Gracia Education 21-Sep-10 page 1 of 4 PERMUTASI & KOMBINASI Kaidah Pencacahan (Counting Rules) Kaidah Pencacahan adalah suatu cara/aturan untuk menghitung semua kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu percobaan/peristiwa tertentu. Contoh: 1. Pada saat diadakan pemilihan ketua dan sekretaris kelas, ada 3 calon untuk ketua dan ada 5 calon untuk sekretaris kelas. Berapa banyak pasangan ketua dan sekretaris yang mungkin terpilih? Jawab: Ada 3 cara/aturan untuk memilih ketua dari 3 calon dan ada 5 cara/aturan untuk memilih sekretaris dari 5 calon. Jadi, pasangan ketua dan sekretaris yang mungkin terpilih adalah 3 × 5 = 15 cara. G-Ed 2. Berapa banyaknya bilangan yang terdiri dari 4 angka yang dapat disusun dari angka 0,1, 2, 3, 4, 5 dan 6 tanpa pengulangan? Jawab: Bilangan yang terdiri dari 4 angka adalah bilangan ribuan. Oleh karena itu, angka 0 tidak dapat digunakan untuk angka paling kiri. Jadi digit pertama bilangan tersebut memiliki 6 kemungkinan (1, 2, 3, 4, 5 dan 6). Sedangkan digit kedua juga memiliki 6 kemungkinan, dengan kondisi dari 6 kemungkinan angka yang pertama telah digunakan 1 angka, sehingga tersisa 5 angka ditambah angka 0. Digit ke tiga memiliki 5 kemungkinan. Digit ke empat memiliki 4 kemungkinan. Total kemungkinan susunan bilangan dengan 4 digit yang dapat dibentuk adalah: 6 × 6 × 5 × 4 = 720 bilangan. Notasi Faktorial Jika ada 3 buah angka (2, 4, 6) yang akan disusun untuk membentuk suatu bilangan dengan 3 digit, maka banyaknya kemungkinan angka yang terjadi 3 × 2 × 1 = 6. Dalam matematika, penulisan 3 × 2 × 1 dinotasikan dengan 3! (baca: 3 faktorial). Contoh: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 “Wisdom consists of the anticipation of consequences.” Norman Cousins adalah Gracia Education 21-Sep-10 page 2 of 4 Permutasi Permutasi dari sekumpulan objek adalah banyaknya susunan terurut yang berbeda dari objek-objek tersebut. Permutasi dengan semua Unsur Berbeda Situasi : ada n objek yang berbeda satu sama lain. Masalah : menentukan banyaknya susunan terurut terdiri dari n objek yang ada. Notasi : Solusi : n n Pn , P(n, n) , n Pn atau Pnn Pn = n! Permutasi dengan Sebagian Unsur yang Berbeda Situasi : ada n objek yang berbeda satu sama lain. Masalah : menentukan banyaknya susunan terurut yang terdiri dari r objek dari n objek yang ada, dimana r ≤ n. G-Ed Notasi Solusi : n Pr : n Pr = n! (n − r )! Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama Contoh: Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata “GANGGANG” Jawab: Total ada 8 huruf, terdiri dari 4 huruf G, 2 huruf A dan 2 huruf N. Banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk adalah: 8 P(4, 2, 2 ) = 8! 8 × 7 × 6 × 5 × 4! 8 × 7 × 6 × 5 = = = 420 susunan huruf. 4!2!2! 4!2!2! 2× 2 Permutasi Siklis (Melingkar) Contoh: Ernest, Reza, Steven, Raymond, & Carlo akan mengadakan rapat penting tentang mengatasi kejombloan mereka pada suatu meja bundar yang ada di Starbucks Coffee Mal Puri Indah. Ada berapa kemungkinan posisi duduk mereka sehingga kedudukan seseorang dengan yang lainnya berbeda? Jawab: Jumlah orang (n) = 5 Kemungkinan posisi = (5 – 1)! = 4! = 24 posisi duduk. “Wisdom consists of the anticipation of consequences.” Norman Cousins Gracia Education 21-Sep-10 page 3 of 4 Beberapa Contoh Persoalan Umum dalam Permutasi: 1. Terdapat 5 bola merah, 4 bola putih, 3 bola biru dan 2 bola hijau. Ada berapa cara bola-bola tersebut dapat disusun secara berdampingan? 