kita akan mempelajarinya di tulisan ini.

Fungsi Genap

Katakanlah kita memiliki sebuah fungsi \(f(x)\). Jika

\[ f(-x)=f(x) \]

maka kita katakan grafik tersebut simetri terhadap sumbu-\(y\). Fungsi yang demikian disebut fungsi genap.

Contoh 1:

Fungsi \(f(x)=x^2-x\) di mana grafiknya terlihat dalam Gambar 1 adalah fungsi genap. Ini karena

\begin{aligned} f(-x) &= (-x)^2-(-x) \\[5pt] &= x^2-x \\[5pt] &= f(x) \end{aligned}

Gambar 1. Grafik fungsi \(f(x)=x^2-x\)

Perhatikan bahwa grafik fungsi \(f(x)\) pada Gambar 1 di atas adalah simetris terhadap sumbu-\(y\) karena fungsi \(f(x)\) termasuk fungsi genap.

Contoh 2:

Fungsi \(f(x)=|2x|\) termasuk fungsi genap, karena

\begin{aligned} f(-x) &= |-2x| \\[5pt] &= |2x| \\[5pt] &= f(x) \end{aligned}

Grafik diperlihatkan pada Gambar 2 berikut.

Gambar 2. Grafik fungsi \(f(x)=|2x|\)

Perhatikan bahwa grafik fungsi \(f(x)\) pada Gambar 2 di atas adalah simetris terhadap sumbu-\(y\) karena fungsi \(f(x)\) termasuk fungsi genap.

Katakanlah kita memiliki sebuah fungsi \(f(x)\). Jika

\[ f(-x)=-f(x) \]

maka kita katakan grafik tersebut simetri terhadap titik asal (0,0). Fungsi yang demikian disebut fungsi ganjil.

Contoh 3:

Fungsi \(g(x)=x^3-2x\) dengan grafiknya diperlihatkan pada Gambar 3 adalah fungsi ganjil. Ini karena \( g(-x)=-g(x) \), yakni

\begin{aligned} g(-x) &= (-x)^3 - 2(-x) \\[5pt] &= -x^3+2x \\[5pt] &= -(x^3-2x) \\[5pt] &= -g(x) \end{aligned}

Perhatikan bahwa grafik fungsi \(g(x)\) pada Gambar 3 di bawah adalah simetris terhadap titik asal (0,0) karena fungsi \(g(x)\) termasuk fungsi ganjil.

Gambar 3. Grafik fungsi \(g(x)=x^3-2x\)

Contoh 4:

Apakah fungsi \(f(x)\) berikut

termasuk fungsi genap atau ganjil?

Penyelesaian:

Karena \(f(-x)=-f(x)\), yakni

maka \(f(x)\) termasuk fungsi ganjil. Grafik \(y = f(x)\) yang diperlihatkan dalam Gambar 4 adalah simetris terhadap titik asal.

Gambar 4.

Sekarang timbul pertanyaan: Apakah semua fungsi dapat dikategorikan sebagai fungsi genap atau fungsi ganji? Jawabannya adalah tidak.

Ambillah contoh fungsi \(h(x)=2/(x-1)\), yang mana grafiknya ditunjukkan dalam Gambar 5. Fungsi ini tidak genap ataupun ganjil. Mengapa? Ini karena \(h(-x)=2/(-x-1)\), yang mana tidak sama dengan \(h(x)\) maupun \(–h(x)\).

Gambar 5. Grafik fungsi \(h(x)=2/(x-1)\)

Perhatikan pula bahwa grafiknya tidak simetri terhadap sumbu \(x\) maupun titik asal. Grafik dari \(h\) adalah simetri terhadap titik \((1,0)\), hasil yang berasal dari kenyataan bahwa \(h(1+x)=-h(1-x)\).

Sifat-sifat Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi genap dan fungsi ganjil memiliki beberapa sifat, yaitu:

1. Jumlah dua fungsi genap menghasilkan suatu fungsi genap
2. Jumlah dua fungsi ganjil menghasilkan suatu fungsi ganjil
3. Jumlah fungsi genap dan fungsi ganjil tidak menghasilkan suatu fungsi genap atau fungsi ganjil, kecuali salah satu fungsinya adalah nol.
4. Hasilkali dua fungsi genap menghasilkan suatu fungsi genap
5. Hasilkali dua fungsi ganjil menghasilkan suatu fungsi genap
6. Hasilkali sebuah fungsi genap dengan sebuah fungsi ganjil menghasilkan suatu fungsi ganjil.

