KOMBINATORIK
2.1. PERMUTASI DAN KOMBINASI Sebuah permutasi dari sebuah himpunan obyek-obyek berbeda adalah
penyusunan berurutan dari obyek-obyek tersebut.
Contoh 2.1.
Misalkan S = {1, 2, 3}. Susunan 3 1 2 adalah sebuah permutasi dari S. Susunan
3 2 adalah sebuah permutasi-2 (2-permutation) dari S
Banyak permutasi-r dari himpunan dengan n obyek berbeda dinyatakan
sebagai P(n,r) dimana
P(n,r) = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . (n r + 1).
Jika r = n , maka
P(n,n) = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . (n n + 1).
= n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1
= n !
atau ditulis Pn = n !
Contoh 2.2.
P(8,3) = 8. 7. 6 = 336
= 1.2.3.4.5
1.2.3.4.5.6.7.8 =
! )38(! 8
Rumus umum : n . (n-1) . (n-2) = 1 2. . ... 4)-3).(n-(n
1 2. . ... 4)-3).(n-(n 2).-1).(n-.(n n
P(n,r) = ! r)(n
! n
Sebuah kombinasi-r elemen-elemen dari sebuah himpunan adalah pemilihan tak
berurutan (tanpa memperhatikan urutan) r elemen dari himpunan tersebut.
Contoh 2.3.
Jika S = {1, 2, 3, 4}, susunan { 1, 3, 4 } adalah sebuah kombinasi-3 dari S.
Banyaknya kombinasi-r (r-combinations) dari sebuah himpunan dengan n obyek
berbeda dinyatakan sebagai C(n,r) atau rnC atau .
rn
Rumus umum : !)(!
! rn r
nrnC =
Jika r = n, maka 1 nn n
nnnC ==
!)(!!
Contoh 2.4.
Misalkan S = {1, 2, 3, 4}.
Kombinasi-4 dari S adalah { 1, 2, 3, 4 } ; . 1C =44
Kombinasi-3 dari S adalah { 1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4} ; . 4C =34
Tentukan ....24
.=C ....14
.=C
Soal Latihan 2.1.
1. Tunjukkan bahwa P(n,n-1) = P(n,n).
2. Nomor telephon internal dalam sebuah kampus terdiri dari lima angka dimana
angka pertama tidak sama dengan nol. Banyaknya nomor telephon berbeda yang
dapat disusun di kampus tersebut adalah ......... .
3. Pada sebuah lingkungan RT, penduduknya berencana menyelenggarakan acara
peringatan kemerdekaan Indonesia. Demi lancarnya kelangsungan acara tersebut,
mereka bersepakat untuk menyusun sebuah kepanitiaan yang beranggotakan 12
orang. Jika dalam lingkungan tersebut terdapat 16 pasangan suami istri, berapa
pilihan yang mereka miliki untuk membentuk kepanitiaan yang beranggotakan 4
wanita dan 8 pria ?
Soal Latihan 2.2.
1. Sebuah himpunan yang tidak kosong dan mengandung 26 anggota memiliki
himpunan bagian yang mengandung 6 anggota sebanyak ............ .
2. Tunjukkan bahwa C(n,n-r) = C(n,r) .
Soal Latihan 2.3.
1. Seorang mahasiswa harus menjawab 8 dari 10 soal ujian Matematika Diskrit.
a. Berapa banyak pilihan yang ia miliki ?
b. Berapa banyak pilihan yang ia miliki jika ia harus menjawab 3 soal pertama.
2. Jika P (n,k) menyatakan permutasi k dari n obyek dan C (n,k) menyatakan
kombinasi k dari n obyek , maka pernyataan yang benar adalah :
a. C (n ,k ) P (n ,k ) = C (n ,k ).
b. C (n ,k ) = P (n ,k ) . P (k ,k ).
c. P (n ,k ) = C (n ,k ) . P (k ,k ).
d. P (n , n k ) = C (n ,n k ) P (k ,k ).
2.2. KOMBINASI PADA HIMPUNAN DENGAN PENGULANGAN Sebuah himpunan disebut himpunan ganda (himpunan dengan pengulangan)
jika setiap anggotanya berulang.
Contoh 2.5.
1). A = { 3.a, 2.b, 5.c } adalah sebuah himpunan dari 3 elemen berbeda dengan
pengulangan hingga.
2). B = { ~.3, ~.5, ~.7, ~.9 } adalah sebuah himpunan dari empat elemen
berbeda dengan pengulangan tak hingga.
3). C = { ~.p, 10.q, 3.r, ~.s } adalah sebuah himpunan dari empat elemen
berbeda dengan pengulangan.
Misalkan A sebuah himpunan ganda berpengulang tak hingga dengan k
anggota berbeda. Banyaknya kombinasi-r pada A dinyatakan sebagai :
1) !r ! (k1) !r(k
rrk
+
=
+ 1
Contoh 2.6.
Diketahui S = { ~.a } . Banyaknya kombinasi-5 pada S adalah :
1 5 ! (0) !
