Distribusi binomial termasuk kedalam jenis distribusi peluang yang bersifat

DISTRIBUSI BINOMIAL

MAKALAH

Disusun Oleh

Andi Kaharuddin, S.Pd., M.Pd

NIDN. 07029202

TAHUN AJARAN 2018

1

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT, karena berkat taufik dan hidayah-Nya,

sehingga saya dapat menyelesaikan Makalah ini dengan judul Distribusi Binomial

dalam rangka memenuhi tugas dari dosen.

Kami berharap Makalah ini dapat berguna dan bisa menamba wawasan

serta pengetahuan pembaca mengenai Distribusi Binomial.

Kami menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini masih terdapat

kekurangan dan jauh dari kata sempurna. Oleh sebab itu, kami berharap kritik dan

saran yang bersifat membangun dari pembaca. Demikian, penulis mengucapkan

banyak terimakasih, Wabillahitaufikwalhidayah, Wassalamu Alaikum

Warahmatullahi Wabarakatuh.

Makassar, Juli 2018

Penulis

2

DAFTAR ISI

BAB I PENDAHULUAN........................................................................................1

1.1 Latar Belakang..........................................................................................1

1.2 Rumusan Masalah.....................................................................................2

1.3 Tujuan........................................................................................................2

BAB II PEMBAHASAN.........................................................................................3

A. Pengertian Distribusi Binomial.....................................................................3

B. Distribusi Binomial Negatif..........................................................................4

C. Ciri-ciri Distribusi Binomial.........................................................................5

D. Percobaan binomial.......................................................................................5

E. Rata-rata, varians, dan simpangan baku untuk distribusi binomial..............6

f. Distribusi binomial kumulatif.......................................................................8

BAB III PENUTUP.................................................................................................9

2.1 kesimpulan......................................................................................................9

2.2 saran................................................................................................................9

DAFTAR PUSTAKA.............................................................................................10

3

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah

distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak

(berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki

probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli.

Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi

binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik.

Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah

keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi n. Apabila sampel

tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi

yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial.semakin

besar n daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan

banyak digunakan.

1.2 Rumusan Masalah

Apa itu distribusi binomial

Apa itu distribusi binomial negative

Bagaimana ciri-ciri dari distribusi binomial

Jelaskan bagaimana percobaan distribusi binomial

Bagaimana Rata-rata, varians, dan simpangan baku untuk distribusi

binomial

Apa itu Distribusi binomial kumulatif

1.3 Tujuan

Untuk mengetahui apa itu distribusi binomial

Untuk mengetahui apa itu distribusi binomial negative

Untuk mengetahui cirri-ciri dari distribusi binomial

Untuk mengetahui penjelasan distribusi binomial

Untuk menghitung rata-rata,varians,dan simpangan baku untuk distribusi

binomial

Untuk mengeteahui apa itu distribusi binomial kumulatif

1

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pengertian Distribusi Binomial

Distribusi Binomial ditemukan oleh seorang ahli matematika

berkebangsaan Swiss bernama Jacob Bernauli. Oleh karena itu distribusi

binomial ini dikenal juga sebagai distribusi bernauli. Distribusi binomial

berasal dari percobaan binomial yaitu suatu proses Bernoulli yang diulang

sebanyak n kali dan saling bebas. Suatu distribusi Bernoulli dibentuk oleh

suatu percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). Sebuah percobaan Bernoulli

harus memenuhi syarat: Keluaran (outcome) yang mungkin hanya salah satu

dari “sukses” atau “gagal”, Jika probabilitas sukses p, maka probabilitas

gagal q = 1 – p.

Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskrit jumlah

keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas,

dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen

berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi

binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar

dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik.

Distribusi Binomial digunakan untuk data diskrit (bukan data

kontinu) yang dihasilkan dari eksperimen Bernouli, mengacu kepada

matematikawan JacobBernouli. Peristiwa pelemparan mata uang (koin) yang

dilakukan beberapa kali adalah contoh dari proses bernouli, dan hasil

(outcomes) dari tiap-tiap pengocokan dapat dinyatakan sebagai distribusi

probabilitas binomial. Kejadian sukses atau gagal calon pegawai dalam

psikotest merupakan contoh lain dari proses Bernouli. Sebaliknya distribusi

frekuensi hidupnya lampu neon di pabrik anda harus diukur dengan skala

kontinu dan bukan dianggap sebagai distribusi binomial.

