Berapa panjang busur AB jika diketahui a0 14 cm?

Perlu Anda ketahui bahwa pada lingkaran (khususnya tentang panjang busur dan luas juring), berlaku perbandingan senilai atau seharga. Ini sudah Mafia Online posting pada artikel “hubungan sudut pusat dengan panjang busur” dan “hubungan antara sudut pusat dengan luas juring”. Kemudian bagaimana hubungan antara luas juring dengan panjang busur? Apakah akan berlaku perbandingan senilai?

Untuk menjawab soal tersebut coba perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar lingkaran di atas memiliki jari-jari r, panjang busur AB, dan luas juring AOB. Apa yang terjadi jika panjang busur AB diperbesar menjadi busur AB’ seperti gambar di bawah ini?

Ternyata setelah panjang busur AB diperbesar menjadi busur AB’ maka luas juring AOB semakin membesar menjadi AOB’ seperti gambar di atas. Ini sesuai dengan konsep perbandingan senilai atau seharga, di mana jika panjang busur lingkaran diperbesar maka luas juring lingkaran tersebut juga ikut menjadi tambah besar, begitu juga sebaliknya jika panjang lingkaran diperkecil maka luas juring lingkaran juga akan mengecil. Sekarang bagaimana kalau panjang busur tersebut diubah menjadi keliling lingkaran?

Jika panjang busur diubah menjadi keliling lingkaran maka luas juringnya menjadi luas lingkaran. Dari pernyataan tersebut dapat ditarik kesimpulan bahwa hubungan antara panjang busur, luas juring, keliling lingkaran dan luas lingkaran yakni “luas juring per luas lingkaran sama dengan panjang busur per keliling lingkaran” Secara matematis pernyataan tersebut dapat dirumuskan:

Juring/Luas =  Busur/Keliling

Misalkan luas juring kita notasikan dengan J, panjang busur kita notasikan dengan B, Luas lingkaran = πr2, dan keliling lingkaran = 2πr, maka persamaannya menjadi:

J/πr2 = B/2πr
J/r = B/2
2J = B.r

Untuk memantapkan pemahaman Anda mengenai hubungan panjang busur, luas juring, keliling lingkaran dan luas lingkaran. Perhatikan dengan baik-baik contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar di bawah ini!

Jika panjang busur AB = 4,4 cm dan r = 14 cm. Hitunglah luas juring AOB?

Penyelesaian:

Cara biasa:
Untuk menjawab soal di atas Anda harus mencari keliling dan luas lingkaran tersebut yaitu:

K = 2πr

K = 2 . (22/7) . (14 cm)

K = 88 cm

L = πr2

L = (22/7) . (14 cm)2

L = 616 cm2

Sekarang cari luas juring AOB dengan konsep perbandingan nilai yaitu:

Juring AOB/Luas =  Busur/Keliling

Juring AOB/616 cm2 = 4,4 cm/88 cm

Juring AOB /616 cm2 = 1/20

Juring AOB = 616 cm2/20

Juring AOB = 30,8 cm2

Jadi, luas juring AOB adalah 30,8 cm2.

Cara cepat:
2J = B.r
2.J = 4,4 cm . 14 cm
J = 61,6 cm2/2
J = 30,8 cm2

Contoh Soal 2

Sebuah lingkaran dengan diameter 20 cm memiliki juring dengan luas 100 cm2. Tentukan panjang busur yang dibentuk oleh juring tersebut.

Penyelesaian:

2J = B.r

2.100 cm2 = B . 10 cm

B = 200 cm2/10 cm

B = 20 cm

Soal Tantangan

Perhatikan gambar di bawah ini!

Jika jari-jari lingkaran di atas = 35 cm dan luas juirng AOB = 770 cm2. Hitunglah panjang busur AB dan besar sudut α?

Demikianlah tentang hubungan hubungan antara panjang busur, luas juring, keliling lingkaran dan luas lingkaran.

