Tentukan titik balik minimum fungsi y 2 x pangkat 3 kurang 2 x pangkat dua kurang 2 x kurang 3

         Blog Koma - Aplikasi turunan lain yang lebih menarik lagi adalah menggambar grafik fungsi, sehingga pada artikel kali ini kita akan membahas menggambar grafik fungsi menggunakan turunan baik fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri. Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaiknya kita pelajari dulu materi "turunan fungsi aljabar", "turunan fungsi trigonometri", serta "nilai stasionernya dan jenisnya".

Langkah - Langkah Menggambar Grafik Fungsi Menggunakan Turunan

       Berikut langkah-langkah mengambar grafik suatu fungsi menggunakan turunan : i). Menentukan titik potong (tipot) dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan sumbu Y). Titik potong sumbu X, substitusi $ y = 0 $ . Titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ . ii). Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya (titik balik minimum, titik balik maksimum, dan titik belok).

iii). Menentukan titik bantuan lain agar grafiknya lebih mudah sketsa, atau bisa juga secara umum menentukan nilai $ y $ untuk $ x $ besar positif dan untuk $ x $ besar negatif.

Contoh : 1). Gambarlah grafik kurva $ y = 3x^2 - x^3 $. Penyelesaian : i). Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu : *). Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $ $ \begin{align} y = 0 \rightarrow y & = 3x^2 - x^3 \\ 0 & = 3x^2 - x^3 \\ 3x^2 - x^3 & = 0 \\ x^2 ( 3 - x) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 3 \end{align} $ Sehingga titik potong sumbu X adalah (0,0) dan (3,0). *). Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ $ y = 3x^2 - x^3 = 3.0^2 - 0^3 = 0 $ Sehingga titik potong sumbu Y adalah (0,0). ii). Menentukan titik-titik stasioner, Fungsi : $ y = 3x^2 - x^3 $ $ f^\prime (x) = 6x - 3x^2 \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = 6 - 6x $ . *). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $ $ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 6x - 3x^2 & = 0 \\ 3x ( 2 - x) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 2 \end{align} $ *). Nilai stasionernya : substitusi ke fungsi awal. Untuk $ x = 0 \, $ , nilai stasionernya $ f(0) = 3.0^2 - 0^3 = 0 $ titik stasionernya (0,0) . Untuk $ x = 2 \, $ , nilai stasionernya $ f(2) = 3.2^2 - 2^3 = 4 $ titik stasionernya (2,4). *). Menentukan jenis stasionernya, gunakan turunan kedua : $ f^{\prime \prime } (x) = 6 - 6x $ Untuk $ x = 0 \rightarrow f^{\prime \prime } (0) = 6 - 6.0 = 6 \, $ (positif) , jenisnya minimum. Untuk $ x = 2 \rightarrow f^{\prime \prime } (2) = 6 - 6.2 = -6 \, $ (negatif) , jenisnya maksimum. Artinya titik (0,0) adalah titik balik minimum dan titik (2,4) adalah titik balik maksimum. iii). Berdasarkan fungsi $ y = 3x^2 - x^3 , \, $ kita substitusi beberapa nilai $ x \, $ yaitu : Untuk $ x \, $ semakin besar, nilai $ y \, $ semakin besar negatif (ke bawah) dan untuk $ x \, $ semakin kecil, nilai $ y \, $ semakin besar positif (ke atas).