2. Seseorang mempunyai tiga judul buku, berturut-turut banyaknya 5 buah, 3 buah dan 2 buah. Orang tersebut akan membagikan buku-buku itu kepada 10 orang lain. Jika setiap orang memperoleh 1 buku, ada berapa cara pembagian itu dapat dilakukan? 3. Dari 13 karyawan yang potensial akan dipilih 2 karyawan untuk menempati posisi jabatan direktur dan wakil direktur. Berapa macam komposisi karyawan yang mungkin menempati jabatan tersebut, jika peluang setiap orang untuk dipilih adalah sama? 4. Berapa banyak permutasi dari huruf-huruf pada kata “CURRICULUM”, jika: a. Dimulai dengan huruf M. b. Dimulai dengan huruf C. c. Dimulai dengan huruf R. 5. Dengan berapa cara yang berbeda 11 orang siswa dapat dibagi ke dalam 3 kelompok yang masing-masing beranggotakan 5, 4 dan 2 orang? G-Ed Permutasi dengan Pembatasan/Syarat Contoh: Berapa kemungkinan posisi yang mungkin terjadi bila 6 anak perempuan dan 2 anak laki-laki akan duduk bersama-sama dalam kursi panjang bila: a. Anak laki-laki harus bersebelahan. b. Anak laki-laki harus terpisah. c. Paling sedikit ada 3 anak perempuan memisahkan anak laki-laki yang satu dengan yang lainnya. Jawab: “Wisdom consists of the anticipation of consequences.” Norman Cousins Gracia Education 21-Sep-10 page 4 of 4 Kombinasi Kombinasi dari sekumpulan objek adalah banyaknya susunan tak terurut dari objek-objek tersebut. Kombinasi dengan Semua Unsur Berbeda Situasi : ada n objek yang berbeda satu sama lain. Masalah : menentukan banyaknya susunan tak terurut dari objek yang ada. Notasi : Solusi : karena susunan tidak memperhatikan urutan, maka n C n , C (n, n ) , C nn atau n C n n Cn = 1 Kombinasi dengan Sebagian Unsur yang Berbeda Situasi : ada n objek yang berbeda satu sama lain. Masalah : menentukan banyaknya susunan tak terurut yang terdiri dari r objek dari n objek yang ada, dimana r ≤ n. G-Ed Notasi Solusi : n Cr : n Cr = n! r!(n − r )! Beberapa Contoh Persoalan Umum dalam Kombinasi 1. Berapa banyak cara untuk menentukan banyaknya susunan tak terurut 4 orang dari 10 orang yang ada, jika: a. Orang yang paling tua termasuk di dalam pilihan. b. Orang yang paling tua tidak termasuk dalam pilihan. 2. Sebuah kelas terdiri dari 15 siswa, dimana 5 di antara mereka adalah anggota OSIS. Bila dari kelas tersebut akan dipilih 8 orang untuk mewakili sekolah pada Upacara Peringatan Kemerdekaan di Istana Negara, berapa banyak pilihan siswa yang mungkin, jika: a. Hanya ada dua anggota OSIS yang terpilih. b. Paling sedikit 2 anggota OSIS yang terpilih. 3. Sebuah panitia akan dibentuk dari 8 pria dan 6 wanita. Jika panitia tersebut terdiri dari 4 pria dan 6 wanita, ada berapa susunan kepanitiaan yang dapat dibentuk? 4. Berapa cara dari 9 orang yang dapat dibagi dalam 3 kelompok yang anggotanya 4 orang, 3 orang dan 2 orang? 5. Dari 10 finalis Miss Universe akan dipilih 3 orang. Ada berapa carakah untuk memilih ketiga finalis apabila: a. 1 finalis selalu ada dalam setiap pemilihan. b. 2 finalis selalu dikeluarkan dalam tiap pemilihan. c. 1 finalis selalu dipilih dan 2 selalu dikeluarkan. “Wisdom consists of the anticipation of consequences.” Norman Cousins
Tentukan semua permutasi yang berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf dalam kata:
a. SAPI b. SAPA
29 c. ASAA
Penyelesaian:
a. SAPI ASPI PSAI ISAP
SAIP ASIP PSIA ISPA
SPAI APSI PASI IASP
SPIA APIS PAIS IAPS
SIAP AISP PISA IPSA
SIPA AIPS PIAS IPAS
Jadi ada 24 cara.