Sebelum anda mempelajari contoh soal berikut ini, alangkah baiknya anda mempelajari konsep tentang hubungan antara sudut pusat, panjang busur, luas juring dan tembereng suatu lingkaran. Akan tetapi jika sudah mempelajarinya silahkan lihat contoh soalnya berikut ini.

Pada suatu lingkaran dengan pusat O diketahui titik A, B, C, dan D pada keliling lingkaran, sehingga ∠AOB = 35° dan ∠COD = 140°. Jika panjang busur AB = 14 cm, hitunglah panjang busur CD.

Berdasarkan soal di atas maka ketsa gambarnya seperti berikut

Di depan telah dipelajari hubungan antara sudut pusat dan panjang busur berikut.

Jadi panjang busur CD adalah 56 cm

Pada gambar di bawah, luas juring OAB = 50 cm2.

a. untuk mencari luas juring POQ dapat digunakan persamaaan berikut ini

Luas AOB/Luas POQ = ∠AOB /∠POQ

50 cm2/ Luas POQ = 75°/60°

b. untuk mencari jari-jari lingkaran dapat digunakan persamaan:

luas lingkaran/luas POQ = ∠ 1 lingkaran/∠POQ

πr2 /luas juring POQ = 360°/∠POQ

c. Untuk mencari luas lingkaran dapat digunakan persamaan:

luas lingkaran/Luas AOB = ∠ 1 lingkaran/∠AOB

luas lingkaran/50 cm2  = 360°/75°

luas lingkaran/50 cm2  = 4,8

luas lingkaran = 4,8 x 50 cm2  

atau dengan menggunakan rumus πr2, maka:

πr2 = (22/7) x (76,3878 cm)2

Panjang jari-jari sebuah lingkaran diketahui 20 cm. Hitunglah

a. panjang busur di hadapan sudut 30°;

b. luas juring di hadapan sudut 45°

a. Misal panjang busur di hadapan sudut 30° adalah AB dan sudut 30° = ∠AOB maka:

panjang AB/keliling lingkaran = ∠AOB/∠ 1 lingkaran

panjang AB/2πr = ∠AOB/360°

panjang AB/(2 x 3,14 x 20 cm) = 30°/360°

panjang AB/125,6 cm = 1/12

b. misal luas juring di hadapan sudut 45° = POQ dan sudut 45° = ∠POQ maka:

luas POQ /luas lingkaran = ∠POQ/∠ 1 lingkaran

luas POQ = (45°/360°) x πr2

luas POQ = 0,125 x 3,14 x (20 cm)2

Pada gambar di bawah diketahui panjang OP = 28 cm dan busur PQ = 17,6 cm. Hitung luas juring  POQ.

keliling lingkaran tersebut adalah

Luas lingkaran tersebut adalah

∠ POQ /∠ 1 lingkaran = panjang PQ/keliling lingkaran

∠ POQ /360° = 17,6cm/176 cm

∠ POQ = (17,6 cm/176 cm) x 360°

luas juring  POQ/Luas Lingkaran = ∠ POQ/∠ 1 lingkaran

luas juring  POQ/2464 cm2 = 36°/360°

luas juring  POQ = 0,1 x 2464 cm2

luas juring  POQ = 246,4 cm2

Hitunglah keliling dan luas bangun yang diarsir pada gambar berikut.

a. Pada gambar (a) diketahui ∠AOB = 45°, panjang jari-jari lingkaran (r) = 11 cm. Untuk mencari keliling gambar (a) terlebih dahulu cari panjang AB, maka

panjang AB/keliling lingkaran = ∠AOB/∠ 1 lingkaran

panjang AB/2πr = ∠AOB/360°

panjang AB/(2 x 3,14 x 11 cm) = 45°/360°

panjang AB/69,08 cm = 0,125

panjang AB = 69,08 cm x 0,125

panjang AB = 8,635 cm ≈ 8,64 cm

keliling gambar (a) = panjang AB + 2 x panjang AO

keliling gambar (a) = 8,64 cm + 2 x 11 cm

keliling gambar (a) = 30,64 cm

Untuk mencari luas yang diarsir (ABCD) pada gambar (a) terlebih dahulu cari Luas juring AOB dan luas juring yang tidak diarsir (COD),maka