5 ! 1) !5 ! (11) !5(1
5151
==+
=
+
Soal Latihan 2.4.
1. Tentukan kombinasi-5 dari B = { ~.a, ~.b} .
2. Banyaknya kombinasi-8 dari C = { ~.a, ~.b, ~.c } .
3. Banyaknya kombinasi-8 dari himpunan { ~.p, ~.q, ~.r } yang mengandung
paling sedikit 4 buah q adalah ........... .
4. Hitung banyaknya kombinasi 10 dari himpunan { ~.1, ~.2, ~.3, ~.4 } yang
a. mengandung paling sedikit 4 buah 3.
b. mengandung paling sedikit 5 buah 2.
c. mengandung paling sedikit 4 buah 3 dan 5 buah 2.
d. tidak mengandung 2 dan 3.
Taken From : library.gunadarma.ac.id/files/disk1/9/jbptgunadarma-gdl-course-2005-dradlcrisp-414-lecture-1.doc -
2.1. PERMUTASI DAN KOMBINASI 2.2. KOMBINASI PADA HIMPUNAN DENGAN PENGULANGAN
Seseorang menabung sebesar Rp. 50.000.000 dengan bunga majemuk 12% per tahun. Berapa besarnya tabungan seseorang tersebut setelah 5 tahun?
berapakah volume bangun dari balok di bawah iniP=15 L=7 T=9
jika 0⁰ < x < 90⁰ dan sin a = 7/8 maka nilai cos a
Perhatikan ruang vektor pada gambar berikut: Yang operasinya adalah penjumlahan matriks dan perkalian skalar dengan matriks. Carilah sebuah basis untu … k , dan tentukan dimensi !
4. Diketahuif(x)=x+1 dan g(x)=x²-5 hasil dari (f+g)(x) adalah a. x²+x+4 c.x²+x-6 b. x²+x-4 d. x²-x+6berikan cara jalannya
hitunglah luas volume kubus di bawah iniA. S=25cm B. S=42 C. S=18 D. S=137 aku lagi gak pelit nih, kalo hak percaya liat poin nya
Buatlah sebuah kubus ABCDEFGH dengan panjangrusuk 3cm. Tentukan konsep jarak antartitik dengan panjang diagonal diagonal kubasJelaskandengan bahasa an … da !.
Diketahui sin a + cos a = 1/6 Dan 0° Di bagi a Di bagi180°,maka nilai sin a + cos a adalah.
Jika fungsi permintaan suatu produk adalah P = 50 – 10Q a) Berapa Harga tertinggi yang dapat dibayar oleh Konsumen atas produk tersebut? b) Berapa J … umlah Yang diminta jika produk tersebut gratis?.
12. Diketahui koordinat titik P(3, -6). Dilatasi (P. 2) memetakan titik (2,-6) ke titik. A. (3,6)b. ( 4, -6)c (2, -6)d. (3,4)e. (5, 4).
dalam sebuah kotak berisi 5 kelereng bewarna merah, 3 kelereng bewarna biru, dan 7 kelereng bewarna hijau. Jika diambil 1 kelereng, maka peluang teram … bil kelereng bewarna merah adalah
median pada tabel berikut adalahnilai | frekuensi3 | 34 | 45 | 56 | 67 | 2 …
Pada segitiga abc, titik p dan q berturut-turut adalah titik tengah ab dan bc. Peryataan yang benar adalah. A. Pq = ½ b. Pq = ⅔ ac c. Ap = bq d. Ap = … 2bq e. Pc = 2aq.
Garis p dan q berpotongan tegak lurus dititik a. Jika garis p melalui titi b dan garis q melalui titik c, kaki sudut dari sudut yang terbentuk adalah.
Lama perjalanan Hana ke sekolah ialah selama 1 jam, sedangkan Sinta 25 menit. Perbandingan lama perjalanan Hana dan Sinta adalah.
Tersedia kawat dengan panjang 6 meter untuk membuat kerangka balok dengan ukuran 13 cm x 9 cm x 8 cm. Banyak kerangka balok yang dapat dibuat dari kaw … at tersebut adalah
Perhatikan gambar berikut ISebuah bak mandi memiliki ukuran seperti digambarJika ketebalan dinding pada dasar kolam adalah 5 cm,berapa liter air yangd … i Per lukan untuk mengisibak madi tersebut terisi 3/4 nya ?
1. Asyafa menabung sebesar Rp800.000,00 pada sebuah bank. Bank tersebut memberikan bunga tunggal sebesar 10% per tahun. Tabungan Asyafa setelah 8 bul … an adalah
Jika sisi terpanjang pada sebuah segitiga adalah 25 cm dan sisi terpendeknya adalah 7 cm. Maka panjang sisi lainnya adalah.
Pak Agus akan membuat akuarium dari kaca berbentuk balok tanpa tutup dengan ukuran panjang 75 cm lebar 60 cm dan tinggi 50 cm luas permukaan kaca akua … rium adalah.