Cukup sekian ulasan singkat mengenai fungsi genap dan fungsi ganjil dalam artikel ini. Terima kasih telah membaca artikel ini sampai selesai. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, boleh dibantu share ke teman-temannya, supaya mereka juga bisa belajar dari artikel ini.

Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Indonesia: Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Mentok ngerjain soal? Foto aja pake aplikasi CoLearn. Anti ribet ✅Cobain, yuk!

itu dek pembahasannya semoga membantu ya jangan lupa bintang 5 nya

Salah satu cara untuk mengelompokkan fungsi adalah membaginya menjadi fungsi "genap, "ganjil" atau bukan keduanya. Pembagian ini berdasarkan pengulangan atau simetri pada fungsi. Cara paling baik untuk mengelompokkannya adalah dengan manipulasi aljabar. Anda juga bisa melihat bentuk grafik fungsi tersebut dan mencari simetrinya. Begitu Anda tahu cara mengelompokkan fungsi, Anda bisa memprediksi bentuk gabungan beberapa fungsi.

1. 1

   Cari lawan dari variabel. Di dalam aljabar, lawan dari sebuah variabel adalah nilai negatifnya. Hal ini berlaku entah variabel dalam fungsi adalah

   
   atau apa pun. Jika variabel dalam fungsi asal sudah bertanda negatif (atau dalam bentuk pengurangan), lawannya adalah positif (atau penjumlahan). Di bawah ini ada beberapa contoh variabel dan lawannya:[1] X Teliti sumber Kunjungi sumber
   • lawan dari adalah
     
   • lawan dari
     
     adalah
     
   • lawan dari
     
     adalah
     

2. 2

   Ganti masing-masing variabel pada fungsi dengan lawannya. Jangan ubah fungsi asal kecuali tanda variabelnya. Misalnya:[2] X Teliti sumber Kunjungi sumber

   • 
     menjadi
     
   • 
     menjadi
     
   • 
     menjadi
     
     .

3. 3

   Sederhanakan fungsi yang baru. Pada tahap ini, kita tidak perlu memperhatikan solusi angka dari fungsi ini. Kita hanya ingin menyederhanakan variabel untuk membandingkan fungsi yang baru, f(-x), dengan fungsi semula, f(x). Ingat aturan dasar pemangkatan bahwa jika sebuah angka negatif dipangkatkan dengan angka genap, hasilnya akan positif, dan jika angka negatif dipangkatkan dengan angka ganjil, hasilnya akan negatif.[3] X Teliti sumber Kunjungi sumber

4. 4

   Bandingkan kedua fungsi. Pada setiap contoh yang kita uji, bandingkan fungsi f(-x) yang sudah disederhanakan dengan fungsi awal f(x). Sejajarkan suku yang sama supaya mudah dibandingkan dan bandingkan tanda dari semua suku.[4] X Teliti sumber Kunjungi sumber

   • Jika keduanya sama, f(x)=f(-x), dan fungsi yang kita uji adalah sebuah fungsi genap. Contohnya:
     • dan
       
       .
     • Kedua fungsi ini sama, maka fungsinya adalah fungsi genap.
   • Jika setiap suku pada fungsi yang baru berlawanan dengan suku yang berseberangan pada fungsi semula, f(x)=-f(-x), dan fungsinya adalah sebuah fungsi ganjil. Contoh:
     • tetapi
       
       .
     • Perhatikan bahwa setiap kali Anda mengalikan setiap suku pada fungsi pertama dengan -1, hasilnya adalah fungsi kedua. Oleh karena itu, fungsi pertama g(x) adalah fungsi ganjil.
   • Jika fungsi baru tidak memenuhi salah satu dari kriteria di atas, fungsinya bukanlah fungsi genap maupun ganjil. Contoh:
     • tetapi
       
       . Suku pertama sama pada kedua fungsi, tetapi suku keduanya merupakan lawan. Oleh karena itu, fungsi ini tidak genap maupun ganjil.

1. 1

   Gambar Fungsi. Dengan kertas grafik atau kalkulator grafik, gambar grafik fungsi tersebut. Pilih beberapa nilai untuk dan masukkan ke dalam fungsi untuk menghitung nilai

   
   . Gambar titik-titik ini pada grafik dan, setelah Anda menggambarkan beberapa titik, hubungkan sehingga membentuk sebuah grafik fungsi.[5] X Teliti sumber Kunjungi sumber
   • Ketika menggambar titik, hitunglah untuk nilai positif dan nilai negatifnya. Misalnya, pada fungsi
     
     , titik-titiknya adalah sebagai berikut:
     • 
       . Koordinatnya adalah
       
       .
     • 
       . Koordinatnya adalah
       
       .
     • 
       . Koordinatnya adalah
       
       .
     • 
       . Koordinatnya adalah
       
       .