Secara formal, suatu eksperimen dapat dikatakan eksperimen

binomial jika memenuhi empat persyaratan:

2

a. Banyaknya eksperimen merupakan bilangan tetap (fixed number of trial)

b. Setiap ekperimen selalu mempunyai dua hasil ”Sukses” dan ”Gagal”.

Tidak ada daerah abu-abu . Dalam praktiknya, sukses dan gagal harus‟ ‟

didefinisikan sesuai keperluan, Misal:

1. Lulus (sukses), tidak lulus (gagal)

2. Setuju (sukses), tidak setuju (gagal)

3. Barang bagus (sukses), barang sortiran (gagal)

4. Puas (sukses), tidak puas (gagal)

c. Probabilitas sukses harus sama pada setiap eksperimen.

d. Eksperimen tersebut harus bebas satu sama lain, artinya satu eksperimen

tidak boleh berpengaruh pada hasil eksperimen lainnya.

Untuk membentuk suatu distribusi binomial diperlukan dua hal:

a. Banyaknya/jumlah percobaan/kegiatan;

b. Probabilitas suatu kejadian baik sukses maupun gagal.

Distribusi probabilitas binomial dapat dinyatakan sebagai berikut:

Dalam sebuah percobaan Bernoulli, dimana p adalah probabilitas “sukses” dan q

= 1 – p adalah probabilitas gagal, dan jika X adalah variabel acak yang

menyatakan sukses

B. Distribusi Binomial Negatif

Suatu distribusi binomial negatif dibentuk oleh suatu eksperimen yang

memenuhi kondisi-kondisi berikut:

Eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan yang saling bebas,

setiap percobaan (trial) hanya dapat menghasilkan satu dari dua keluaran yang

mungkin, sukses atau gagal.

Probabilitas sukses p, dan demikian pula probabilitas gagal q = 1 - p

selalu konstan dalam setiap percobaan (trial)

Eksperimen terus berlanjut (percobaan terus dilakukan) sampai sejumlah total k

sukses diperoleh, dimana k berupa bilangan bulat tertentu. Jadi pada suatu

eksperimen binomial negatif, jumlah suksesnya tertentu sedangkan jumlah

percobaannya yang acak.

3

Distribusi Binomial Negatif, bila percobaan bebas berulang dapat menghasilkan

sebuah sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan probabilitas q = 1 – p,

maka distribusi probabilitas dari variabel acak X.

C. Ciri-ciri Distribusi Binomial

1. Ciri pertama distribusi binomial adalah bila jumlah n tetap dan p kecil maka

distribusi yang dihasilkan akan miring ke kanan dan bila p makin besar maka

kemiringan akan berkurang dan bila p mencapai 0,5 maka distribusi akan menjadi

simetris. Bila p lebih besar dari 0,5, maka distribusi yang dihasilkan akan miring

ke kiri.

2. Ciri kedua nya adalah bila p tetap dengan jumlah n yang makin besar maka

akan dihasilkan distribusi yang mendekati distribusi simetris.

3. Percobaan diulang sebanyak n kali.

4. Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas, misal :

“BERHASIL” atau “GAGAL”;

“YA” atau “TIDAK”;

“SUCCESS” or “FAILED”.

5. Peluang berhasil / sukses dinyatakan dengan p dan dalam setiap ulangan

nilai p tetap. Peluang gagal dinyatakan dengan q, dimana q = 1-p.

6. Setiap ulangan bersifat bebas (independen) satu dengan lainnya.

D. Percobaan binomial

Secara langsung, percobaan binomial memiliki ciri-ciri sebagai berikut:

a. Percobaan tersebut dilakukan berulang-ulang sebanyak n kali

4

b. Masing-masing percobaan hanya dapat menghasilkan dua kemungkinan,

atau hasil yang diperoleh dapat disederhanakan menjadi dua kemungkinan.

Hasil yang diperoleh tersebut dapat dianggap sebagai hasil yang sukses atau

gagal.

c. Hasil dari masing-masing percobaan haruslah saling bebas.

d. Peluang untuk sukses harus sama untuk setiap percobaan.

Dalam percobaan binomial, hasil-hasilnya seringkali diklasifikasikan

sebagai hasil yang sukses atau gagal. Sebagai contoh, jawaban benar suatu

pertanyaan pilihan ganda dapat diklasifikasikan sebagai hasil yang sukses,

sehingga pilihan jawaban lainnya merupakan jawaban yang salah dan

diklasifikasikan sebagai hasil yang gagal.