2). Gambarlah grafik kurva $ y = x^4 - 4x^3 $ . Penyelesaian : i). Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu : *). Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $ $ \begin{align} y = 0 \rightarrow y & = x^4 - 4x^3 \\ 0 & = x^4 - 4x^3 \\ x^4 - 4x^3 & = 0 \\ x^3 ( x - 4 ) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 4 \end{align} $ Sehingga titik potong sumbu X adalah (0,0) dan (4,0). *). Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ $ y = x^4 - 4x^3 = 0^4 - 4.0^3 = 0 $ Sehingga titik potong sumbu Y adalah (0,0). ii). Menentukan titik-titik stasioner, Fungsi : $ y = x^4 - 4x^3 $ $ f^\prime (x) = 4x^3 - 12x^2 \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = 12x^2 - 24x $ . *). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $ $ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 4x^3 - 12x^2 & = 0 \\ 4x^2 (x - 3) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 3 \end{align} $ *). Nilai stasionernya : substitusi ke fungsi awal. Untuk $ x = 0 \, $ , nilai stasionernya $ f(0) = 0^4 - 4.0^3 = 0 $ titik stasionernya (0,0) . Untuk $ x = 3 \, $ , nilai stasionernya $ f(2) = 3^4 - 4.3^3 = -27 $ titik stasionernya (3,-27). *). Menentukan jenis stasionernya, gunakan turunan kedua : $ f^{\prime \prime } (x) = 12x^2 - 24x $ Untuk $ x = 0 \rightarrow f^{\prime \prime } (0) = 12.0^2 - 24.0 = 0 \, $ (nol) , jenisnya titik belok. Untuk $ x = 3 \rightarrow f^{\prime \prime } (3) = 12.3^2 - 24.3 = 36 \, $ (positif) , jenisnya minimum. Artinya titik (0,0) adalah titik belok dan titik (3,27) adalah titik balik minimum. iii). Berdasarkan fungsi $ y = x^4 - 4x^3 , \, $ kita substitusi beberapa nilai $ x \, $ yaitu : Untuk $ x \, $ semakin besar, nilai $ y \, $ semakin besar positif (ke atas) dan untuk $ x \, $ semakin kecil, nilai $ y \, $ semakin besar positif (ke atas).

3). Gambarlah grafik kurva $ y = \sin x \, $ untuk $ 0 \leq x \leq 360^\circ $ . Penyelesaian : i). Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu : *). Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $ $ \begin{align} y = 0 \rightarrow y & = \sin x \\ 0 & = \sin x \\ \sin x & = 0 \\ x = 0 , \, x = 180^\circ = \pi \vee x & = 360^\circ = 2\pi \end{align} $ Sehingga titik potong sumbu X adalah $ (0,0), \, (180^\circ , 0), \, (360^\circ, 0) $ . *). Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ $ y = \sin x = \sin 0 = 0 $ Sehingga titik potong sumbu Y adalah (0,0). ii). Menentukan titik-titik stasioner, Fungsi : $ y = \sin x $ $ f^\prime (x) = \cos x \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = -\sin x $ . *). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $ $ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ \cos x & = 0 \\ x = 90^\circ = \frac{1}{2}\pi \vee x & = 270^\circ = \frac{3}{2}\pi \end{align} $ *). Nilai stasionernya : substitusi ke fungsi awal. Untuk $ x = 90^\circ \, $ , nilai stasionernya $ f(90^\circ) = \sin 90^\circ = 1 $ titik stasionernya ($ 90^\circ , 1$) . Untuk $ x = 270^\circ \, $ , nilai stasionernya $ f(270^\circ) = \sin 270^\circ = -1 $ titik stasionernya ($ 270^\circ , -1$). *). Menentukan jenis stasionernya, gunakan turunan kedua : $ f^{\prime \prime } (x) = -\sin x $ Untuk $ x = 90^\circ \rightarrow f^{\prime \prime } (90^\circ) = - \sin 90^\circ = -1 \, $ (negatif) , jenisnya maksimum. Untuk $ x = 270^\circ \rightarrow f^{\prime \prime } (270^\circ) = -\sin 270^\circ = 1 \, $ (positif) , jenisnya minimum. Artinya titik ($ 90^\circ , 1$) adalah titik balik maksimum dan titik ($ 270^\circ , -1$) adalah titik balik minimum. Berikut gambar grafik fungsi $ y = \sin x \, $ pada interval $ 0 \leq x \leq 360^\circ $ .

Adakalanya Anda mungkin perlu mengetahui nilai maksimum atau minimum sebuah fungsi kuadrat. Anda bisa mencari nilai maksimum dan minimum bila fungsi yang diberikan ditulis dalam bentuk umum,

, atau bentuk standar,

. Sesudah itu, Anda juga bisa menggunakan kalkulus sederhana untuk mencari nilai maksimum dan minimum setiap fungsi kuadrat.

