Persamaan garis berikut ini yang berimpit dengan garis y adalah

         Blog Koma - Sebelumnya telah dibahas tentang "Persamaan Garis Lurus dan Grafiknya" serta "Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus". Kali ini kita akan membahas tentang hubungan dua garis lurus. Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaiknya pelajari dahulu materi "Gradien". Hubungan dua garis yang akan dipelajari adalah dua garis yang sejajar (berimpit) dan tegak lurus (berpotongan).

         Hubungan dua garis lurus sangat penting untuk kita pelajari karena biasanya untuk menentukan besarnya gradien (kemiringan) suatu garis bergantung dari garis lain. Dengan mengetahui hubungan kedua garis, maka kita pasti bisa menentukan gradien masing-masing. Selain penerapannya pada garis lurus secara langsung, hubungan dua garis khususnya gradiennya juga berguna ketika kita mempelajari materi garis singgung kurva dan garis singgung lingkaran serta garis singgung pada irisan kerucut.

Hubungan Dua Garis Lurus

Macam - macam Hubungan Dua Garis Lurus

       Misalkan diketahui dua garis lurus $ ax+by=c \, $ dan $ px+qy=r \, $ . Ada beberapa hubungan yang bisa kita peroleh dari kedua garis tersebut, yaitu : *). sejajar        Dua garis sejajar syaratnya gradiennya sama ($m_1=m_2$). Jika dilihat dari koefisiennya, syarat kedua garis sejajar yaitu $ \frac{a}{p} = \frac{b}{q} $ . Jika $ \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r} \, $ , maka kedua garis tersebut berimpit. Dan jika $ \frac{a}{p} \neq \frac{b}{q} , \, $ maka kedua garis pasti berpotongan.

*). Tegak lurus        Dua garis tegak lurus syaratnya perkalian gradien kedua garis hasilnya $ -1 \, $ atau $ m_1 \times m_2 = -1 $. Jika dilihat dari koefisiennya, syarat dua garis tegak lurus yaitu $ \frac{a}{b} = -\frac{q}{p} $ .

Contoh : 1). Dari Persamaan garis berikut, manakah pasangan garis yang sejajar dan tegak lurus! a. $ 2x - y = 5 $ b. $ 6x + 2y -3 = 0 $ c. $ x + 2y -7 = 0 $ d. $ -4x + 2y = 1 $ e. $ -x + 3y - 7 = 0 $ Penyelesaian : *). Kita tentukan gradien masing-masing Konsep : $ ax+by=c \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{a}{b} $ a. $ 2x - y = 5 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{2}{-1} = 2 $ b. $ 6x + 2y -3 = 0 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{6}{2} = -3 $ c. $ x + 2y -7 = 0 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{1}{2} $ d. $ -4x + 2y = 1 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{-4}{2} = 2 $ e. $ -x + 3y - 7 = 0 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{-1}{3} = \frac{1}{3} $ *). Garis yang sejajar adalah garis a dan garis d. *). Garis yang tegak lurus adalah garis a dan c, serta garis b dan garis e. 2). Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-1,-3) dan sejajar dengan garis $ y = -3x + 5 $ ! Penyelesaian : garis $ y = -3x + 5 \rightarrow m_1 = -3 $ *). Karena garis yang dicari sejajar dengan garis $ y = -3x + 5, \, $ maka gradiennya sama, sehingga gradien garis yang dicari adalah $ m = m_1 = -3 $ *). Menyusun persamaan garis lurusnya garis melalui titik $(x_1,y_1) =(-1,-3) \, $ dan gradien $ m = -3 $ $ \begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - (-3) & = -3(x-(-1)) \\ y + 3 & = -3(x+1) \\ y + 3 & = -3x - 3 \\ y & = -3x - 6 \end{align} $ Jadi, persamaan garisnya adalah $ y = -3x - 6 $ 3). Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-1,-3) dan tegak lurus dengan garis $ y = -3x + 5 $ ! Penyelesaian : garis $ y = -3x + 5 \rightarrow m_1 = -3 $ *). Karena garis yang dicari tegak lurus dengan garis $ y = -3x + 5, \, $ maka $ m_1.m_2 = -1 \rightarrow -3. m_2 = -1 \rightarrow m_2 = \frac{1}{3} \, $ . artinya gradien garis yang kita cari adalah $ m = \frac{1}{3} $ *). Menyusun persamaan garis lurusnya garis melalui titik $(x_1,y_1) =(-1,-3) \, $ dan gradien $ m = \frac{1}{3} $ $ \begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - (-3) & = \frac{1}{3}(x-(-1)) \\ y + 3 & = \frac{1}{3}(x+1) \\ 3y + 9 & = x + 1 \\ x - 3y & = 8 \end{align} $ Jadi, persamaan garisnya adalah $ x - 3y = 8 $ 4). Diketahui garis $ (p+1)x - 3y = 3 $ tegak lurus dengan garis $ 2x + (2p - 1)y + 3 = 0 , \, $ tentukan nilai $ 4p - 1 $ Penyelesaian : *). Menentukan gradien masing-masing $ (p+1)x - 3y = 3 \rightarrow m_1 = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{p+1}{-3} = \frac{p+1}{3} $ $ 2x + (2p - 1)y + 3 = 0 \rightarrow m_2 = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{2}{2p-1} $ *). Syarat dua garis tegak lurus : $ m_1.m_2 = -1 $ $ \begin{align} m_1.m_2 & = -1 \\ \left( \frac{p+1}{3} \right) . \left( - \frac{2}{2p-1} \right) & = -1 \\ \left( \frac{2p+2}{6p - 3} \right) & = 1 \\ 2p + 2 & = 6p - 3 \\ 6p - 2p & = 2 + 3 \\ 4p & = 5 \\ p & = \frac{5}{4} \end{align} $ Sehingga nilai $ 4p - 1 = 4. \frac{5}{4} - 1 = 5 - 1 = 4 $ Jadi, nilai $ 4p-1 = 4 $

