Tentukan koordinat titik balik dan jenisnya dari fungsi f x 2x3 9x2 12x 3

i. Nilai Stasioner

Nomor 1

Nilai stasioner dari fungsi y = x3 - x2 - 8x diperoleh pada ...
A. x = 2 dan x = - 4/3
B. x = 4/3 dan x = 2
C. x = 4/3 dan x = - 2
D. x = 2/3 dan x = - 4
E. x = 4 dan x = - 2/3
Pembahasan :
Syarat fungsi stasioner adalah F1(x) = 0, sehingga kita turunkan fungsi y pada soal diatas:
y1 = 3x2 - 2x - 8 = 0 (faktorkan)
(3x + 4) (x - 2) = 0
x = - 4/3 dan x = 2
Jawaban : A

Table of Contents Show

i. Nilai Stasioner
ii. Fungsi Naik
iv. Daftar Pustaka
Video yang berhubungan

Nomor 2

Jika x₁ dan x₂ merupakan akar persamaan x² - (a -1)x + a = 0.

Nilai stasioner dari x₁³ + 3x₁.x₂ + x₂³ dicapai untuk a = .....
A. 1 dan 2
B. 1 dan 3
C. 2 dan 3
D. -1
E. 0, -1 dan 1
Pembahasan :
x² - (a -1)x + a = 0
a = 1, b = -(a - 1), c = a
x₁ + x₂ = -b/a = (a - 1)
x₁.x₂ = c/a = a
x₁³ + 3x₁.x₂ + x₂³ = x₁³+ x₂³+ 3x₁.x₂
      = (x₁ + x₂)³ - 3x₁.x₂(x₁ + x₂) + 3x₁.x₂
      = (a - 1)³ - 3a(a - 1) + 3a
      = (a - 1)³ - 3a² + 6a
Stasioner <=> turunan pertama = 0
<=> 3(a - 1)² - 6a + 6 = 0
<=> (a - 1)² - 2a + 2 = 0
<=> a² - 2a +1 - 2a + 2 = 0
<=> a² - 4a + 3 = 0
<=> (a - 1)(a - 3) = 0
<=> a = 1 atau a = 3

Jawaban : B

Nomor 3

y = x³ -3x² -24x - 7 maka nilai stasionernya adalah .....
A. -2 dan 4
B. -35
C. 1
D. 21 dan -87
E. 1,21 dan -77

Pembahasan :

y = x³ -3x² -24x - 7
Stasioner <=> y' = 0
y' = 3x² - 6x - 24 = 0
<=> x² - 2x - 8 = 0
<=> (x - 4)(x + 2) = 0
<=> x = 4 atau x = -2

Fungsi maksimum pada x = -2,maka nilai balik maksimumnya:

f(-2) = (-2)³ -3(-2)² -24(-2) - 7
= -8 - 12 + 48 - 7
= 21
Fungsi minimum pada x = 4, maka nilai balik minimumnya:
f(4) = (4)³ -3(4)² -24(4) - 7
= 64 - 48 - 96 - 7
= -87
Jadi, nilai stasionernya adalah 21 dan -87.

Jawaban : D

Nomor 4

Fungsi y = 4x³ - 18x² + 15x - 20 mencapai maksimum untuk nilai x = .....
A. 0,5
B. 1,5
C. 2
D. 2,5
E. 3

Pembahasan :

y = 4x³ - 18x² + 15x - 20
Stasioner <=> y' = 0
y' = 12x² - 36x + 15 = 0
<=> 3(4x² - 9x + 5) = 0
<=> 3(2x - 1)(2x - 5) = 0
<=> x = ½ atau x = 5/2

Jadi, fungsi y mencapai maksimum untuk x = ½.