Besarnya nilai probabilitas setiap x peristiwa sukses dari n kali

eksperimen ditunjukkan oleh probabilitas sukses p dan probabilitas kegagalan

q[3].

Rumus distribusi peluang Binomial:

Keterangan : p = probabilitas sukses = 1 – q. Dimana

q = probabilitas gagal

n = jumlah total percobaan

x = jumlah sukses dari n kali percobaan. Dimana x = 1, 2, 3, ..., n

Contoh :

Suatu survei menemukan bahwa satu dari lima orang berkata bahwa dia

telah mengunjungi dokter dalam sembarang bulan yang ditanyakan. Jika 10 orang

dipilih secara acak, berapakah peluang tiga diantaranya sudah mengunjungi dokter

bulan lalu?

Pembahasan :

Pada kasus ini, n = 10, X = 3, p = 1/5, dan q = 4/5. Sehingga,

Jadi peluang tiga orang yang dipilih sudah mengunjungi dokter bulan lalu adalah

0,201.

E. Rata-rata, varians, dan simpangan baku untuk distribusi binomial

5

Rata-rata, varians, dan simpangan baku variabel yang memiliki distribusi

binomial secara berturut-turut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus

berikut.

MEAN (RATA-RATA)

μ = n ∙ p

VARIANS

= n ∙ p ∙ q

SIMPANGAN BAKU (DEVIASI STANDAR)

=

Rumus-rumus tersebut secara aljabar ekuivalen dengan rumus-rumus untuk

rata-rata, varians, dan simpangan baku variabel distribusi peluang, tetapi karena

variabel-variabel tersebut memiliki distribusi binomial, maka variabel-variabel

tersebut dapat disederhanakan dengan menggunakan aljabar.

Contoh 1 :

Suatu koin dilemparkan sebanyak 4 kali. Tentukan rata-rata, varians, dan

simpangan baku dari banyaknya angka yang muncul!

Penyelesaian 1 :

Dengan menggunakan rumus distibusi binomial

n = 4

p = ½

q = ½ maka

 Rata-rata

μ = n ∙ p = 4 ∙ ½ = 2

 Varians

= n ∙ p ∙ q = 4 ∙ ½ ∙ ½ = 1

 Simpangan baku

= = = = 1

Jadi, ketika empat koin dilemparkan beberapa kali, rata-rata banyaknya angka

yang muncul adalah 2, dan simpangan bakunya adalah 1.

Seperti yang telah dinyatakan sebelumnya, permasalahan ini dapat diselesaikan

dengan menggunakan rumus untuk nilai yang diharapkan. Distribusinya

ditunjukkan oleh tabel berikut.

6

Banyak angka yang muncul X0 1 2 3 4

Peluang P(X) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

Rata-rata, varians, dan simpangan bakunya dapat ditentukan sebagai berikut.

Jadi, rumus binomial yang sudah disederhanakan memberika

n hasil yang sama.

F. Distribusi binomial kumulatif

Probabilitas binomial kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa

binomial lebih dari satu sukses.

Rumusnya:

Contoh :

Sebanyak 5 mahasiswa akan mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan

probabilitas kelulusannya adalah 0,7. Hitunglah probabilitasnya!

a. Paling banyak 2 orang lulus

b. Yang akan lulus antara 2 sampai 3 orang

c. Paling sedikit 4 diantaranya lulus

Penyelesaian :

a. n = 5 p = 0,7 q = 0,3

P(x 2) = P(x = 0) + P(x = 1) + P (x = 2) = 0,16

b. P(2 x 3) = P(x = 2) + P(x = 3) = 0,44

c. P(x 4) = P(x = 4) + P(x = 5) = 0,53

BAB III

PENUTUP

7

A. Kesimpulan

Distribusi Binomial seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah

keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Distribusi ini banyak

digunakan pada masalah yang mungkin bernilai benar atau salah, gagal atau

sukses, dan lain sebagainya.

B. Saran

Dalam suatu percobaan peluang, sebaliknya dilakukan bukanhanya sekali

supaya lebih mendapatkan hasil yang lebih tepat. Dalam melakukan percobaan

peluang juga hanya terpaku pada suatu distribusi untuk lebih baiknya

menggunakan banyak distribusi sebagai bahan pertimbangan.

DAFTAR PUSTAKA

Sudjana, Metode Statistik, Bandung : Tarsito, 2002

8