Besarnya sudut antara Dua Garis Lurus

       Misalkan diketahui dua garis lurus $ ax+by=c \, $ dan $ px+qy=r \, $ yang masing-masing memiliki gradien $ m_1 \, $ dan $ m_2 . \, $ Besarnya sudut antara kedua garis adalah $ \alpha , \, $ yang dapat ditentukn dengan rumus :
              $ \tan \alpha = \frac{m_1 - m_2}{1+m_1.m_2 } $

Contoh : Tentukan besarnya sudut yang dibentuk oleh kedua garis $ y = \sqrt{3}x + 3 \, $ dan garis $ y = -\sqrt{3}x + 7 $ ! Penyelesaian : *). Menentukan gradien masing-masing $ y = \sqrt{3}x + 3 \rightarrow m_1 = \sqrt{3} $ $ y = -\sqrt{3}x + 7 \rightarrow m_2 = -\sqrt{3} $ *). Menentukan besar sudut kedua garis $ \begin{align} \tan \alpha & = \frac{m_1 - m_2}{1+m_1.m_2 } \\ & = \frac{\sqrt{3} - (-\sqrt{3})}{1+\sqrt{3}.(-\sqrt{3}) } \\ & = \frac{2\sqrt{3}}{1+ (-3) } \\ & = \frac{2\sqrt{3}}{-2} \\ \tan \alpha & = -\sqrt{3} \end{align} $ Diperoleh $ \tan \alpha = - \sqrt{3} \, $ , berdasarkan tabel trigonometri maka diperoleh $ \alpha = 120^\circ $ Atau sudut terkecil kedua garis adalah $ 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $ Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh kedua garis adalah $ 60^\circ $ . Contoh Tentukan persamaan garis lurus yang melalui perpotongan garis $ 3x - y = 2 \, $ dan garis $ 2x + y = 3 \, $ serta tegak lurus dengan garis $ x - 3y + 2 = 0 $ ! Penyelesaian : *). Menentukan titik potong kedua garis dengan eliminasi dan substitusi $\begin{array}{cc} 3x - y = 2 & \\ 2x + y = 3 & + \\ \hline 5x = 5 & \\ x = 1 & \end{array} $ Pers(ii) : $ 2x + y = 3 \rightarrow 2 . 1 + y = 3 \rightarrow y = 3 - 2 = 1 $ Sehingga titik potong kedua garis adalah (1,1) *). Menentukan gradien $ x - 3y + 2 = 0 \rightarrow m_1 = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{1}{-3} = \frac{1}{3} $ *). Karena garis yang dicari tegak lurus dengan garis $ x - 3y + 2 = 0, \, $ maka $ m_1.m_2 = -1 \rightarrow \frac{1}{3}. m_2 = -1 \rightarrow m_2 = -3 $ . artinya gradien garis yang kita cari adalah $ m = -3 $ *). Menyusun persamaan garis lurusnya garis melalui titik $(x_1,y_1) =(1,1) \, $ dan gradien $ m = -3 $ $ \begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - 1 & = -3(x-1) \\ y - 1 & = -3x + 3 \\ 3x + y & = 4 \end{align} $

Jadi, persamaan garisnya adalah $ 3x + y = 4 $

martha yunanda aljabar, geometri

Pengertian dan defenisi garis secara sederhana adalah hubungan dua titik. Jika antara dua titik dihubungkan maka akan terbentuk garis. Secara kasarnya, garis ini bisa dibilang sebagai bangun satu dimensi. Saya tidak akan lanjutkan bercerita tentang garis. Yang akan saya tunjukkan pabila terdapat dua garis, apa kemungkinan yang akan terjadi. Sebelumnya sedikit mengingatkan bahwasanya, sebuah garis bisa diperpanjang sejauh apapun anda mau.

Fakta Beda Pendapat tentang Garis: Sebagian ahli matematika menyebutkan penyebutan istilah 'GARIS LURUS' adalah mubazir. Sebab sebuah garis sudah pasti Lurus. Cukup disebutkan Garis saja. Jika tidak lurus maka ini akan disebut dengan kurva

Sebuah garis memiliki arah. Lebih tepatnya kemiringan. Kemiringan dari garis ini sering disebut dengan gradien atau slope. Secara aljabar,

1. Jika persamaan garis y=mx+c , kemiringan garis atau gradien adalah m
2. Jika garis melalui 2 titik $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ maka slope atau gradien garis tersebut $ \frac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Hubungan Dua Garis

Jika terdapat dua garis, maka jika diperpanjang ataupun tidak pasti akan bertemu/berpotongan pada sebuah titik nantinya. Jika garis bertemu pada lebih dari sebuah titik, maka dikatakan garis tersebut berimpit. 