Jawaban : A

Nomor 5

Titik belok dari fungsi y = x³ + 6x² + 9x + 7 adalah .....
A. (-2,3)
B. (-2,7)
C. (-2,5)
D. (2,5)
E. (2,10)

Pembahasan :

y = x³ + 6x² + 9x + 7
y' = 3x² + 12x + 9
y" = 6x + 12
Titik belok <=> y" = 0
6x + 12 = 0
<=> 6x = -12
<=> x = -12/6
<=> x = -2
Subtitusi nilai x = -2 ke fungsi y.
y = (-2)³ + 6(-2)² + 9(-2) + 7
= -8 + 24 - 18 + 7
= 5
Jadi, titik belok dari fungsi y adalah (-2,5)

ii. Fungsi Naik

Nomor 1

Ditentukan f(x) = 2x³ – 9x² – 24x. Fungsi f naik dalam interval …

A. –1 < x < 4 D. x < –4 atau x > 1

B. 1 < x < 4 E. x < –1 atau x > 4

C. –4 < x < –1

Pembahasan :

f(x) = 2x³ – 9x² – 24x, naik jika

f’(x) > 0

6x² – 18x – 24 > 0

6(x² – 3x – 4) > 0

6(x – 4)(x + 1) > 0

x = 4 atau x = –1

Garis bilangan

+++++ (–1) ------ (4) ++++

karena lebih dari nol, maka ambil daerah yang positif yaitu:

x < –1 atau x > 4

Jawaban : E

Nomor 2

Fungsi f(x) = 2x³ – 9x² + 12x, naik pada interval ...

A. x < 1 atau x > 2 D. 1 ≤ x ≤ 2

B. x ≤ 1 atau x ≥ 2 E. –2 < x < –1

C. 1 < x < 2

Pembahasan :

f(x) = 2x³ – 9x² + 12x, naik jika

f’(x) > 0

6x² – 18x + 12 > 0

6(x² – 3x + 2) > 0

6(x – 2)(x – 1) > 0

x = 2 atau x = 1

Garis bilangan

++++ (1) ----- (2) ++++

karena lebih dari nol, maka ambil daerah yang positif yaitu:

x < 1 atau x > 2

Jawaban : A

Nomor 3

Interval-interval di mana fungsi f(x) = 2x³ – 9x² + 12 naik adalah …

A. x < 1 atau x > 2 D. x < –3 atau x > 0

B. 0 < x < 3 E. x < 0 atau x > 3

C. –3 < x < 0

f(x) = 2x³ – 9x² + 12, naik jika

f’(x) > 0

6x² – 18x > 0

6x(x – 3) > 0

x = 0 atau x = 3

Garis bilangan

++++ (0) ----- (3) ++++

karena lebih dari nol, maka ambil daerah yang positif yaitu:

x < 0 atau x > 3

Jawaban : E

Nomor 4

Grafik fungsi y = x2 + 4x + 1 naik pada interval...

A.x ≥ - 2B. x > - 2C. x ≤ - 2D. x < - 2E. x > 2

Pembahasan :

Fungsi naik jika F1(x) > 0, sehingga kita turunkan fungsi y = x2 + 4x + 1
y1 = 2x + 4 > 02x > -4x > - 2

Jawaban : B

Fungsi y = 1/3 x3 - 3x2 + 8x + 5 akan naik pada interval...A. - 2 < x < 4B. 2 < x < 4C. x < 2 atau x > 4D. x < - 4 atau x < 2E. x < -2 atau x > 4

Pembahasan :

Syarat fungsi naik adalah F1(x) > 0 sehingga kita turunkan fungsi y pada soal diatas.
y1 = x2 - 6x + 8 > 0 (karena berbentuk kuadrat, kita faktorkan) (x - 4) (x - 2) > 0 x = 4 atau x = 2 > 0Periksa kapan x = 4 naik dan x = 2 naik.

x = 4 ( ganti x = 5 atau yang lebih besar dari 4 pada y1, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya > 0 maka fungsi naik setelah 4, jika < 0 berarti fungsi naik sebelum x = 4)

x = 4 maka y1 = 52 - 6 . 5 + 8 = 16 - 24 + 8 = 3 (> 0) berarti fungsi naik setelah x = 4 atau x > 4.

Periksa x = 2 (ganti x = 2 atau yang lebih besar dari 2 pada y1, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya > 0 maka fungsi naik setelah 2, jika < 0 berarti fungsi naik sebelum x = 2)
y1 = (3)2 - 6 . (3) + 8 = - 1 (< 0), berarti fungsi naik sebelum x = 2.Jadi fungsi naik pada interval x < 2 atau x > 4

Jawaban :

Diketahui fungsi f(x) = x³ + 3x² – 45x – 15. Fungsi f turun pada interval....