1. 1

   Tuliskan fungsi dalam bentuk umum. Fungsi kuadrat adalah sebuah fungsi yang memiliki suku

   . Fungsi tersebut bisa mengandung suku
   dengan pangkat, bisa juga tidak. Angka pangkatnya tidak boleh lebih besar daripada 2. Bentuk umumnya adalah . Jika perlu, gabungkan suku yang sama untuk memperoleh bentuk umum.[1] X Teliti sumber Kunjungi sumber
   • Misalnya, mulailah dengan sebuah fungsi
     . Gabungkan suku dan untuk memperoleh bentuk umum:

2. 2

   Tentukan arah kurva. Fungsi kuadrat membentuk sebuah kurva parabola. Sebuah parabola bisa membuka ke atas atau ke bawah. Bila nilai

   , koefisien positif, parabola membuka ke atas. Bila nilai negatif, parabola membuka ke bawah. Lihat contoh berikut ini:[2] X Teliti sumber Kunjungi sumber
   • Untuk
     ,
     sehingga parabola membuka ke atas.
   • Untuk
     ,
     sehingga parabola membuka ke bawah.
   • Untuk
     ,
     sehingga parabola membuka ke atas.
   • Jika parabola membuka ke atas, kita bisa mencari nilai minimum. Jika parabola membuka ke bawah, kita bisa mencari nilai maksimum.

3. 3

   Hitung -b/2a. Hasil dari

   adalah nilai dari puncak parabola. Jika fungsi kuadrat ditulis dalam bentuk umum
   , gunakan nilai koefisien dan seperti berikut:
   • Untuk fungsi
     , dan
     . Oleh karena itu, koordinat-x dari titik puncak dapat dihitung sebagai berikut:
   • Pada contoh kedua, misalkan fungsinya adalah
     . Pada contoh ini, dan
     . Oleh karena itu, koordinat-x dari titik puncak dapat dihitung sebagai berikut:

4. 4

   Cari pasangan nilai f(x). Masukkan nilai x yang baru diperoleh ke dalam fungsi untuk mendapatkan nilai f(x). Hasilnya adalah nilai minimum atau maksimum fungsi.

   • Untuk contoh pertama, , koordinat-x dari titik puncak adalah
     . Masukkan
     ke dalam pada fungsi untuk mendapatkan nilai maksimum atau minimum:
   • Untuk contoh kedua, , koordinat-x dari titik puncak adalah
     . Masukkan
     ke dalam pada fungsi untuk mendapatkan nilai maksimum atau minimum:

5. 5

   Tuliskan hasil perhitungan. Tinjau kembali pertanyaan yang diajukan. Jika yang ditanya adalah koordinat titik puncak, jawablah dengan memberikan nilai dan

   (atau nilai
   ). Jika yang ditanya hanya nilai maksimum atau minimum, jawaban yang diberikan cukup nilai (atau nilai ). Lihatlah kembali nilai koefisien untuk memastikan apakah fungsi memiliki nilai maksimum atau minimum.
   • Untuk contoh pertama, , nilai positif, jadi fungsi memiliki nilai minimum. Titik puncaknya adalah
     , dan nilai minimumnya adalah
     .
   • Untuk contoh kedua, , nilai negatif, jadi fungsi memiliki nilai maksimum. Titik puncaknya adalah
     , dan nilai maksimumnya adalah
     .

1. 1

   Tuliskan fungsi kuadrat dalam bentuk bentuk standar atau verteks. Bentuk baku dari fungsi kuadrat, yang juga disebut bentuk verteks, adalah seperti ini:[3] X Teliti sumber Kunjungi sumber

   • Jika fungsi sudah berbentuk seperti ini sejak semula, cukup cari saja variabel ,
     dan
     . Jika fungsi masih dalam bentuk umum , lakukan proses melengkapkan kuadrat untuk mengubahnya ke dalam bentuk verteks.
   • Untuk melihat kembali bagaimana cara melengkapkan kuadrat, lihat Melengkapkan-Kuadrat

