Soal yang Akan Dibahas
Misalkan selisih kuadrat akar-akar persamaan $ x^2 - (2m + 4)x + 8m = 0 $ sama dengan 20, maka nilai $ m^2 - 4 = ...... $
A). $ -9 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 9 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar *). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx +c = 0 $ dengan akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ Operasi akar-akar : $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $.
$\clubsuit $ Pembahasan *). Persamaan kuadrat : $ x^2 - (2m + 4)x + 8m = 0 $ Nilai $ a = 1, b = -(2m+4) $ dan $ c = 8m $. *). Selisih kuadrat akar-akarnya = 20 : $ \begin{align} x_1^2 - x_2^2 & = 20 \\ (x_1+x_2)(x_1 - x_2) & = 20 \\ \frac{-b}{a} . \frac{\sqrt{D}}{a} & = 20 \\ \frac{(2m+4)}{1} . \frac{\sqrt{[ -(2m+4)]^2 - 4.1.8m }}{1} & = 20 \\ (2m+4). \sqrt{(4m^2 + 16m + 16 - 32m)} & = 20 \\ (2m+4). \sqrt{(4m^2 - 16m + 16 )} & = 20 \\ (2m+4). \sqrt{4(m^2 - 4m + 4 )} & = 20 \\ 2(m+2). \sqrt{4(m-2)^2} & = 20 \\ 2(m+2). 2(m-2) & = 20 \\ 4(m^2 - 4) & = 20 \\ (m^2 - 4) & = \frac{20}{4} = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ m^2 - 4 = 5 . \, \heartsuit $
Misal dan menjadi akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Karena kedua akar persamaan kuadrat tersebut positif maka dan . Sehingga
serta
Maka b>0.
Jadi, jawaban yang tepat adalah D.
Diketahui :
Maka, akar-akar persamaan tersebut adalah atau .
Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.