Pada kesempatan kali ini kita akan membahas tentang contoh soal sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) beserta pembahasannya. Di sini sudah kami rangkum beberapa latihan soal SPLTV untuk kita pelajari bersama.
Sekilas tentang SPLTV
Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) adalah sistem persamaan dengan 3 variabel berpangkat satu. SPLTV merupakan perluasan dari sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).
Untuk lebih lengkapnya, silakan baca di Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV).
Contoh Soal SPLTV dan Jawabannya
Untuk lebih memahami tentang sistem persamaan linear tiga variable, berikut kami sajikan beberpa contoh soal SPLTV beserta jawaban dan pembahasannya. Mari kita pelajari bersama.
1. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
2x + 5y – 3z = 3
6x + 8y -5z = 7
-3x + 3y + 4y = 15
Pembahasan
2x + 5y – 3z = 3 … (1)
6x + 8y -5z = 7 … (2)
-3x + 3y + 4z = 15 … (3)
Eliminasikan variabel z menggunakan (1) dan (2):
2x + 5y – 3z = 3 |×5| ⇔ 10x + 25y – 15z = 15
6x + 8y -5z = 7 |×3| ⇔ 18x + 24y -15z = 21 –
-8x + y = -6 … (4)
Eliminasikan variabel z menggunakan (1) dan (3):
2x + 5y – 3z = 3 |×4| ⇔ 8x + 20y – 12z = 12
-3x + 3y + 4z = 15 |×3| ⇔-9x + 9y + 12z = 45 +
-x + 29y = 57 … (5)
Eliminasikan variabel y menggunakan (4) dan (5):
-8x + y = -6 |×29| ⇔ -232x + 29y = -174
-x + 29y = 57 |×1| ⇔ -x + 29y = 57 –
-231x = -231
x = 1
Substitusikan x ke (4):
-8x + y = -6
-8(1) + y = -6
-8 + y = -6
y = 8 – 6
y = 2
Kemudian, subsitusikan x dan y ke (1)
2x + 5y – 3z = 3
2(1) + 5(2) – 3z = 3
2 + 10 – 3z = 3
12 – 3z = 3
– 3z = 3 -12 = -9
z = -9/-3
z = 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 2, 3)}
2. Temukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut
x + y + z = -6
x + y – 2z = 3
x – 2y + z = 9
Pembahasan
x + y + z = -6 … (1)
x + y – 2z = 3 … (2)
x – 2y + z = 9 … (3)
Tentukan persamaan x melalui (1)
x + y + z = -6 ⇔ x = -6 – y – z … (4)
Substitusikan (4) ke (2)
x + y – 2z = 3
-6 – y – z + y – 2z = 3
-6 – 3z = 3
3z = -9
z = -3
Substitusikan (4) ke (3)
x – 2y + z = 9
-6 – y – z – 2y + z = 9
-6 – 3y = 9
– 3y = 15
y = 15/(-3)
y = -5
Substitusikan z dan y ke (1)
x + y + z = -6
x – 5 – 3 = -6
x – 8 = -6
x = 8 – 6
x = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, -5, -3)}
3. Toko alat tulis pak rudi menjual alat tulis berisi buku, spidol, dan tinta dalam 3 jenis paket sebagai berikut.
Paket A: 3 buku, 1 spidol, 2 tinta seharga Rp 17.200
Paket B: 2 buku, 2 spidol, 3 tinta seharga Rp19.700
Paket C: 1 buku, 2 spidol, 2 tinta seharga Rp14.000
Hitunglah harga 1 buah masing-masing item !
