Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Bentuk umum: ax2 + bx + c = 0 dengan a, b, c, ∈ R dan a ≠ 0.
a, b dan c adalah bilangan real.
1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:
Jadi, himpunan penyelesaiannya {-4, -3}.
b) melengkapkan kuadrat sempurna
Untuk menyelesaikan ax2 + bx + c = 0 dengan cara melengkapkan kuadrat:
- Pindahkan konstanta c ke ruas kanan.
- Bagi kedua ruas dengan koefisien suku-x2, a.
- Hitung [1/2 ∙ (b/a)]2 dan jumlahkan kedua ruas dengan hasilnya.
- Faktorkan ruas kanan sebagai kuadrat binomial; sederhanakan ruas kanan.
- Selesaikan dengan menggunakan sifat akar kuadrat dari suatu persamaan.
Carilah akar-akar persamaan kuadrat x² + 3x - 10 = 0.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-5, 2}.
2. ) Jenis- Jenis Akar Persamaan Kuadrat
Ada 3 jenis akar persamaan kuadrat yang dapat ditentukan dari nilai diskriminannya (D)
Jenis – jenis akar persamaan kuadrat yaitu :
a. Dua akar real yang berlainan atau berbeda jika D > 0
b. Dua akar kembar atau sama jika D > 0
c. Tidak mempunyai akar real atau imajiner jika D < 0
3. Sifat-sifat grafik fungsi
1. Jika dilihat dari nilai a
Grafik terbuka ke atas jika a > 0 (positif)
Grafik terbuka ke bawah jika a < 0 (negatif)
2 2. Jika dilihat dari nilai diskriminan (D)
Grafik akan memotong sumbu x di dua titik jika D > 0 (positif)
Grafik akan memotong sumbu x di satu titik jika D = 0
Grafik tidak memotong sumbu x jika D < 0 (negatif)
Perhatikan gambar berikut :
Tanpa membuat gambar sebutkan sifat-sifat grafik fungsi kuadrat berikut .
x2 + x - 45 = 0 (a = 1 , b = 1 , c = -45 )
Karena a = 1 (positif) maka grafik terbuka ke atas
Kesimpulan : Grafik terbuka ke atas dan memotong sumbu x didua titik.
b. -3x2 + 12x + 1 = 0 (a = -3 , b = 12 , c = 1 )
Karena a = -3 (negative) maka grafik terbuka ke bawah
Kesimpulan : Grafik terbuka ke bawah dan memotong sumbu x di dua titik
Dengan titik puncak = (-b/2a, -D/4a)
4. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain
Misal akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. ® x1 + x2 = 2 , x1 x2 = 3.
Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x1 + 3 dan q = x2 +3
p + q = (x1 + 3) + (x2 + 3) p q = (x1 + 3) (x2 + 3)
= x1 + x2 + 6 = x1 x2 + 3(x1 + x2) + 9
= 2 + 6 = 8 = 3 + 2(2) = 9 = 18
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 – (p + q) + pq = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 8x + 18 = 0.
Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan disebut fungsi kuadrat.
Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.
Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.
Ditentukan: f(x) = x2 – 6x – 7
nilai pembuat nol fungsi f
nilai f untuk x = 0 , x = –2
Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0
Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan –1
Untuk x = 0 maka f(0) = –7
x = –2 maka f(–2) = (–2)2 – 6 (–2) – 7 = 9
6. Menyusun fungsi kuadrat
Untuk menyusun fungsi kuadrat ada 3 cara
1. Jika memotong di x = p dan q maka
2. Jika memiliki puncak (p, q)
3.Jika diketahui ketiga titik yang dilalui
Subtitusikan ketiga titik ke dalam persamaan y = ax2 + bx + c sehingga diperoleh sistem persamaan linear dalam a, b, dan c
Tentukan fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di (3, 0) dan (7, 0) serta melalui (2, 10)
titik potomg dg sumbu x adalah x = 3 dan x = 7 sehingga
Karena melalui (2, 10) maka
Rumus Jumlah Persamaan Kuadrat
Rumus Jumlah akar persamaan kuadrat itu diperoleh dari rumus kuadrat :
x1 = (-b - √(b2 – 4ac))/2a atau x2 = (-b + √(b2 – 4ac))/2a
Jadi ktika x1 dan x2 dijumlahkan akan menghasilkan rumus jumlah persamaan kuadrat :
x1 + x2 = ((-b - √(b2 – 4ac))/2a) + ((-b + √(b2 – 4ac))/2a)
x1 + x2 = (-b - b - √(b2 – 4ac) + √(b2 – 4ac))2a
Maka rumus jumlah persamaan kuadrat adalah :
Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat x2 + 2x - 3 = 0, maka tentukanlah x1 + x2 !!!