luas juring  AOB /Luas Lingkaran = ∠ AOB /∠ 1 lingkaran

luas juring  AOB /πr2 = 45°/360°

luas juring  AOB = 0,125 x πr2

luas juring  AOB = 0,125 x 3,14 x (11 cm)2

luas juring  AOB = 47,49 cm2

sekarang cari luas juring yang tidak di arsir (COD)

luas juring  COD /Luas Lingkaran = ∠ COD /∠ 1 lingkaran

luas juring  COD/πr2 = 45°/360°

luas juring  COD = 0,125 x πr2

luas juring  COD = 0,125 x 3,14 x (6 cm)2

luas juring  COD = 14,13 cm2

Luas ABCD = luas juring  AOB = 47,49 cm2 - luas juring  COD = 14,13 cm2

Luas ABCD = 47,49 cm2 - 14,13 cm2

Hitunglah luas tembereng pada gambar berikut jika jari-jari lingkaran 14 cm.

a. untuk mencari luas tembereng gambar (a) terlebih dahulu cari luas juring AOB dan luas ΔAOB:

luas juring AOB = ¼ luas lingkaran

luas juring AOB = ¼ x πr2

luas juring AOB = ¼ x (22/7) x (14 cm )2

luas juring AOB = ¼ x (22/7) x 14 x 14 cm2

luas juring AOB = 154 cm2

luas ΔAOB = ½ x alas x tinggi

luas ΔAOB = ½ x 14 cm x 14 cm

Luas tembereng = luas juring AOB – luas segitiga AOB

Luas tembereng = 154 cm2 – 98 cm2

b. untuk mencari luas tembereng gambar (b) terlebih dahulu cari luas juring COD dan luas ΔCOD:

luas juring COD/luas lingkaran = ∠ COD /∠ 1 lingkaran

luas juring COD/ πr2 = 60° /360°

luas juring COD = (60°/360°) x πr2

luas juring COD = (1/6) x (22/7) x (14 cm )2

luas juring COD = ¼ x (22/7) x 14 x 14 cm2

luas juring AOB = 102,67 cm2

Karena besar ∠ COD = 60o, maka ΔCOD sama sisi dengan panjang sisi 14 cm,

s = ½ x keliling segitiga

s = ½ x (14 cm + 14 cm + 14 cm)

s = ½ x (14 cm + 14 cm + 14 cm)

luas ΔCOD = √(s(s-a)(s-a)(s-a)

luas ΔCOD = √(21 (21-14)(21-14)(21-14)

luas ΔCOD = √(21 x 7 x 7 x 7)

Luas tembereng = luas juring COD – luas segitiga COD

Luas tembereng = 102,67 cm2– 84,87 cm2

Luas tembereng = 17,80 cm2

Pada gambar di bawah, panjang busur PQ = 50 cm, panjang busur QR = 75 cm, dan besar ∠ POQ = 45°. Hitunglah besar ∠ QOR.

∠ QOR /∠ POQ =panjang busur QR / panjang busur PQ

Pada gambar di bawah, besar ∠ POQ = 72° dan panjang jari-jari OP = 20 cm.

a. panjang busur besar PQ;

b. luas juring besar POQ.

panjang PQ/keliling lingkaran = ∠POQ/∠ 1 lingkaran

panjang PQ /2πr = ∠POQ /360°

panjang PQ /(2 x 3,14 x 20 cm) = 72°/360°

panjang PQ /125,6 cm = 0,2

panjang PQ = 125,6 cm x 0,2

luas juring  POQ /Luas Lingkaran = ∠ PQ /∠ 1 lingkaran

luas juring  POQ /πr2 = 72°/360°

luas juring  POQ = 0,2 x πr2

luas juring  POQ = 0,2 x 3,14 x (20 cm)2

luas juring  POQ = 251,2 cm2