b. Pada kata SAPA terdiri dari 2 buah A, untuk membedakannya maka diberi 𝐴1 dan 𝐴2 sehingga permutasi yang berbeda tentu saja ada 24 buah. Namun apabila huruf A tidak dibedakan, maka permutasi dari kata SAPA ada 12 buah. Coba tuliskan apa saja?
c. Pada kata ASAA, ada 3 buah huruf A, untuk membedakannya maka diberi 𝐴1, 𝐴2 dan 𝐴3. Sehingga permutasi yang berbeda tentu saja ada 24 buah. Namun apabila huruf A tidak dibedakan, maka permutasi dari kata ASAA ada 4 buah.
Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa,
Definisi 3.1
Banyaknya permutasi yang berlainan dari n elemen bila n1 berjenis pertama, n2 berjenis kedua, dan seterusnya sampai nk jenis ke k adalah 𝑃(𝑛,(𝑛1,𝑛2,…,𝑛𝑘))=
𝑛!
30 Contoh 3.6
Ada berapa cara untuk menyusun kata (tidak harus punya arti) dari kata “MATEMATIKA”? Penyelesaian: M = 2 A = 3 T = 2 E = 1 I = 1 K = 1 MATEMATIKA = 7 Jadi 𝑃(9,(2,3,2,1,1,1))= 9! 2!3!2!1!1!1!= 9∙8∙7∙6∙5∙4∙3! 2∙1∙3!∙2∙1∙1∙1∙1= 15120 cara Latihan 3.2.
1. Ada berapa banyak cara menysusun kata (tidak harus punya arti) dari kata “PENDIDIKAN”
2. Ada berapa banyak cara menyusun kata (tidak harus punya arti) dari kata “STKIPSURYA”?
31 C. PERMUTASI MELINGKAR
Contoh 3.7.
Misalkan dalam suatu rapat yang dihadiri oleh 4 orang yang duduknya melingkar sepanjang meja bundar, ilustrasi gambar 3.1. Maka, banyaknya susunan cara duduk peserta rapat berbeda adalah 6 cara, perhatikan gambar 3.1.
Penyelesaian:
32 A B C D A B D C A C B D A C D B A D B C A D C B B A C D B A D C B C A D B C D A B D A C B D C A C A B D C A D B C B A D C B D A C D A B C D B A D A B C D A C B D B A C D B C A D C A B D C B A Gambar 3.1. ilustrasi 4 orang duduk mengelilingi meja bundar
37 Perhatikan bahwa gambar 3.1. terdiri dari 6 warna, setiap warna mengilustrasikan susunan atau urutan duduk yang sama, karena ada 6 warna berbeda, berarti banyaknya susunan duduk berbeda dari 4 orang yang mengelilingi meja bundar adalah 6 cara.
Banyaknya permutasi melingkar 𝒏 unsur berlainan adalah (𝒏 − 𝟏)!
Pada contoh 3.7. diperoleh banyaknya susunan duduk berbeda dari 4 orang yang mengelilingi meja bundar adalah (4 − 1)! = 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 cara.
Contoh 3.7.
Tiga orang mahasiswa duduk mengelilingi meja bundar, berapa susunan cara yang berbeda ketiganya duduk mengelilingi meja tersebut?
Penyelesaian:
𝑛 = 3
Banyaknya susunan berbeda ketiga mahasiswa duduk mengelilingi meja bundar adalah (3 − 1)! = 2! = 2.
38 Latihan 3.3.
1. Apabila terdapat 4 orang berkebangsaan Indonesia, 3 orang berkebangsaan German dan 6 orang berkebangsaan Japan. Maka berapa banyaknya urutan duduk apabila duduknya bebas tidak berdasarkan kewarganegaraan?
2. Dari no 1 berapa banyaknya urutan duduk apabila duduknya berdasarkan urutan kewarganegaraan?
3. Dengan berapa cara menanam 3 pohon jati, 4 pohon kurmis dan 2 pohon mahoni sepanjang pinggir jalan raya secara berjajar apabila:
a. Pohon yang sejenis tidak dibedakan? b. Pohon sejenis dibedakan?
