Bagaimana hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling yang menghadap busur sama

Wednesday, April 8, 2020 Edit

Jam dinding pada gambar di atas menunjukkan pukul 04.00. Besar sudut yang dibentuk oleh jarum panjang dan jarum pendek pada pukul 04.00 adalah 120°.

Sudut yang dibentuk oleh jarum panjang dan jarum pendek pada jam dinding merupakan sudut pusat lingkaran (jam dinding).

A. PENGERTIAN SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING LINGKARAN

Sudut pusat yaitu sudut yang titik sudutnya di titik pusat lingkaran dan kedua kaki sudutnya berimpit dengan jari-jari lingkaran. Sementara itu, sudut keliling lingkaran didefinisikan sebagai berikut.

Sudut keliling lingkaran adalah sudut yang titik sudutnya berada di lingkaran dan kedua kaki sudutnya merupakan tali busur lingkaran. 

Pada gambar di atas, ∠AOB merupakan sudut pusat lingkaran dan ∠ACB merupakan sudut keliling lingkaran. Kedua sudut tersebut menghadap busur yang sama yaitu

B. HUBUNGAN ANTARA SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING LINGKARAN

Sudut pusat (∠AOB) dan sudut keliling (∠ACB) pada lingkaran O di atas menghadap

C. SIFAT-SIFAT SUDUT PADA LINGKARAN

1. Sudut-sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama

Semua sudut keliling yang menghadap busur yang sama besarnya sama. ∠AKB, ∠ALB, dan ∠AMB menghadap busur yang sama yaitu busur AB. Oleh karena itu, m∠AKB = m∠ALB = m∠AMB. 

2. Sudut Keliling Menghadap Diameter

Diameter merupakan sudut pusat yang membentuk garis lurus sehingga besarnya 180°. Semua sudut keliling yang menghadap diameter (busur setengah lingkaran) besarnya setengah dari 180° yaitu 90°.

3. Sudut Berhadapan pada Segi Empat Tali Busur

Segi empat tali busur mempunyai empat titik sudut yang terletak pada lingkaran sehingga keempat sudut segi empat tali busur merupakan sudut keliling. Pada segi empat tali busur, jumlah besar sudut yang berhadapan adalah 180°. Segi empat ABCD merupakan segi empat tali busur. ∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, dan ∠CDA merupakan sudut keliling.

1. Perhatikan gambar berikut.

Jika diketahui besar ∠BAP = 35°, tentukan:

∆ABP merupakan segitiga sama kaki dengan panjang AP = BP, maka m∠ABP = m∠BAP = 35°.

a. ∠ABD merupakan sudut keliling dengan m∠ABD = m∠ABP = 35°.

∠APD merupakan sudut pusat dan ∠ABD merupakan sudut keliling yang menghadap busur AD, maka berlaku:

Jumlah besar sudut-sudut pada ∆ABP adalah 180°, maka:

m∠APB = 180° - (m∠ABP + m∠BAP)

∠APD berpelurus dengan ∠APB, maka:

b. ∠APD merupakan sudut pusat dan ∠ACD merupakan sudut keliling yang menghadap busur AD, maka berlaku:

∠ACD dan ∠ABD merupakan sudut keliling yang menghadap busur AD, maka berlaku:

2. Perhatikan gambar berikut.

Titik O merupakan pusat lingkaran. Jika m∠ABC = 64°, hitunglah besar ∠BAC.

Garis AB merupakan tali busur yang melalui titik pusat lingkaran sehingga garis AB merupakan diameter.

Oleh karena garis AB merupakan diameter maka besar ∠ACB = 90°.

m∠BAC = 180° - (m∠ACB + m∠ABC)

3. Perhatikan gambar berikut.

Jika diketahui besar ∠AOB = 76° dan besar ∠COD = 32°, tentukan besar ∠AEB.

Perhatikan gambar berikut.

Sudut keliling CBD dan sudut pusat COD menghadap busur CD, maka:

Sudut keliling ADB dan sudut pusat AOB menghadap busur AB, maka:

Sudut BDE berpelurus dengan sudut ADB, maka:

Pada segitiga BDE berlaku:

m∠BED = 180° - (m∠BDE + m∠DBE)

∠AEB merupakan sudut antara tali busur AD dan BC yang berpotongan di luar lingkaran.

m∠AEB = ½ × (m∠AOB - m∠COD)