Jadi hasil jumlah akar dari persamaan x2 + 2x - 3 = 0 adalah x1 + x2 = -2
2. Rumus Hasil Kali Persamaan Kuadrat
Rumus hasil kali akar persamaan kuadrat juga diperoleh dari rumus kuadrat :
x1 = (-b - √(b2 – 4ac))/2a atau x2 = (-b + √(b2 – 4ac))/2a
Jadi ktika x1 dan x2 dikalikan akan menghasilkan rumus hasil kali persamaan kuadrat :
x1 . x2 = ((-b - √(b2 – 4ac))/2a) x ((-b + √(b2 – 4ac))/2a)
x1 . x2 = (-b x - b) + (- √(b2 – 4ac) x √(b2 – 4ac))/4a2
x1 + x2 = (b2 - (b2 – 4ac)/4a2
x1 + x2 = (b2 - b2 + 4ac)/4a2
Maka rumus jumlah persamaan kuadrat adalah :
Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat x2 + 2x - 3 = 0, maka tentukanlah x1 . x2 !!!
Jadi hasil hasil kali akar dari persamaan x2 + 2x - 3 = 0 adalah x1 . x2 = -3
1. Bila x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 - 6x - 5 = 0, maka x12 + x22 adalah.....
A. 26 B. 31 C. 37 D. 41 E. 46
2. Jika 2 dan 3 akar-akar persamaan kuadrat,
maka persamaan kuadrat yang dimaksud adalah.....
A. x2 + x + 5
= 0 B. x2 + 6x + 5
= 0 C. x2 + 5x - 6 = 0
D. x2 - 5x + 6
= 0 E. x2 + x + 5
= 0
3. Persamaan kuadrat x2 + 7x + 1 = 0 akar-akarnya α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + 4) dan (β + 4) adalah ….
A. x2 +7x−43=0
B. x2 +7x −11=0
C. x2 − x +23=0
D. x2 − x +13=0
E. x2 − x − 11 = 0
4. Persamaan kuadrat x2 + 4px + 4 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x1x22 + x12x2 = 32 maka nilai p adalah ….
A. −4
B. −2
C. 2
D. 4
E. 8
5. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + mx + 16 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan α, β positif maka nilai m adalah ….
A. −12
B. −6
C. 6
D. 8
E. 12
1. Persamaan x2 - 6x - 5 = 0 memiliki koefisien a =1, b = -6, dan c = -5
x1 + x2= (-b)/a = -(-6)/1 = 6
x1 . x2 = c/a = (-5)/1 = -5
x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1.x2
2. Misalkan x1 = 2 dan x2 = 3, maka:
Persamaan kuadrat yang dimaksud adalah
x2- (x1 + x2)x + x1.x2 =0
x2- 5x + 6 = 0 -------------> Jawaban: D
3. Nilai koefisien persamaan kuadrat x2 + 7x + 1 = 0 adalah:
Penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:
Jika persamaan kuadrat baru tersebut dinyatakan
Dengan demikian, persamaan kuadrat baru tersebut adalah
4. Nilai koefisien persamaan kuadrat x2 + 4px + 4 = 0 adalah:
Penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:
Nah, sekarang kita masuk ke pertanyaan.
Jadi, nilai p adalah −2 (B).
5. Dari persamaan kuadrat 2x2 + mx + 16 = 0 diperoleh:
a = 2
b = m
c = 16
Perkalian akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:
α.β = c/a
Susbstitusi α = 2β diperoleh:
2β.β = 16/2
2β2 = 8
β2 = 4
β = ±2
Karena disebutkan bahwa α dan β bernilai positif maka
Sementara itu, penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:
α+β=−b/a
2β+β=−m/2
3β=−m/2
Substitusi β=2
diperoleh:
3×2=−m/2
6=−m/2
m =−12
Jadi, nilai m adalah −12 (A).
VIDEO PERSAMAAN KUADRAT : //www.youtube.com/playlist?list=PL5A78AFD47292AB54