Pembahasan
Misal:
b: harga 1 buah buku
s: harga 1 buah spidol
t: harga 1 buah tinta
Maka, model matematikanya adalah :
3b + s + 2t = 17.200 … (1)
2b + 2s + 3t = 19.700 … (2)
b + 2s + 2t = 14.000 … (3)
Eliminasikan variabel t menggunakan (1) dan (2):
3b + s + 2t = 17.200 |×3| ⇔ 9b + 3s + 6t = 51.600
2b + 2s + 3t = 19.700 |×2| ⇔ 4b + 4s + 6t = 39.400 –
5b – s = 12.200 … (4)
Eliminasikan variabel t menggunakan (1) dan (3):
3b + s + 2t = 17.200
b + 2s + 2t = 14.000 –
2b – s = 3.200
s = 2b – 3.200 … (5)
Substitusikan (5) ke (4):
5b – s = 12.200
5b – (2b – 3.200) = 12.200
5b – 2b + 3.200 = 12.200
3b = 12.200 – 3.200 = 9.000
b = 9.000 ÷ 3
b = 3.000
Substitusikan nilai b ke (5)
s = 2b – 3.200
s = 2(3.000) – 3.200
s = 6.000 – 3.200
s = 2.800
Substitusikan nilai b dan s ke (3)
b + 2s + 2t = 14.000
3.000 + 2(2.800) + 2t = 14.000
3.000 + 5.600 + 2t = 14.000
8.600 + 2t = 14.000
2t = 14.000 – 8.600 = 5.400
t = 5.400 ÷ 2
t = 2.700
Jadi, harga 1 buah buku adalah Rp3.000, 1 buah spidol adalah Rp2.800, dan 1 buah tinta adalah Rp2.700.
4. 3 bersaudara Lia, Ria, dan, Via berbelanja di toko buah. Mereka membeli Apel, Jambu, dan Mangga dengan hasil masing-masing sebagai berikut:
Lia membeli dua buah Apel, satu buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp47.000
Ria membeli satu buah Apel, dua buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp43.000
Via membelli tiga buah Apel, dua buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp71.000
Berapa harga 1 buah Apel, 1 buah Jambu, dan 1 buah Mangga?
Pembahasan
Misal:
a = Harga 1 buah Apel
j = Harga 1 buah Jambu
m = Harga 1 buah Mangga
Maka, model matematikanya adalah
2a + j + m = 47.000 … (1)
a + 2j + m = 43.000 … (2)
3a + 2j + m = 71.000 … (3)
Eliminasikan variabel j dan m menggunakan (2) dan (3):
a + 2j + m = 43.000
3a + 2j + m = 71.000 –
-2a = -28.000
a = 14.000
Eliminasikan variabel m menggunakan (1) dan (2), dan substitusikan nilai a:
2a + j + m = 47.000
a + 2j + m = 43.000 –
a – j = 4.000
j = a – 4.000
j = 14.000 – 4.000
j = 10.000
Substitusikan nilai a dan j ke (1):
2a + j + m = 47.000
2(14.000) + 10.000 + m = 47.000
28.000 + 10.000 + m = 47.000
38.000 + m = 47.000
m = 47.000 – 38.000
m = 9.000
Jadi, harga 1 buah Apel adalah Rp14.000, 1 buah Jambu adalah Rp10.000, dan 1 buah Mangga adalah Rp9.000.
5. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut.
3x – 6y + 12z = 60
2x -4y + 4z = 46
x – 2y + 4z = 15
Pembahasan
Sistem persamaan linear tiga variabel tersebut bisa disederhakan menjadi
3x – 6y + 12z = 60 |÷ 3| ⇔x – 2y + 4z = 20 … (1)
2x -4y + 4z = 46 |÷ 2| ⇔ x – 3y + 6z = 23 … (2)
x – 2y + 4z = 15 … (3)
Perhatikan bahwa (1) dan (3) mempunyai sisi kiri yang sama (x – 2y + 4z) namun sisi kanan berbeda (20 ≠ 15). Jadi SPLTV tersebut tidak mungkin terselesaikan.
Jadi, sistem persamaan linear tiga variabel tersebut tidak memiliki himpunan penyelesaian.
Demikian beberapa contoh soal SPLTV beserta jawaban dan pembahasannya. Semoga dengan mempelajari soal-soal di atas, anda bisa semakin mahir dalam menyelesaikan persoalan sistem persamaan linear tiga variabel lainnya.
Sekian dari rumuspintar, selamat belajar.
Kembali ke Materi Matematika
»Rumus.co.id – Setelah sebelumnya kita membahas tentang rumus persamaan nilai mutlak kali ini kita akan membahas materi tentang rumus SPLTV (Sistem persamaan linear tiga variabel), kita akan jabarkan secara detail dan lengkap dari pengertian SPLTV, definis dan bentuk umum, ciri – ciri, hal – hal yang berhubungan, rumus beserta contoh soal SPLTV dan pembahasannya.
Pengertian SPLTV
Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) yaitu suatu persamaan matematika yang terdiri atas 3 persamaan linear yang juga masing – masing persamaan bervariabel tiga (misal x, y dan z).