2. 2

   Periksa simetri di sepanjang sumbu-y. Dalam sebuah fungsi, simetri berarti cermin. Jika Anda melihat bagian grafik pada sisi kanan (positif) sumbu-y tercermin pada sisi kiri (negatif) sumbu-y, grafik tersebut simetris pada sumbu-y. Jika sebuah fungsi simetris pada sumbu-y, fungsi tersebut adalah fungsi genap.[6] X Teliti sumber Kunjungi sumber

   • Anda bisa menguji simetri dengan memilih beberapa titik. Jika nilai-y pada setiap x yang dipilih sama dengan nilai-y pada -x, fungsi tersebut adalah fungsi genap. Pada titik yang telah dipilih untuk menggambar fungsi , hasilnya adalah sebagai berikut:
     • (1,3) dan (-1,3)
     • (2,9) dan (-2,9)
   • Nilai-y untuk x=1 dan x=-1 serta untuk x=2 dan x=-2 menunjukkan bahwa fungsi ini adalah fungsi genap. Untuk benar-benar memastikannya, dua titik saja belumlah cukup, meskipun bisa menjadi indikasi positif.

3. 3

   Periksa simetri putar. Titik asal adalah koordinat (0,0). Simetri putar pada titik asal artinya bila x memberikan nilai-y positif, nilai -x akan memberikan nilai-y negatif, dan begitu pula sebaliknya. Fungsi ganjil mempunyai simetri putar pada titik asal.[7] X Teliti sumber Kunjungi sumber

   • Jika Anda memilih beberapa nilai x dan pasangan lawannya -x, Anda akan mendapatkan nilai-y yang berlawanan. Ambil contoh fungsi
     
     . Fungsi ini akan memberikan hasil sebagai berikut:
     • 
       . Hasilnya adalah (1,2).
     • 
       . Hasilnya adalah (-1,-2).
     • 
       . Hasilnya adalah (2,10).
     • 
       . Hasilnya adalah (-2,-10).
   • Dengan demikian, f(x)=-f(-x), dan kita bisa memastikan bahwa fungsi ini adalah sebuah fungsi ganjil.

4. 4

   Cari ketiadaan simetri. Contoh terakhir adalah mengenai fungsi yang tidak memiliki simetri. Jika Anda melihat grafiknya, tidak terdapat pencerminan baik pada sumbu-y maupun pada titik asal. Misalkan sebuah fungsi

   
   .[8] X Teliti sumber Kunjungi sumber
   • Pilih beberapa nilai x dan -x sebagai berikut:
     • 
       . Koordinatnya adalah (1,4).
     • 
       . Koordinatnya adalah (-1,-2).
     • 
       . Koordinatnya adalah (2,10).
     • 
       . Koordinatnya adalah (2,-2).
   • Beberapa nilai tersebut sudah cukup menunjukkan bahwa fungsi tersebut tidak memiliki simetri. Nilai-y dari pasangan x dan lawannya tidak bernilai sama atau bernilai lawannya. Oleh karena itu, fungsi ini tidak genap maupun ganjil.
   • Anda mungkin bisa mengenali bahwa fungsi ini, , bisa ditulis menjadi
     
     . Dalam bentuk kurung, fungsi ini tampak seperti fungsi genap karena hanya ada satu pangkat dan angkanya genap. Meskipun demikian, contoh ini menggambarkan bahwa kita tidak bisa menentukan sebuah fungsi genap atau ganjil jika dituliskan dalam bentuk kurung. Anda harus mengalikan fungsi tersebut menjadi suku-suku terpisah lalu mengamati pangkatnya.

• Jika variabel dalam fungsi memiliki pangkat genap, fungsi ini adalah fungsi genap. Jika semua pangkatnya ganjil, fungsi ini adalah fungsi ganjil.

• Artikel ini hanya berlaku untuk fungsi dengan dua variabel, yang bisa digambarkan dalam bidang koordinat dua dimensi.

Artikel ini disusun oleh tim penyunting terlatih dan peneliti yang memastikan keakuratan dan kelengkapannya.

Tim Manajemen Konten wikiHow memantau hasil penyuntingan staf kami secara saksama untuk menjamin artikel yang berkualitas tinggi. Artikel ini telah dilihat 131.672 kali.

Daftar kategori: Matematika

Halaman ini telah diakses sebanyak 131.672 kali.