1) Garis Berimpit

Secara geometris, 2 garis berimpit jika pada garis tersebut memiliki 2 titik temu. Contohnya perhatikan gambar di bawah ini.

Secara aljabar, Bentuk persamaan garis yang berimpit adalah sama atau berkelipatan. ditulis dalam bentuk umum:

$g_1= kg_2$, dimana k adalah sebuah bilangan real.

y=3x+5 dengan 2y-6x-10=0. Untuk menguji garis tersebut berhimpit atau tidak, anda bisa jadikan dalam bentuk persamaan garis yang sama,

Nah disini ada konstanta k yang memenuhi persamaan tersebut yaitu k= 0.5. Jadi bisa dikatakan garis tersebut berimpit. Lebih mudahnya anda bisa lihat apakah kelipatan koefisien x, y dan c -nya garis sama atau tidak. Jika ketiga koefisien tersebut sama, maka garis tersebut adalah garis yang berimpit.

2) Garis Sejajar

Secara geometris garis sejajar adalah garis yang memiliki arah yang sama. Pabila garis tersebut diperpanjang sampai mentari tak bersinar lagi, maka kedua garis tersebut tidak akan berpotongan. Ilustrasinya sebagai berikut,

Secara aljabar garis yang sejajar bisa dilihat dari bentuk persamaan. Dimana untuk koefisien x dan koefisien y saling berkelipatan yang sama tetapi untuk c-nya tidak sama. Misalnya,

Perhatikan dua persamaan garis di atas, koefisien x dan y sama sama berkelipatan 3. Namun c-nya berbeda.

Penyederhanaan teoritis secara aljabar, 2 garis akan sejajar jika dan hanya jika memiliki gradien yang sama. Rekomendasi untuk dicoba: Kalkulator Gradien Garis Lurus

$g_1: 2x - y = 5 $ Gradien m= 2

 $g_2:  -4x + 2y = 1 $ Gradien, m =2

KArena gradien garis tersebut sama. Maka kedua garis tersebut  bisa dikatakan sejajar. Jika ingin pembuktian secara geometris silakan anda gambar pada bidang koordinat Cartesius.

3) Garis Tegak Lurus

Secara geometris, pengertian garis yang tegak lurus adalah ketika dua garis membentuk sudut siku-siku pada perpotongannya. Bisa diperhatikan gambar di bawah ini, dimana garis biru dan garis merah berpotongan dan pada perpotongan membentuk sudut siku-siku.

Secara aljabar, dua garis berpotongan jika $m_1.m_2=-1$ atau $ m_1= - \frac {1}{-m_2}$.

Sebagai contoh bisa diperhatikan, dua garis berikut,

$ g_1:2x - y = 5 $ Gradien, m =2

 $ g_2: x + 2y -7 = 0 $ Gradien = -0,5

Karena memenuhi $m_1.m_2=-1$, maka kedua garis tersebut bisa dibilang tegak lurus.

4) Sudut Antara Dua Garis

Ada kemungkinan terakhir. Garis tersebut tidak berimpit, tidak saling tegak lurus juga tidak sejajar. Garis tersebut berpotongan. Yang bisa dipastikan antara dua garis ini akan terbentuk sudut. Gambaran secara geometris sebagai berikut,

Bisa terlihat di atas, salah satu sudut yang dibentuk adalah bagian yang berwarna hijau.

Lalu bagaimana cara mencari sudut antara dua garis secara aljabar?

Misalkan terdapat garis masing masing dengan persamaan:

$ ax+by=c \, $  dengan $ m_1 \, $

$ px+qy=r \, $  dengan $ m_2 . \, $

Kedua garis tersebut membentuk sudut h $ \alpha , \, $ maka berlaku hubungan:

$ \tan \alpha = \frac{m_1 - m_2}{1+m_1.m_2 } $

Contoh Soal Menghitung Sudut antara dua garis,

Jika 𝛼 adalah sudut yang dibentuk garis y=√3 x+12 dan garis y=- √3 x+1. Tentukan besarnya nilai 𝛼 ....

Kita akan tentukan gradien masing masing garis,

$ \tan \alpha = \frac{m_1 - m_2}{1+m_1.m_2 } $

$ \tan \alpha  = \frac{m_1 - m_2}{1+m_1.m_2 } \\  \tan \alpha = \frac{\sqrt{3} - (-\sqrt{3})}{1+\sqrt{3}.(-\sqrt{3}) } \\  \tan \alpha  = \frac{2\sqrt{3}}{1+ (-3) } \\  \tan \alpha  = \frac{2\sqrt{3}}{-2} \\ \tan \alpha  = -\sqrt{3} \\ \alpha = 60^ \circ$.