Sistem Persamaan linear tiga variabel (SPLTV) juga dapat diartikan sebagai sebuah konsep dalam ilmu matematika yang digunakan untuk menyelesaikan kasus yang tidak dapat diselesaikan menggunakan persamaan linear satu variabel dan persamaan linear dua variabel.
Definisi Dan Bentuk Umum
Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) yaitu juga merupakan bentuk perluasan dari sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)
Bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dalam x, y, dan z dapat dituliskan berikut ini :
ax + by + cz = d a1x + b1y + c1z = d1
ex + fy + gz = h atau a2x + b2y + c2z = d 2
ix + jy + kz = l a3x + b3y + c3z = d3
Dengan ⇒ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 = adalah bilangan-bilangan real.
Keterangan :
- a, e, I, a1, a2, a3 = adalah koefisien dari x.
- b, f, j, b1, b2, b3 = adalah koefisien dari y.
- c, g, k, c1, c2, c3 = adalah koefisien dari z.
- d, h, i, d1, d2, d3 = adalah konstanta.
- x, y, z = adalah variabel atau peubah.
Ciri – Ciri
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) juga memiliki beberapa ciri – ciri tersendiri, yaitu sebagai berikut :
- SPLTV, Menggunakan relasi tanda sama dengan (=)
- SPLTV, Memiliki tiga variabel
- SPLTV, Ketiga variabel tersebut memiliki derajat satu (berpangkat satu)
Hal – Hal Yang Berhubungan Dengan SPLTV
Terdapat empat komponen dan unsur yang selalu berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV), yaitu : suku, variabel, koefisien dan konstanta.
1. Suku :
Suku merupakan bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, koefisien dan konstanta. Setiap suku akan dipisahkan dengan tanda baca penjumlahannya ataupun pengurangannya.
Contoh :
- 6x – y + 4z + 7 = 0, maka suku – suku dari persamaan tersebut yaitu = 6x , -y, 4z dan 7.
2. Variabel :
Variabel merupakan peubah atau pengganti suatu bilangan yang biasanya dapat dilambangkan dengan huruf seperti x, y dan z.
Contoh :
Doni memiliki 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Jika dituliskan dalam bentuk persamaan maka hasilnya adalah :
- Misal : apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya yaitu = 2x + 5y + 6z.
3. Koefisien :
Koefisien merupakan suatu bilangan yang bisa menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis. Koefisien dapat juga disebut dengan bilangan yang ada di depan variabel, karena penulisan sebuah persamaan koefisien berada di depan variabel.
Contoh :
Risti memiliki 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Jika ditulis dalam bentuk persamaan maka hasilnya adalah :
- Misal : apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya yaitu = 2x + 5y + 6z. Dari persamaan tersebut, kita ketahui bahwa 2, 5 dan 6 merupakan koefisien di mana 2 adalah koefisien x , 5 adalah koefisien y dan 6 adalah koefisien z.
4. Konstanta :
Konstanta merupakan suatu bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, sehingga nilainya tetap atau konstan untuk berapapun nilai variabel dan peubahnya.
Contoh :
- 2x + 5y + 6z + 7 = 0, dari persamaan tersebut konstanta yaitu = 7, karena 7 nilainya adalah tetap dan tidak terpengaruh dengan berapapun variabelnya.
Kumpulan Contoh Soal SPLTV
Contoh Soal 1 :
Rara memiliki 4 buah apel, 8 buah mangga dan 12 buah jeruk. Jika dituliskan dalam bentuk persamaan maka hasilnya adalah :
Penyelesaian :
Apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya yaitu = 4x + 8y + 12z.
Jadi, bentuk persamaan nya adalah = 4x + 8y + 12z.
Contoh Soal 2 :
Pandu memiliki 5 buah mangga, 16 buah salak dan 20 buah lemon. Jika dituliskan dalam bentuk persamaan maka hasilnya adalah :
Penyelesaian :
Apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya yaitu = 5x + 16y + 20z.
Jadi, bentuk persamaan nya adalah = 5x + 16y + 20z.
Inilah pembahasan lengkap tentang cara menghitung rumus SPLTV beserta contoh soal dan pembahasannya, semoga bermanfaat…
Baca Juga :
- Persamaan Limit Trigonometri
- Persamaan Logaritma