4. Berapa banyak susunan kata yang dapat dibentuk (tidak harus punya arti) dari kata “STATISTIKA” ?
5. Berapa banyak susunan penataan buku secara berjajar apabila terdapat 3 buku NOVEL, 8 buku KOMIK, 2 buku KULINER dan 10 buku BIOGRAFI dengan ketentuan buku yang sejenis harus bersama?
6. Berapa banyak cara untuk menanam 8 bunga yang disusun dalam pekarangan yang bentuknya melingkar?
7. Berapa banyak susunan cara yang berbeda dari 5 orang duduk melingkar mengelilingi meja bundar? Dan tunjukkan susunannya apa saja!
39 Pertemuan 4
KOMBINASI
Sebelum mempelajari kombinasi, kita akan mengingat perkuliahan pada pertemuan 3, yaitu tentang permutasi. Dalam permutasi, perhatikan bahwa susunan atau urutan dari setiap kejadian diperhatikan, semisal dua orang beri nama A dan B duduk berjajar pada kursi, kursi pertama diduduki A dan kursi kedua diduduki B kita tulis AB, tidak sama dengan BA di mana artinya kursi pertama diduduki B dan kursi kedua diduduki A. Sekarang perhatikan contoh 4.1.
Contoh 4.1.
Misalkan dalam susunan kepanitian, Dari 5 orang mahasiswa Pendidikan Matematika (Toni, Waingges, Indah, Yully dan Alle) akan dipilih 3 orang yang akan mewakili program studi Matematika survei lokasi lomba karya ilmiah di Jakarta. Maka berapa banyak cara yang dapat disusun dari ke-5 mahasiswa tersebut?
Penyelesaian:
Susunan semua yang mungkin adalah, 1) Toni-Waingges-Indah (TWI) 2) Toni-Waingges-Yully (TWY) 3) Toni-Waingges-Alle (TWA) 4) Toni-Indah-Yully (TIY) 5) Toni-Indah-Alle (TIA) 6) Toni-Yully-Alle (TYA) 7) Waingges-Indah-Yully (WIY) 8) Waingges-Indah-Alle (WIA) 9) Waingges-Yully-Alle (WAY) 10) Indah-Yully-Alle (IYA) Jadi ada 10 cara.
40 Untuk membedakan hasil antara kombinasi dan permutasi, perhatikan tabel 4.1.
Tabel 4.1. Perbedaan Kombinasi dan Permutasi
Kombinasi Permutasi
TWI TWI TIW WIT WTI ITW IWT
TWY TWY TYW WYT WTY YTW YWT
TWA TWA TAW WAT WTA ATW AWT
TIY TIY TYI ITY IYT YTI YIT
TIA TIA TAI ITA IAT ATI AIT
TYA TYA TAY YTA YAT ATY AYT
WIY WIY WYI IWY IYW YWI YIW
WIA WIA WAI IWA IAW AWI AIW
WYA WAY WAY AWY AYW YWA YAW
IYA IYA IAY YIA YAI AIY AYI
Dari tabel 4.1. terlihat bahwa 6 buah permutasi menghasilkan 1 buah kombinasi, sehingga banyaknya kombinasi sebanyak 60
6 = 10 buah.
Secara umum, kombinasi dapat ditulis sebagai,
Banyaknya kombinasi dari 𝑟 elemen yang diambil dari 𝑛 elemen ditulis 𝐶(𝑛,𝑟) atau 𝐶𝑟𝑛 atau 𝑛𝐶𝑟 atau (𝑛𝑟) adalah 𝑛!
𝑟!(𝑛−𝑟)! dengan 𝑟 ≤ 𝑛.
Juga dapat ditulis
(𝑛𝑟) =𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑟 + 1)
𝑟! =
𝑛𝑃𝑟 𝑟!
Contoh 4.2.
Dari 10 orang mahasiswa akan dibuat kelompok belajar dengan ketentuan setiap kelompok berisi 5 orang, berapa banyak susunan yang dapat dibentuk untuk membentuk kelompok tersebut?
41 Penyelesaian:
Karena susunannya tidak diperhatikan, maka kita akan menggunakan kombinasi.
𝐶510= 10! 5! (10 − 5)!=
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6
5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 252
Jadi banyak susunan yang dapat dibentuk dari 10 orang mahasiswa untuk dibuat kelompok belajar dengan ketentuan setiap kelompok berisi 5 orang adalah 252 cara.