2. 2

   Tentukan arah kurva. Seperti halnya pada fungsi kuadrat dalam bentuk umum, Anda bisa menentukan arah parabola dengan melihat koefisien . Bila nilai dalam bentuk baku positif, parabola membuka ke atas. Bila nilai negatif, parabola membuka ke bawah. Lihat contoh berikut ini:[4] X Teliti sumber Kunjungi sumber

   • Untuk
     , , artinya positif, jadi parabola membuka ke atas.
   • Untuk
     , , artinya negatif, jadi parabola membuka ke bawah.
   • Jika parabola membuka ke atas, Anda bisa mencari nilai minimum. Jika parabola membuka ke bawah, Anda bisa mencari nilai maksimum.

3. 3

   Tentukan nilai maksimum atau minimum. Ketika fungsi ditulis dalam bentuk baku, nilai minimum dan maksimum dapat ditentukan hanya dengan melihat nilai variabel . Untuk kedua contoh di atas, nilainya adalah:

   • Untuk ,
     . Nilai ini adalah nilai minimum fungsi karena parabola membuka ke atas.
   • Untuk ,
     . Nilai ini adalah nilai maksimum fungsi karena parabola membuka ke bawah.

4. 4

   Cari titik puncak. Jika yang ditanya adalah koordinat titik minimum atau maksimum, koordinatnya adalah

   . Namun ingatlah selalu bahwa di dalam bentuk standar, suku di dalam kurung adalah
   , jadi selalu baliklah tanda pada angka setelah .
   • Untuk , suku di dalam kurung adalah (x+1), yang bisa ditulis ulang menjadi (x-(-1)). Jadi,
     . Oleh karena itu, koordinat titik puncak fungsi ini adalah
     .
   • Untuk , suku di dalam kurang adalah (x-2). Jadi,
     . Koordinat titik puncaknya adalah (2,2).

1. 1

   Mulailah dengan bentuk umum. Tuliskan fungsi kuadrat dalam bentuk umum, . Jika perlu, gabungkan suku yang sama untuk memperoleh bentuk yang diinginkan.[5] X Teliti sumber Kunjungi sumber

   • Mulailah dengan contoh fungsi
     .

2. 2

   Gunakan aturan turunan untuk mencari turunan pertama. Dengan menggunakan kalkulus sederhana, turunan pertama dari fungsi kuadrat ini adalah

   .[6] X Teliti sumber Kunjungi sumber
   • Untuk contoh fungsi , turunannya adalah sebagai berikut:

3. 3

   Buat nilai turunan menjadi nol. Ingatlah bahwa turunan sebuah fungsi adalah gradien fungsi tersebut pada titik yang dipilih. Fungsi akan mencapai titik minimum atau maksimum saat gradiennya sama dengan nol. Oleh karena itu, untuk mencari titik minimum atau maksimum, buat turunannya menjadi nol. Lanjutkan untuk contoh di atas:[7] X Teliti sumber Kunjungi sumber

4. 4

   Cari nilai x. Gunakan aturan dasar aljabar untuk menyelesaikan persamaan dan mencari nilai x, saat turunannya sama dengan nol. Hasil dari perhitungan ini adalah koordinat-x dari titik puncak fungsi, tempat nilai maksimum atau minimum berada.[8] X Teliti sumber Kunjungi sumber

5. 5

   Masukkan nilai x ke dalam fungsi semula. Nilai minimum atau maksimum dari fungsi adalah nilai dari dari posisi yang telah dicari. Masukkan nilai yang diperoleh ke dalam fungsi semula dan dapatkan nilai minimum atau maksimum.[9] X Teliti sumber Kunjungi sumber

6. 6

   Tuliskan jawaban. Jawabannya adalah titik puncak maksimum atau minimum. Pada fungsi contoh, , titik puncaknya adalah koordinat . Koefisien positif. Jadi, fungsinya membuka ke atas. Oleh karena itu, nilai minimum fungsi tersebut adalah koordinat-y dari titik puncak, yaitu .[10] X Teliti sumber Kunjungi sumber

• Sumbu simetri dari parabola adalah x=h.

1. ↑ //www.themathpage.com/acalc/max.htm