A. x < –5 atau x > 3 D. – 3 < x < 5

B. x < –3 atau x > 3 E. –5 < x < –3

C. –5 < x < 3

Pembahasan :

f(x) = x³ + 3x² – 45x – 15, turun jika

f’(x) < 0

3x² + 6x – 45 < 0

3(x² + 2x – 15) < 0

3(x + 5)(x – 3) < 0

x = –5 atau x = 3

Garis bilangan

++++ (–5) ------- (3) +++++

Karena kurang dari nol, maka ambil daerah yang negatif yaitu

–5 < x < 3

Jawaban : C

Nomor 2

Fungsi f(x) = x³ – 3x² – 15 turun untuk semua x yang memenuhi …

A. x > 0 D. –2 < x < 0

B. x < –2 E. 0 < x < 2

C. x < 0 atau x > 2

Pembahasan :

f(x) = x³ – 3x² – 15, turun jika

f’(x) < 0

3x² – 6x < 0

3x (x – 2) < 0

x = 0 atau x = 2

Garis bilangan

++++ (0) ------ (2) +++++

Karena kurang dari nol, maka ambil daerah yang negatif yaitu

0 < x < 2

Jawaban : E

Fungsi f yang dirumuskan dengan f(x) = 5 + 3x + 4x² – x³ turun pada interval …

A. – ⅓ < x < 3 D. x < –⅓ atau x > 3

B. –3 < x < ⅓ E. x < ⅓ atau x > 3

C. x < –3 atau x > ⅓

Pembahasan :

f(x) = 5 + 3x + 4x² – x³, turun jika

f’(x) < 0

3 + 8x – 3x² < 0

(1 + 3x)(3 – x) < 0

x = –⅓ atau x = 3

Garis bilangan

----- (–⅓) +++++ (3) ------

Karena kurang dari nol, maka ambil daerah yang negatif yaitu

x < –⅓ atau x > 3

Jawaban : D

Nomor 4

Grafik fungsi y = x3 + 3x2 - 45 x turun pada interval...A. - 5 < x < 3B. - 3 < x < 5C. x < - 5 atau x > 3D. x < - 3 atau x > 5E. x < 3 atau x > 5

Pembahasan :

Syarat fungsi turun adalah F1(x) < 0 sehingga kita turunkan fungsi y pada soal diatas.
y1 = 3x2 + 6x - 45 < 0 atau 3(x2 + 2x - 15) (karena berbentuk kuadrat, kita faktorkan, 3 diabaikan saja) (x - 3) (x + 5) < 0 x = 3 atau x = - 5 < 0Periksa kapan x = 3 dan x = - 5 turun.

x = 3 ( ganti x = 2 atau yang lebih kecil dari 3 pada y1, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya < 0 maka fungsi turun sebelum x = 3, jika > 0 berarti fungsi turun setelah x = 3)

x = 2 maka y1 = 22 + 2 . 2 - 15 = 4 + 4 - 15 = - 7 (< 0) berarti fungsi turun sebelum x = 3 atau x < 3.
Periksa x = 5 (ganti x = - 6 atau yang lebih kecil dari - 5 pada y1, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya < 0 maka fungsi turun sebelum x = - 5, jika > 0 berarti fungsi turun setelah x = - 5)
y1 = (- 6)2 + 2 . (-6) - 15 = 9 (> 0), berarti fungsi turun setelah x = - 5 atau x > - 5.Jadi fungsi turun pada interval - 5 < x < 3

Jawaban : A

Nomor 5

Grafik fungsi y = 1 / (x2 + 1) akan turun pada interval...

A. x < 0B. x > 0C. x < 2D. x > 2E. x < - 2

Pembahasan :

Gunakan syaran fungsi turun F1(x) < 0, jadi kita turunkan fungsi y:Misal:

U = 1 maka U1 = 0

V = x2 + 1 maka V1 = 2x
Jadi y1 = (U1 V - U . V1) / V2
y1 = (0 . x2 + 1 - 1 . 2x) / (x2 + 1)2
y1 = - 2x / (x2 + 1)2 < 0 (penyebut diabaikan saja)- 2x < 0x < 0

Jawaban : A