Contoh 4.3.
Dalam pertandingan badminton, akan dipilih 2 orang dari 5 orang calon yang akan mewakili kejuaraan untuk tingkat Universitas. Berapa banyaknya cara yang dapat disusun dari mahasiswa-mahasiswa tersebut untuk mewakili kejuaraan untuk tingkat universitas tersebut?
Penyelesaian:
Karena urutan pemilihan orang tidak diperhatikan, maka dengan menggunakan kombinasi diperoleh,
𝐶25 = 5! 2! (5 − 3)!=
5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2! 2 ∙ 1 ∙ 2! = 30
Jadi banyaknya cara yang dapat disusun adalah 30 cara.
Contoh 4.4.
Apabila dari {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} diambil 3 elemen, banyaknya permutasi dan kombinasi yang diperoleh adalah:
42 Tabel 4.2. Banyaknya permutasi dan kombinasi yang diambil dari 3 elemen adalah
Kombinasi Permutasi
Abc abc acb bac bca cab cba Abd abd adb bad bda dab dba Acd acd adc cad cda dac dca Bcd bcd bdc cbd cdb dbc dcb 4 𝟒 × 𝟔 = 𝟐𝟒 Banyaknya: Permutasi 𝑃34 = 4! (4−3)!= 4 × 3 × 2 × 1 = 24 Kombinasi 𝐶34= 4! 3!(4−3)!= 4! 3!1!= 4 Contoh 4.5.
Jika terdapat 3 wanita dan 4 pria yang mendaftar, tentukan susunan panitia yang akan dipilih yang terdiri dari 2 wanita dan 2 pria?
Penyelesaian:
Susunan panitia yang terdiri dari 2 wanita adalah
𝐶(3,2)= 3! 2! (3 − 2)!
=4 ∙ 3 ∙ 2! 2! ∙ 1 = 12
Susunan panitia yang terdiri dari 2 pria adalah,
𝐶(4,2)= 4! 2! (4 − 2)!
=4 ∙ 3 ∙ 2! 2! ∙ 2 ∙ 1
43 = 6
Berdasarkan aturan perkalian, maka banyaknya cara untuk menyusun kepanitian yang terdiri dari 2 wanita dan 2 pria adalah 12 ∙ 6 = 72 cara.
Latihan 4.1.
1) Ada 4 orang bernama Adi, Bayu, Cintya, dan Denisa. Apabila dipilih 2 orang secara acak, ada berapa banyak pilihan yang akan diperoleh?
2) Banyaknya susunan kepanitian yang dapat dibentuk dari 3 wanita dan 4 pria dari 8 calon yang merupakan wanita dan 6 calon yang merupakan pria adalah? 3) From 8 consonants and 4 vowels, how many words can be formed consisting of 4 different consonant and 3 different vowels? The words need not have meaning.
4) Apabila dalam suatu kelompok terdapat 4 kimiawan dan 3 fisikawan, buatlah panitia 3 orang yang terdiri atas 2 kimiawan dan 1 fisikawan!
5) Dalam suatu sekolah yang mempunyai 5 orang Guru Matematika, 4 orang Guru Fisika, 2 orang Guru Kimia dan 3 orang Guru TIK akan dipilih 2 orang Guru Matematika, 2 orang Guru Fisika, 1 orang Guru Kimia dan 1 orang Guru TIK untuk membimbing siswanya belajar soal-soal Olimpiade. Maka banyaknya susunan yang dapat dibentuk apabila pemilihan orang bebas adalah?
6) Banyaknya susunan kombinasi tim bola voli putri apabila jumlah calon pemain sebanyak 10 orang adalah?
7) Banyaknya susunan cara yang dapat dibentuk untuk membentuk tim sepak bola putra apabila banyak calon pemain yang mendaftar sebanyak 21 orang adalah?
44 8) Apabila dalam suatu tes ujian tertulis, peserta diharuskan mengerjakan 3 soal
dari 5 soal yang diberikan, maka berapa banyaknya kombinasi soal yang dapat ia jawab dengan ketentuan,
a) Soal bebas dipilih?
45 Pertemuan ke-5 dan 6
PELUANG (PROBABILITAS) KEJADIAN